張 晶，謝軍偉，王 博，孫渤森

（1.陜西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，西安 710018；2.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051；3.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院，西安 710100）

0 引言

當(dāng)前，基于數(shù)字波束形成技術(shù)的頻控陣（Frequency Diverse Array，F(xiàn)DA）干擾對(duì)抗技術(shù)研究還比較少。文獻(xiàn)［1-2］中研究了基于對(duì)稱頻移分布和sin函數(shù)分布的矩形波束形成技術(shù)，在特定的距離、角度二維空域形成主瓣波束，能夠減輕矩形區(qū)域外雷達(dá)受干擾程度，同時(shí)降低被截獲概率。文獻(xiàn)［3］基于低截獲波束設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，給出了幾種FDA 低截獲波束設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)［4-5］將傳統(tǒng)波束形成算法應(yīng)用于頻控陣，實(shí)現(xiàn)了距離維的干擾抑制，但沒有對(duì)主瓣畸變及干擾位置變化時(shí)輸出性能的改變進(jìn)行分析。針對(duì)文獻(xiàn)中對(duì)于目標(biāo)與干擾距離維可分、角度維接近情況下的抑制方法研究較少的情況，本文在文獻(xiàn)［6］中FDA-BFF、FDA-MIMO 及BFF-MIMO 三種接收機(jī)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出了基于雙邊小方差無畸變響應(yīng)（Two-Side Minimum Variance Distortionless Response，TS-MVDR）的子陣FDA 波束形成算法。

1 基于MVDR 的FDA 波束形成

1.1 MVDR 算法模型

波束形成的實(shí)質(zhì)是通過對(duì)各陣元加權(quán)進(jìn)行空域?yàn)V波達(dá)到增強(qiáng)期望信號(hào)、抑制干擾的目的。波束形成器一般基于某種準(zhǔn)則設(shè)計(jì)以確定自適應(yīng)權(quán)，常用的波束形成器準(zhǔn)則有最小方差無失真響應(yīng)（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）準(zhǔn)則、最小均方誤差、最大信噪比準(zhǔn)則等。在理想情況下，這4 種準(zhǔn)則得到的權(quán)是等價(jià)的，其中MVDR 準(zhǔn)則算法原理簡(jiǎn)單，能夠在干擾區(qū)形成有效零限，應(yīng)用較為廣泛［7］。

陣列輸出可表示為：

其中，wH表示接收端加權(quán)矢量，n（t）表示接收機(jī)噪聲矢量。MVDR 波束形成準(zhǔn)則用公式可表述為：

求解式（4），得對(duì)應(yīng)的加權(quán)矢量的解析表達(dá)式為：

1.2 一維MVDR 算法應(yīng)用

一維MVDR 算法，就是直接將各結(jié)構(gòu)導(dǎo)向矢量帶入式（5），求解最優(yōu)加權(quán)矢量。對(duì)FDA-BFF 結(jié)構(gòu)，陣列輸出為：

輸出信干噪比可為：

對(duì)FDA-MIMO 結(jié)構(gòu)，陣列輸出可表示為：

設(shè)FDA-BFF 陣元數(shù)為30，頻差Δf=10 KHz，目標(biāo)位于（30 km，30°），干擾位于（32 km，31°），相控陣、FDA-BFF 接收結(jié)構(gòu)的方向圖如圖1、圖2 所示。改變干擾位置，設(shè)干擾位于（32 km，42°）處，利用MVDR 進(jìn)行波束形成，得FDA-BFF 波束如圖3 所示。

圖1 N=9 時(shí)相控陣天線方向圖

圖2 N=9 時(shí)FDA-BFF 天線方向圖

圖3 N=9 時(shí)FDA-BFF 天線方向圖

由圖1 可知，相控陣結(jié)構(gòu)可以在干擾角度形成一條僅與角度相關(guān)而與距離無關(guān)的“零限帶”，但當(dāng)干擾與目標(biāo)角度接近時(shí)，會(huì)產(chǎn)生主瓣畸變等問題。由于陣元間頻差的引入，圖2 中的FDA-BFF 結(jié)構(gòu)產(chǎn)生距離角度二維相關(guān)的波束，可在（32 km，31°）干擾位置處形成零限的同時(shí)，在目標(biāo)位置形成保持增益。由圖3可知，當(dāng)干擾的空間位置滿足FDA-BFF 結(jié)構(gòu)波束的距離-角度耦合關(guān)系時(shí)，即干擾位于FDA-BFF 的空域主瓣內(nèi)時(shí)，F(xiàn)DA-BFF 形成的主瓣在目標(biāo)位置處依然發(fā)生了畸變，波束形成器輸出性能下降。

對(duì)于FDA-MIMO 結(jié)構(gòu)，設(shè)頻差Δf=10 KHz，目標(biāo)位于（30 km，30°），干擾位于（32 km，31°），當(dāng)陣元數(shù)分別為9、30 時(shí)，求解MVDR 權(quán)矢量，得到對(duì)應(yīng)的方向圖及干擾、目標(biāo)距離處的角度維方向圖如圖4、5 所示。由圖看出，當(dāng)N=9 時(shí)，通過應(yīng)用一維MVDR能夠得到在目標(biāo)處增益最大，在干擾處增益置零的方向圖；但當(dāng)N=30 時(shí)，方向圖出現(xiàn)較大程度畸變，無法找到相應(yīng)的主瓣區(qū)域，但在干擾位置處仍能形成零限。

圖5 N=9 時(shí)一維MVDR 求取的FDA-MIMO 方向圖

1.3 雙邊MVDR 算法在FDA-MIMO 中的應(yīng)用

為解決式（5）在MIMO 中直接應(yīng)用算法復(fù)雜度過高的問題，充分利用MIMO 導(dǎo)向矢量中的克羅內(nèi)克結(jié)構(gòu)，采用TS-MVDR［8］進(jìn)行最優(yōu)權(quán)矢量求解，即將MIMO 波束形成過程虛擬為發(fā)射波束形成和接收波束形成兩個(gè)過程，兩過程中的導(dǎo)向矢量分別為a（R，θ）和b（θ），利用式（4）分別求取對(duì)應(yīng)過程的最優(yōu)權(quán)矢量，再求取兩最優(yōu)權(quán)矢量的克羅內(nèi)克積作為最終的權(quán)重矢量，該過程可描述為：

假設(shè)FDA-MIMO 擁有M 個(gè)陣元，MVDR 需通過式（11）求解M2個(gè)系數(shù)向量；而雙邊MVDR 相當(dāng)對(duì)單一子陣、子列分別進(jìn)行MVDR 波束形成，最后通過克羅內(nèi)克積綜合為一個(gè)權(quán)矢量，僅需求解2 M個(gè)系數(shù)向量，大大降低了計(jì)算量。圖6 仿真了干擾位于（32 km，31°）時(shí)陣列的輸出方向圖。

圖6 N=31 時(shí)TS-MVDR 求取的FDA-MIMO 方向圖

由圖6 可看出，利用TS-MVDR 算法進(jìn)行波束形成，在陣元數(shù)較大的情況下方向圖不會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的畸變；但當(dāng)干擾與目標(biāo)角度相近時(shí)，仍會(huì)產(chǎn)生主瓣畸變。這是因?yàn)門S-MVDR 本質(zhì)上是對(duì)算法計(jì)算量的優(yōu)化，當(dāng)干擾與目標(biāo)角度相近時(shí)，在對(duì)單一子陣、子列分別進(jìn)行MVDR 波束形成的過程中已經(jīng)存在主瓣畸變的問題，求取克羅內(nèi)克積的過程對(duì)主瓣畸變問題沒有優(yōu)化作用。

2 基于子陣的sin-FDA 結(jié)構(gòu)

2.1 非線性頻偏引入

文獻(xiàn)［9］指出頻控陣發(fā)射波束會(huì)出現(xiàn)距離和方位角響應(yīng)的耦合問題，因而無法利用其無模糊的實(shí)現(xiàn)目標(biāo)距離和方位的二維聯(lián)合估計(jì)。上述分析中，當(dāng)干擾位置符合FDA-BFF 結(jié)構(gòu)波束圖的距離-角度耦合關(guān)系時(shí)，會(huì)產(chǎn)生主瓣峰值畸變。將一維均勻線性頻控陣（Uniform Linear Array Frequency Diverse Array，ULA-FDA）劃分為在中心對(duì)稱的兩個(gè)子陣，再在陣元間引入不同的非線性頻偏增量，得到基于子陣的sin-FDA 結(jié)構(gòu)。

2.2 中心對(duì)稱子陣結(jié)構(gòu)

中心對(duì)稱子陣結(jié)構(gòu)是將基本的ULA-FDA 陣列劃分為兩個(gè)關(guān)于參考陣元中心對(duì)稱的子陣，陣列結(jié)構(gòu)如圖7 所示［15-17］：

圖7 中心對(duì)稱FDA 子陣結(jié)構(gòu)

子陣1 的陣元個(gè)數(shù)為n，陣元間的頻偏為Δf1，子陣2 的陣元個(gè)數(shù)為m，陣元間的頻偏為Δf2，則子陣1 第n 陣元和子陣2 第m 陣元的載頻可表示為：

窄帶條件下，子陣1、2 各陣元發(fā)射信號(hào)可表示為：

給定一個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)點(diǎn)（R，θ），子陣1 第n 陣元和子陣2 第m 陣元的發(fā)射信號(hào)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的信號(hào)形式為：

整個(gè)陣列在遠(yuǎn)場(chǎng)位置的場(chǎng)強(qiáng)為子陣1 和子陣2在遠(yuǎn)場(chǎng)處形成場(chǎng)強(qiáng)的疊加。圖8 為以中心對(duì)稱子陣結(jié)構(gòu)為接收陣列所得的天線方向圖，方向圖中的波束主瓣在掃描位置處形成了點(diǎn)狀波束。

圖8 中心對(duì)稱子陣log-sin-FDA 天線方向圖

3 仿真結(jié)果

仿真1：TS-MVDR 算法的應(yīng)用。

首先分析當(dāng)干擾與目標(biāo)位置在角度及距離上都比較接近時(shí)，TS-MVDR 算法在基于子陣結(jié)構(gòu)的sin-FDA-BFF 及sin-FDA-MIMO 結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用性能。設(shè)中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)中兩子陣的陣元數(shù)都為15，子陣陣元間的頻差Δf 都為Δf=10 KHz，目標(biāo)位于（30 km，30°），干擾位于（32km，31°），得到圖9～圖12。從圖中可知，與采用線性頻偏的陣列結(jié)構(gòu)在目標(biāo)位置處所形成的“傾斜”波束不同，基于子陣的sin-FDA-BFF 結(jié)構(gòu)以及sin-FDA-MIMO 結(jié)構(gòu)在目標(biāo)位置處都能形成點(diǎn)狀波束。同時(shí)，干擾位于（32 km，31°）、（32 km，42°）時(shí)都可以在保持目標(biāo)點(diǎn)增益的同時(shí)對(duì)干擾進(jìn)行有效抑制。

圖9 子陣sin-FDA-BFF 天線方向圖（3-D）

圖10 子陣sin-FDA-BFF 天線方向圖（2-D）

圖11 子陣sin-FDA-MIMO 天線方向圖（3-D）

圖12 子陣sin-FDA-MIMO 天線方向圖（2-D）

圖13 子陣sin-FDA-BFF 天線方向圖（3-D）

圖14 子陣sin-FDA-BFF 天線方向圖（2-D）

圖15 子陣sin-FDA-MIMO 天線方向圖（3-D）

圖16 子陣sin-FDA-MIMO 天線方向圖（2-D）

改變干擾位置為（35 km，30°），其余仿真參數(shù)不變，得到圖13～圖16。當(dāng)干擾與目標(biāo)距離維接近同時(shí)角度維不可分時(shí)，傳統(tǒng)的相控陣波束由于僅僅具有角度維的分辨力而沒有距離相關(guān)性，因而相控陣方向圖中的“零陷帶”會(huì)對(duì)主瓣方向的增益產(chǎn)生影響，基于線性頻偏均勻線陣結(jié)構(gòu)的FDA-BFF 及FDA-MIMO 結(jié)構(gòu)的方向圖也會(huì)出現(xiàn)主瓣畸變。從圖中可知，兩種結(jié)構(gòu)的方向圖都得到了較為理想的效果。

仿真2：各類結(jié)構(gòu)的輸出性能對(duì)比。

首先對(duì)方向圖進(jìn)行比較，目標(biāo)位置（30km，30°），干擾位置（35 km，30°），PRA 及FDA-BFF 結(jié)構(gòu)中陣元數(shù)N=30，子陣sin-FDA-BFF、子陣sin-FDA-MIMO 結(jié)構(gòu)中兩子陣陣元數(shù)為15，分別采用三角函數(shù)及對(duì)數(shù)形式的非線性頻偏增量，陣元間頻差固定為Δf=10 KHz，利用MVDR 算法求取4 種結(jié)構(gòu)的最優(yōu)權(quán)矢量，在目標(biāo)、干擾距離處各結(jié)構(gòu)的角度維方向圖如圖17、圖18 所示（為方便比較主瓣偏移情況和干擾的零限深度，目標(biāo)距離處采用幅度圖，干擾距離處采用dB 圖）。

圖17 各結(jié)構(gòu)的角度維方向圖（R=30 km）

圖18 各結(jié)構(gòu)的角度維方向圖（R=35 km）

由圖可知，當(dāng)干擾與目標(biāo)處在同一角度時(shí)，在目標(biāo)距離處，PAR 的主瓣產(chǎn)生明顯的畸變，而sin-FDA-MIMO、sin-FDA-BFF 及FDA-BFF 在目標(biāo)處保持了較高增益。sin-FDA-MIMO、sin-FDA-BFF在目標(biāo)位置處形成了點(diǎn)狀波束，但與FDA-BFF 相比，波束主瓣發(fā)生了一定程度的峰值偏移。在干擾距離上，F(xiàn)DA-BFF、sin-FDA-MIMO（TS）形成的干擾最深，PRA 在干擾位置未形成較深的零陷。雙邊MVDR 將整個(gè)波束形成過程虛擬成發(fā)射與接收波束形成兩個(gè)過程，對(duì)干擾進(jìn)行了兩維抑制。

4 結(jié)論

本文提出了基于TS-MVDR 的子陣FDA 波束形成算法。該算法在將陣列劃分為兩個(gè)引入不同非線性頻偏的中心對(duì)稱子陣結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，采用雙邊MVDR 算法降低計(jì)算量，得到了基于子陣的sin-FDA 波束形成方法。仿真驗(yàn)證表明所提方法在目標(biāo)位置處形成點(diǎn)狀波束的同時(shí)，可以有效抑制角度維不可分的干擾。但TS-MVDR 算法存在性能“凹口”的問題，這需要通過對(duì)MVDR 波束形成器目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化進(jìn)行進(jìn)一步的研究。