張萬梅

（廣東省中山市黃圃鎮(zhèn)中學）

筆者曾參與2018年中考數(shù)學閱卷工作，負責的題目涉及基本的尺規(guī)作圖，每看到作圖出錯的試卷都引發(fā)筆者思考：這個學生是怎么作的圖？為什么他這樣做？近幾年，廣東省中考試卷中每年都有涉及到尺規(guī)作圖的題，盡管都是分值為2～3分的基本作圖，但是作為唯一一個可以考查學生的動手能力的知識點，尺規(guī)作圖在數(shù)學教學中、在培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)上，絕不僅僅是“2～3分”的地位.接下來，筆者試圖從中考答卷上尋找學生可能出現(xiàn)的實質(zhì)問題，并通過明晰尺規(guī)作圖的要求，結(jié)合實例對尺規(guī)作圖的教學提出自己的建議.

一、試題再現(xiàn)與答題分析

1.試題再現(xiàn)

題目（2018年廣東卷第19題）如圖1，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75°.

圖1

（1）試用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為點E，交AD于點F.（不要求寫作法，保留作圖痕跡.）

（2）略.

2.答題分析

對于第（1）小題，除去白卷后主要出現(xiàn)如圖2～圖6所示的錯誤作法.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖2中沒有作圖痕跡，可能是利用刻度尺找到線段AB的中點，然后再利用尺子的直角過中點作垂線；也可能是用尺規(guī)作圖的，但圓規(guī)中鉛筆的痕跡太淡，以致看不到作圖痕跡.

圖3是只在線段AB的一側(cè)用圓規(guī)畫了一個垂直平分線上的點，再利用尺子作過這點的垂線.根據(jù)“兩點確定一條直線”，可知這個作圖是錯誤的.

圖4是分別以點A和點B在線段AB兩側(cè)畫弧時，取的半徑長度不一致，很明顯，這樣作圖的學生沒有明白尺規(guī)作線段垂直平分線的依據(jù)，而且不理解垂直平分線的性質(zhì)及其逆定理.

圖5是沒有看清楚題目，作了線段AD的垂直平分線.

圖6是最后作出來的EF是線段，沒有過弧的兩個交點連成直線，或者連了又擦掉了，應該是沒有理解好“線段的垂直平分線是一條直線”.

筆者是第一次見如圖7所示的作圖，但在改卷過程中，發(fā)現(xiàn)不只三五個學生這樣作圖.這樣作圖的作法和合理性是什么？有以下兩種可能性：可能是先用刻度尺找出中點E，再用圓規(guī)以點E為圓心，以小于AE長為半徑在線段AB上畫弧，再分別以這兩個交點為圓心，取相同半徑在線段兩側(cè)分別畫弧；也可能是先分別以點A，B為圓心，以大于AE、小于AB長為半徑在AB上畫弧，再如第一種情況那樣繼續(xù)畫弧.如果是第一種可能，作法肯定是錯誤的；如果是第二種可能，是可以推理出作圖依據(jù)的.但為什么會出現(xiàn)這樣復雜的作法？是有教師這樣教學，還是學生將“作線段的垂直平分線”和“過一點作已知直線的垂線”弄混了呢？

圖7

二、明晰尺規(guī)作圖的要求

1.尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖，指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖.與用刻度尺、量角器等工具作圖相比，尺規(guī)作圖顯得更加客觀、精準，因為量取和讀數(shù)都會存在一定誤差.觀察尺規(guī)作圖所得的幾何圖形，我們可以將一些結(jié)論由特殊引向一般，并歸納出幾何的一般性結(jié)論.在初中數(shù)學中，尺規(guī)作圖被分為兩類：一類是基本作圖，另一類是利用基本作圖進行作圖.它們都是初中生必須掌握的基本技能.

2.課程標準要求

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）對尺規(guī)作圖的要求如下.

（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線.

（2）會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

（3）會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.

（4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.

3.能力分析

在尺規(guī)作圖的過程中，直尺的功能是作連接兩點之間的線段，或過兩點畫直線和射線；圓規(guī)的功能是用于畫圓或弧，或者截取一條線段等于已知線段.這種只限于用尺規(guī)作出符合一定條件的幾何圖形的要求，需要學生具有較強的數(shù)學思維能力和操作能力.

《標準》對尺規(guī)作圖的教學提出如下要求：了解作圖的道理，保留作圖的痕跡.就像證明要做到言必有據(jù)一樣，作圖也要做到有根有據(jù)，這種要求有助于發(fā)展學生的理性精神.尺規(guī)作圖是基于演繹推理的一種作圖方法，每種基本作圖都可以用幾何推理驗證其正確性，所以尺規(guī)作圖教學實為訓練學生的邏輯思維.

在第二類“利用基本作圖進行作圖”中，尺規(guī)作圖與圖形的判定、性質(zhì)的證明有著本質(zhì)的聯(lián)系.例如，已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊，可以作出（確定）一個三角形，這與判定兩個三角形全等的“SSS”“SAS”“ASA”在本質(zhì)上是一致的.“過不在同一直線上的三點作圓”需要用到線段的垂直平分線的性質(zhì)證明得到的是圓心和半徑；“作圓的內(nèi)接正方形”需要知道正方形的對角線是直徑，以及線段的垂直平分線的定義或性質(zhì)，從而得到正確的畫法，等等.這些作法的正確性都是需要經(jīng)過一定的推理得出的.

因此，尺規(guī)作圖教學是訓練學生邏輯推理的一個重要內(nèi)容.

三、尺規(guī)作圖的教學建議

1.在探究過程中由推理而“明理得法”

《標準》提出了“作圖不僅要知法，還要明理”的要求.“知法”保證了作圖技能的應用性，而“明理”則提升了“法”的理論高度.在教學中，教師要讓學生知道作圖的合理性，這對“法”的網(wǎng)絡(luò)化和綜合應用都非常有利.為此，在尺規(guī)作圖的教學中，我們要從“法”和“理”兩個維度引導學生展開追問，力求讓得“法”與“明理”同步.

如圖8～圖11為用尺規(guī)作一個角的平分線、過一點作已知直線的垂線、作線段的垂直平分線，這三種基本作圖的方法有所不同，但本質(zhì)上是沒有區(qū)別的.因為作圖過程都是構(gòu)造等腰三角形，依據(jù)都是等腰三角形的性質(zhì).在前兩種基本作圖方法中，都借助了全等三角形的判定和性質(zhì).而在學習人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）八年級上冊“12.3角的平分線的性質(zhì)”中對角平分線的尺規(guī)作圖作法證明后，學習“13.1.2線段的垂直平分線”中對過一點作已知直線的垂線的方法的探究就會非常順暢，因為直角就相當于作平角的角平分線.當然，若點在直線外，那道理就和作線段的垂直平分線一樣，用線段的垂直平分線的判定來解釋，即到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，加上“兩點確定一條直線”.教材安排的這幾個內(nèi)容很相近，學生的思維發(fā)展在探究中可以獲得知識和經(jīng)驗的積累.

圖8

圖9

圖10

圖11

從前面的分析可知，出現(xiàn)如圖7所示的作法可能是因為學生沒有理解作圖的本質(zhì)，將問題復雜化了.事實上，在線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖中，可以先畫出草圖，結(jié)合線段的垂直平分線的性質(zhì)得到尺規(guī)作圖的思路，然后用直尺和圓規(guī)嚴格作圖.如圖11，分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑在線段的一側(cè)畫弧，然后以不同的長為半徑在另一側(cè)畫弧.同時，要讓學生明白作圖依據(jù)：因為PA=PB，QA=QB，所以點P，Q一定在線段AB的垂直平分線上，連接直線PQ，則PQ為線段AB的垂直平分線.這種方式，更有利于學生明白尺規(guī)作線段垂直平分線的依據(jù).而后教師說明，為了方便操作，兩側(cè)可以取相同的長度為半徑畫?。ㄈ鐖D10）.

所以，在尺規(guī)作圖的作法探究中，教師可以讓學生根據(jù)已知畫出草圖，根據(jù)草圖分析畫法，利用尺規(guī)規(guī)范作圖，而后再證明，這就經(jīng)歷了由合情推理到演繹推理的思維過程，也是由幾何直觀到幾何推理的過程.

2.在實際應用中因演繹推理而“熟法”

在教材八年級上冊“12.2三角形全等的判定”一節(jié)的探究活動中，也需要尺規(guī)作圖，作圖與推理既交替又同時進行.例如，已知一個三角形，利用尺規(guī)“作一條線段等于已知線段”，作出與已知三角形三邊分別相等的三角形.通過如此作圖探究，就得到了判定三角形全等的一個基本事實——SSS.根據(jù)“SSS”又得到了用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法，進而由“作一條線段等于已知線段”和“作一個角等于已知角”兩個基本作圖進行其他作圖，探究得出“SAS”的可行性和“SSA”的不可行性.包括后面對“HL”的探究，同樣是利用基本尺規(guī)作圖后進行演繹推理得到的其他作圖.在教材八年級下冊“17.1勾股定理”一節(jié)中，在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點，是對勾股定理的應用，也用到了“作一條線段等于已知線段”.在解決幾何問題中，作輔助線也是用到這個基本作圖.

例如，在選址問題上，就基本離不開尺規(guī)作圖.

如圖12，現(xiàn)要在道路AB，AC的交叉區(qū)域內(nèi)建一個市場P，使得市場到兩條道路的距離相等，兩個村莊M，N到這個市場的距離也相等，試找出點P，并說明理由.

圖12

如圖13，點A，B，C表示三個村莊，現(xiàn)要建一座深井水泵站，向三個村莊分別送水，為使三條輸水管長度相同，水泵站應建在何處？試畫出示意圖，并說明理由．

圖13

圖14

如圖14，有三條公路相交于三點，要建一個加油站，使這個加油站到三條公路的距離都相等，試作出這個加油站的位置P.

以上三個應用都是線段的垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖，它們的性質(zhì)就是作圖依據(jù).

四、結(jié)束語

總之，尺規(guī)作圖是一種過程，是培養(yǎng)學生的幾何直觀、推理等能力的重要途徑.教學中，教師要讓學生利用幾何原理解釋作圖步驟，在培養(yǎng)學生操作能力的同時，達到訓練學生理性思維的目的；要讓學生在探究過程中由推理而“明理得法”，在實際應用中因演繹推理而“熟法”.學生思考、作圖和證明的過程，正是《標準》所提倡的“經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”，這一操作和推理活動，既有利于學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，又有利于培養(yǎng)學生合情推理和演繹推理的能力.教學過程中，教師要把握作圖本質(zhì)，讓學生經(jīng)歷過程、感悟思想，達到思維的深度參與.這樣一種有推理的思維過程，有邏輯的作圖，正是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要時機，值得深入研究.