楊青

[摘? 要] 拋物線課堂教學的精心設計，在教師的引導之下，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生感悟和享受數(shù)學思考的樂趣.

[關鍵詞] 拋物線;課堂教學;教學設計

■問題提出

拋物線作為重要的圓錐曲線之一，在高考中占有重要的地位，同時它還具有豐富的文化和實用價值.但在實際教學中，教材和教師對拋物線的概念的處理相當簡潔，學生未能感受到知識的形成過程，特別是焦點和準線，學生不知這兩個量從何而來;另外學生對拋物線在實際生活中的應用認知之甚少，不能產(chǎn)生足夠的學習動機.

如何突破以上問題？本節(jié)課從學生認知的實際出發(fā)，尊重教材，但不拘泥于教材. 通過設計“問題串”，創(chuàng)設良好的思維環(huán)境，讓學生經(jīng)歷觀察猜想、動手實驗、分析討論、抽象概念、推出方程、探索規(guī)律等環(huán)節(jié)，充分發(fā)揮學生的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.

■教學分析

1. 教材分析

“拋物線及其標準方程”是普通高中課程標準實驗教科書（人教版）數(shù)學選修2-1第二章第四節(jié)第一課時的內(nèi)容. 本節(jié)課主要探究拋物線的定義、四種標準方程及簡單應用.

拋物線作為教材中學習的最后一種圓錐曲線，本節(jié)課具有“統(tǒng)前”功能：把前面各種思想和方法統(tǒng)一起來，在拋物線定義的生成及標準方程的建立過程中，深刻體會運用類比和數(shù)形結(jié)合思想解決問題的基本策略.同時，本節(jié)課又具有“啟后”的意義：通過拋物線的定義及其標準方程的學習，為用代數(shù)方法研究拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系等做好準備.

2. 學情分析

此前學生學習了橢圓、雙曲線的定義及其標準方程和幾何性質(zhì)，已經(jīng)總結(jié)了一些研究圓錐曲線的方法和經(jīng)驗，真正體會到了用代數(shù)方法研究幾何圖形的科學之處，這為學習拋物線奠定了基礎. “數(shù)形結(jié)合”思想一直貫穿于我們的數(shù)學學習當中，正在學習的圓錐曲線更是這一重要數(shù)學思想的精彩再現(xiàn)和升華，這樣的教學安排符合新教材對學生認知培養(yǎng)螺旋上升的要求.在學習的過程中，我們要重點培養(yǎng)學生自主學習和研究的能力.

3. 重難點分析

本節(jié)課的教學重點是拋物線概念的形成、拋物線標準方程的建立、標準方程與圖形的對應關系. 本節(jié)課的教學難點是拋物線定義的生成、坐標系的建立以及標準方程的推導.

“教學做合一”是我國著名的教育實踐家陶行知的“生活教育”理論的核心部分.本節(jié)課堅持在“做”上下功夫，為突出學生在課堂教學中的主體地位，采用體驗啟發(fā)、自主探究、合作交流等多種教學方法. 類比圓和中垂線的定義，引導學生發(fā)現(xiàn)新的曲線——拋物線. 通過設計“問題串”，創(chuàng)設良好的思維環(huán)境，讓學生經(jīng)歷觀察猜想、動手實驗、分析討論、抽象概念、推出方程、探索規(guī)律等環(huán)節(jié)，充分發(fā)揮學生的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.

4. 教學目標

（1）掌握拋物線的四種標準方程及其圖形、焦點坐標、準線方程.

（2）①類比圓和中垂線的定義，引導學生發(fā)現(xiàn)新的曲線——拋物線;然后通過動手操作，教師的幾何畫板演示，來探索新的曲線的幾何特征，生成拋物線的定義，提高學生的動手能力、分析能力及抽象概括能力.②通過拋物線標準方程的建立，進一步鞏固用“數(shù)”表示“形”的解析幾何的思想.

（3）①通過本節(jié)探究過程，感受數(shù)學理性之精神——真?、谕ㄟ^拋物線在實際生活中的應用，感受數(shù)學應用之真諦——善?、弁ㄟ^拋物線幾何形狀、標準方程的形式感受數(shù)學形式之和諧——美！

■教學過程

1. 類比引入

教師提問1：平面內(nèi)，到定點的距離相等的點的軌跡是什么？

教師提問2：平面內(nèi)，到兩個定點的距離相等的點的軌跡又是什么？

教師提問3：平面內(nèi)，到一條定直線與該直線外一定點的距離相等的點的軌跡，你知道是什么嗎？

（注：學生回憶在平面內(nèi)到兩個定點的距離相等的點的軌跡時，容易因定義掌握不扎實，誤認為是橢圓，此時需要根據(jù)具體情況引導學生.）

學生探究1：回憶圓的定義.

學生探究2：回憶中垂線的定義.

學生探究3：類比圓和中垂線的定義，引發(fā)學生的好奇心，探索新的曲線是什么.

設計意圖：①從學生熟悉的定義出發(fā)，類比引入，層層遞進.平面內(nèi)到一個定點的距離相等的點的軌跡是圓，到兩個定點的距離相等的點的軌跡是中垂線，最后再引導學生思考：把其中一個點變成一條直線，去探索新的曲線是什么. ②前面所學的知識與本節(jié)課的學習與探究緊密聯(lián)系，是繼續(xù)學習的認知起點和知識附著點;通過對圓與中垂線定義的類比，發(fā)現(xiàn)新的曲線是拋物線.引導學生在已有的知識和方法的基礎上，從數(shù)學內(nèi)部提出新問題，積極思考，使學生的知識結(jié)構日臻完善，而不是支離破碎.③中垂線定義的復習，為拋物線的畫法打下基礎.

2. 親身體驗——感受新知

教師提問4：在平面內(nèi)給定一條直線l和直線外一點F，試作出到它們距離相等的點的軌跡.

學生探究4：學生在學案上嘗試根據(jù)題意找出滿足條件的點，再用描點法作出它的軌跡.

學生在探究過程中，教師抽取學生展示作圖方案，并指導學生不斷完善作圖方法.

學生探究5：探究出好的方法，確定到定點與定直線的距離相等的點的準確位置.

注：學生很容易找出已知點F到直線l的垂線段的中點M■是定點與定直線的距離相等的點，但容易將H■F，H■F，…的中點M■，M■，…認為也是這樣的點，此時教師可以引導學生猜想：點M■，M■，…是不是滿足到直線l與點F的距離相等的點？追問：若M■滿足條件，則其與直線H■F有怎樣的關系？學生便很容易發(fā)現(xiàn)點M■在直線H■F的中垂線上，從而引導學生歸納出正確的作圖方法.

教師在展示了學生成果后，用幾何畫板動態(tài)展示曲線的形成過程，并指出這種曲線就是拋物線.

教師提問5：剛才我們用幾何畫板畫出的曲線上的點滿足什么幾何特征？

學生探究6：拋物線上的點滿足的幾何特征.

設計意圖：課本是用幾何畫板直接演示得出拋物線圖形的，本節(jié)課的設計意圖是通過學生探究合適的作圖方法，親自通過描點法畫出圖形，讓其在動手操作的過程中感知拋物線的產(chǎn)生過程，加深對所畫圖形的認識與理解，初步感知圖形的幾何特征.通過幾何畫板演示拋物線的形成，加深了學生對拋物線幾何特征的準確認識.其設計思路是尊重教材、敬畏教材，但又不拘泥于教材.

3. 引導探究——獲得新知

（1）獲得定義.

教師提問6：同學們，能給拋物線下一個定義嗎？

學生探究7：（預設）到點F的距離與到直線l的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.

教師提問7：如果點F在定直線l上呢？

借助幾何畫板，將點F放在定直線l上，讓學生直觀觀察出此時的軌跡.

學生探究8：（預設）哦，點F在定直線l上，軌跡就變成了一條過點F且與定直線l垂直的直線.

教師板書：（預案）重新定義如下：平面內(nèi)到一定點F和到一條不過此點的定直線l的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.如圖4. 其中定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線.

教師用強調(diào)的聲調(diào)并加上肢體語言形象地表示出拋物線的焦點、準線與拋物線的位置關系：拋物線“口含”焦點，“背向”準線.

設計意圖：使學生加深對定義的理解，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，對拋物線的認識由感性認識上升到理性認識，并適時進行數(shù)學語言教學.

（2）合理建系，引導推導拋物線的標準方程.

教師提問8：請同學們回憶求曲線方程的步驟.

學生探究9：整理求曲線方程的步驟.

教師給學生短暫的思考時間后，引導學生作答;然后展示一個拋物線：設拋物線的焦點F到準線l的距離為KF，記KF=p（p>0）.

教師提問9：如何建立恰當?shù)淖鴺讼?，才能使所建立的拋物線的方程最簡單？請同學們獨立思考，并在學案上完成建系.

學生探究10：獨立完成建系，并求出相應的坐標.

教師巡視課堂，指導學生在學案上完成建系，并收集學生建系的方式.

預案一：（只有方案三）引導學生說出方案三這樣建系的好處，并求出方程.

預案二：（只有方案一和方案二）通過引導K，F(xiàn)的對稱性引出方案三，并只求方案三的方程.

預案三：（有三種方案）學生不知道該如何選擇，將學生分成三大組分別求出相應的方程，并進行展示.

采用“小先生”方式，每組選一個學生的成果進行展示. 教師分組，讓學生在對應的坐標系下求出對應的拋物線方程.

學生探究11：學生在對應的坐標系下求出對應的拋物線方程.

解：如圖5所示建系，設M（x，y），F(xiàn)（p，0），H（0，y）. 因為{MMF=MH}，所以■=x，所以x2+p2-2px+y2=x2，即y2=2px-p2.

如圖6所示建系，設M（x，y），F(xiàn)（0，0），H（-p，y）. 因為{MMF=MH}，所以■=■，所以x2+y2=x2+p2+2px，即y2=2px+p2.

如圖7所示建系，設M（x，y），F(xiàn)■，0，H-■，y. 因為{MMF=MH}，所以■=■，所以x2+■-px+y2=x2+■+px，即y2=2px.

教師提問10：哪種坐標系下求出的方程最簡潔？

教師引導學生，指出y2=2px（p>0）對稱且簡潔大方，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美、簡潔美！我們把y2=2px（p>0）叫作焦點在x軸正半軸的拋物線的標準方程. 其中記拋物線的焦點F到準線l的距離為KF，記KF=p（p>0），焦點F■，0，準線方程x=-■.

教師提問11：標準方程y2=2px（p>0）次數(shù)特征是怎樣的？（左二右一）

設計意圖：①經(jīng)歷從建系的選擇到方程的化簡的每一個環(huán)節(jié)，強化數(shù)學運算、數(shù)學建模的能力，同時前后聯(lián)系鑒賞拋物線標準方程的對稱美和簡潔美. 實行“小先生”制，可以激發(fā)學生自主學習的動力，培養(yǎng)學生自主學習的能力.②引導學生如何觀察、總結(jié)開口向右的拋物線的圖形、標準方程，以及它的焦點坐標和準線方程，也為總結(jié)其他形式的拋物線方程奠定了基礎.

（3）拋物線標準方程的四個形式以及拋物線的圖形、焦點位置、開口方向與標準方程的關系.

教師提問12：拋物線的標準方程還有其他形式嗎？

教師提問13：請同學們根據(jù)拋物線的圖形，嘗試完成其他幾種形式的拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程.

教師引導學生自愿起來回答完成其他三個方向的拋物線的標準方程.

教師提問14：如何根據(jù)拋物線的標準方程來確定它的焦點位置？將同學們分組討論.

學生探究12：學生分組思考如何根據(jù)拋物線的標準方程來確定它的焦點位置.

教師到每個學習小組指導學習，和學生一起討論并得出結(jié)論：①一次定焦，正負定向. ②一次項的變量如為x（或y），焦點就在x軸（或y軸）上. ③一次項為正，焦點在正半軸，反之亦然.

教師提問15：結(jié)合PPT，教師繼續(xù)追問：拋物線的標準方程的一次項系數(shù)與焦點坐標中的非零坐標有怎樣的關系？

教師引導學生得到如下結(jié)論：

①一次項的變量如為x（或y），焦點就在x軸（或y軸）上. 一次項為正，焦點在正半軸，反之亦然.

②拋物線的標準方程的一次項系數(shù)與焦點坐標的非零坐標存在4倍數(shù)量關系.有了焦點坐標，根據(jù)焦點與準線的關系，就可以得到拋物線的準線方程.