陳之領(lǐng)

[摘? 要] 文章通過(guò)“基本不等式”一節(jié)課四個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)，例談了如何在培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)凸顯適切情境、思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)本質(zhì)、實(shí)踐應(yīng)用等課堂教學(xué)四要素.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);適切情境;思維活動(dòng);數(shù)學(xué)本質(zhì);實(shí)踐應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體. 《標(biāo)準(zhǔn)》自頒布以來(lái)，如何培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)日益成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題. 基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)視角下的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要凸顯哪些要素是值得思考的一個(gè)問(wèn)題. 筆者以為適切情境、思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)本質(zhì)、實(shí)踐應(yīng)用等四要素是值得追求的. 下文以“基本不等式”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，淺談自己粗淺的感受.

■情境——?jiǎng)?chuàng)設(shè)適切情境，滲透數(shù)學(xué)文化

課堂教學(xué)的任務(wù)就是把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)變成教育形態(tài)的數(shù)學(xué)、文化形態(tài)的數(shù)學(xué). 學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識(shí)，要講究效率，更要經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，因此情境的創(chuàng)設(shè)就顯得尤為重要.

情境創(chuàng)設(shè)有很多種類型，如生活情境、游戲情境、科學(xué)情境等. 適切的情境有助于引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于知識(shí)更好更快地呈現(xiàn)，有利于學(xué)生更好地理解知識(shí)產(chǎn)生的源頭或必要，有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與提高.

三國(guó)時(shí)期趙爽創(chuàng)制了一張弦圖，直觀而絕妙地證明了勾股定理. 在設(shè)計(jì)本節(jié)課教學(xué)情境時(shí)，筆者借鑒趙爽弦圖直觀簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，仿制了這樣一個(gè)折紙活動(dòng)教學(xué)情境：

第一步：每位同學(xué)用兩張面積分別為a，b（如圖1）的正方形紙片，沿對(duì)角線對(duì)折成如圖2所示的圖形，然后將對(duì)折后的等腰直角三角形紙片沿斜邊重合.

第二步：小三角形上沿延長(zhǎng)至大三角形的直角邊，整個(gè)拼圖就變成了一個(gè)矩形和一個(gè)更小的等腰直角三角形，如圖3.

問(wèn)題1：整個(gè)拼圖的面積和矩形的面積分別是多少？

問(wèn)題2：顯然拼圖的面積（整體）大于矩形的面積（局部），你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這一結(jié)論嗎？

問(wèn)題3：?jiǎn)栴}2中的結(jié)論描述了一種不等關(guān)系，那么滿足什么條件時(shí)兩者的面積相等？

學(xué)生很快就得到了這三個(gè)問(wèn)題的答案：

問(wèn)題1的答案：■與■;

問(wèn)題2的答案：■>■;

問(wèn)題3的答案：等號(hào)成立的條件是a=b.

從學(xué)生的反應(yīng)來(lái)看，上述折紙活動(dòng)簡(jiǎn)單易做，結(jié)論簡(jiǎn)潔明了. 與教材中的“用制造的不精確的天平測(cè)兩次同一物體的質(zhì)量”相比，折紙活動(dòng)的情境創(chuàng)設(shè)源頭來(lái)自趙爽弦圖，進(jìn)行合理的遷移，直觀而簡(jiǎn)潔，學(xué)生易于接受而又感興趣，凸顯了數(shù)學(xué)文化的韻味. 學(xué)生從具體的折紙活動(dòng)抽象到代數(shù)式的生成是一個(gè)理性思維形成的過(guò)程，既是數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，又是歸納整理的過(guò)程，為數(shù)學(xué)建模提供了有效方案和解決經(jīng)驗(yàn).

■活動(dòng)——鼓勵(lì)活動(dòng)探究，提升批判思維

折紙活動(dòng)中，學(xué)生雖然感知了基本不等式公式的形式，但對(duì)其深刻的內(nèi)涵還沒(méi)有剖析和領(lǐng)悟，為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自主探索和理解基本不等式的“基本”含義，定理形成的抽象過(guò)程以及邏輯上的正確，在給出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)兩個(gè)概念之后，筆者又設(shè)計(jì)了以下活動(dòng).

針對(duì)以下幾個(gè)“問(wèn)題串”，請(qǐng)同學(xué)們思考并討論：

問(wèn)題4：有沒(méi)有可能出現(xiàn)■<■呢？如果不能，為什么？如何證明你的結(jié)論？

問(wèn)題5：結(jié)論可以合寫(xiě)為■≥■嗎？那么結(jié)論中的a，b有什么范圍？如果脫離紙片這個(gè)載體，結(jié)論中的a，b的范圍可否再擴(kuò)大？能否用文字語(yǔ)言表達(dá)這一結(jié)論？

問(wèn)題6：在證明結(jié)論過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)■≥■其實(shí)和哪個(gè)知識(shí)是等價(jià)的？

對(duì)于問(wèn)題4，學(xué)生通過(guò)自己獨(dú)立的思考和相互交流之后認(rèn)為不可能出現(xiàn)■<■，理由是圖形整體的面積不可能比局部面積小，但是具體如何證明有難度，經(jīng)過(guò)筆者點(diǎn)撥后順利地用差比法證明了■≥■一定成立.

對(duì)于問(wèn)題5，學(xué)生認(rèn)為a，b的范圍可以從大于零擴(kuò)展為非負(fù)數(shù)，即a=0，b=0亦適用，但對(duì)于文字表述存在困難，絕大多數(shù)的學(xué)生還在表述中存在具體的字母a，b而沒(méi)有抽象為任意兩個(gè)非負(fù)數(shù)，經(jīng)指出后認(rèn)識(shí)到其一般性：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).

對(duì)于問(wèn)題6，學(xué)生一致給出了想法：實(shí)數(shù)平方非負(fù)，因?yàn)樽C明到最后，其實(shí)是利用了（a-b）2≥0，而（a-b）2≥0反映了實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，正是源于實(shí)數(shù)的這一基本性質(zhì)，我們把其稱為基本不等式.

設(shè)計(jì)這個(gè)活動(dòng)是為了讓學(xué)生在對(duì)自己感知的結(jié)論進(jìn)行批判性反思的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一般性的抽象，上升為理性的數(shù)學(xué)成果. 學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和交流，通過(guò)推理完善知識(shí)的構(gòu)成，辨析運(yùn)算中的字母優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

■本質(zhì)——淡化數(shù)學(xué)形式，注重本質(zhì)理解

學(xué)生在經(jīng)歷了6個(gè)問(wèn)題以后，得到了完整的基本不等式定理，也理解了“基本”的含義，理解了基本不等式是兩個(gè)平均數(shù)的比較，但對(duì)其深刻的內(nèi)涵還沒(méi)有充分挖掘. 《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的要求是“掌握”. 掌握意味著要能分析、推導(dǎo)、證明、運(yùn)用、解決等. 為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解定理的本質(zhì)，達(dá)成課程目標(biāo)，筆者設(shè)計(jì)了如下活動(dòng).

問(wèn)題7：a，b既然是任意非負(fù)數(shù)，如果把■當(dāng)成b，會(huì)得到什么樣的結(jié)論？

問(wèn)題8：求函數(shù)y=x+■（x>0）的最小值.

問(wèn)題9：求函數(shù)y=x+■（x>-2）的最小值.

問(wèn)題10：函數(shù)y=sinx+■，x∈（0，■）有最小值嗎？

“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)從一個(gè)數(shù)變成一個(gè)式開(kāi)始（本質(zhì)上代數(shù)式運(yùn)算的結(jié)果還是一個(gè)數(shù)），逐漸過(guò)渡到右邊結(jié)果為定值，再過(guò)渡到形式上的補(bǔ)數(shù)湊形，到最后關(guān)注等式成立的條件，使學(xué)生對(duì)定理在運(yùn)用時(shí)的條件有了本質(zhì)的把握. 問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生時(shí)而能快速理解，時(shí)而一步不前，時(shí)而又聯(lián)想頓悟. 對(duì)定理形式化表達(dá)和運(yùn)用有了更準(zhǔn)確的理解.

■應(yīng)用——強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用，拓展學(xué)生素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)……是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的. 數(shù)學(xué)的應(yīng)用既有數(shù)學(xué)抽象體系內(nèi)的運(yùn)用，也有現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)踐應(yīng)用. 實(shí)踐運(yùn)用幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題.

問(wèn)題11：汽車(chē)已經(jīng)成為如今很多人出行的方式. 疫情期間，沙特、俄羅斯和美國(guó)產(chǎn)生石油矛盾，油價(jià)起伏較大，試以兩次加油為例，說(shuō)明定量加油和定金額加油哪種方式更劃算？（定量加油是指每次加相同的油量，定金額加油是指每次加相同的金額）

事實(shí)上，如何理解“加油劃算”是一道坎，用更少的錢(qián)加相同的油或用相同的金額加更多的油，本質(zhì)都是考慮到兩次加油后油價(jià)均價(jià)更低，所以需要抽象出“均價(jià)”這一概念. 如何表示每種方式兩次加油后油價(jià)的均價(jià)又是一道坎，生活中，均價(jià)的概念是總價(jià)除以總量，需要學(xué)生有一定的生活體驗(yàn). 如何比較兩種均價(jià)高低涉及數(shù)學(xué)中比大小的方法，在證明基本不等式時(shí)差比法課堂上剛涉及，難度不是很大. 兩種加油方式涉及的兩次油價(jià)的均價(jià)分別對(duì)應(yīng)了兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)，判斷兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的大小關(guān)系恰恰進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)基本不等式的理解. 在整個(gè)題目求解的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)不等式的學(xué)習(xí)會(huì)有更深刻的理解.

高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，也是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革追求的核心. 在以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，如果能創(chuàng)設(shè)適切的情境，組織形式多樣的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，不斷突破數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用，一定能夠助力學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).