陳小祥 張文海

[摘? 要] 如何更好地推進核心素養(yǎng)的落地生根？如何進一步提升教育教學質量效益？文章從一節(jié)省級活動的同課異構的課堂教學以及評課等系列活動出發(fā)，剖析設計案例、感悟教育教學、深思相關理論，進而反思再教學與設計，擬提供落實核心素養(yǎng)于課堂教學環(huán)節(jié)的案例供同行參照.

[關鍵詞] 教學設計;新授課;大單元教學

■基本情況

1. 背景簡介

近期江蘇省高中數(shù)學骨干教師研修活動在蘇州順利舉行，期間在蘇州某四星級高中舉行了新授課同課異構的活動，在學科核心素養(yǎng)全面推進和江蘇等省即將進入新一輪課改的背景下，我們將眼光重新投向了課堂教學. 眾所周知，課堂教學很大程度上受限于教學設計，教師的一個重要工作就是進行教學設計與創(chuàng)新，教師的一個重要身份或許就是教學設計師，特別是新授課的設計與教學. 命題新授課是高中數(shù)學的一種基本課型，也是獲取新知的主要途徑之一. 本文試圖通過以省骨干教師培訓期間的同課異構活動中的一位優(yōu)秀教師開設的一節(jié)公式新授課的設計、教學、專家評議等活動為載體，通過筆者的觀察與反思，為高中數(shù)學命題新授課的設計、教學的研究提供示例.

2. 教學對象

上課對象為江蘇省蘇州市某四星級高中二年級某班，學生基礎好，思維活躍，有相當?shù)念惐?、?lián)想、推理和運算能力，絕大部分學生有著較高的數(shù)學學習熱情，能夠積極主動地參與課堂教學的各個環(huán)節(jié).

3. 學情分析

學生已經完成了蘇教版必修5數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等差數(shù)列的前n項和以及等比數(shù)列的概念的學習，對數(shù)列的概念、等差數(shù)列的一些知識方法和技能以及基本思想、活動經驗等有了初步的認識和感受，并且對高中數(shù)學新授課特別是等差數(shù)列部分的學習的方式有了一定的了解.

4. 教材分析

“等比數(shù)列的前n項和”是蘇教版必修5中2.3.3節(jié)的內容，本節(jié)內容既是對初中相應內容的拓展擴充，也是高中繼等差數(shù)列章節(jié)后重要的后續(xù)課程，是等差數(shù)列前n項和以及等比數(shù)列通項后的一個自然延續(xù);其公式及其推導蘊含了特殊到一般、類比和歸納等思想方法，是高中數(shù)學教學中一個重要的衍生性主題內容，同時也為數(shù)列章節(jié)后續(xù)的應用打下了不可或缺的知識方法的基礎.

5. 教學目標設置

較為自然地引導學生想到公式并推導應用;重點是公式推導，難點是怎樣想到證明方法. （授課張老師自述語）

■教學過程實錄

1. 創(chuàng)設情境，問題引入

師：上節(jié)課我們學習了等比數(shù)列的哪些內容？

生（集體）敘述：定義、通項公式等內容.

師：依照等差數(shù)列學習的內容安排，今天我們學習等比數(shù)列的（停頓）和.

問題情境1：（細菌分裂）細菌通過分裂增殖，一個細菌繁殖10代可以產生多少個細菌？

問題情境2：（產值問題）某廠去年的產值記為100萬元，若計劃在今后的5年內的產值每一年比上一年增長10%，則從今年起到第5年，這個廠的生產總值為多少萬元？

師：上述2個問題所涉及的分別是什么數(shù)學問題？

生1：求項以及求和的問題（師板書相應的代數(shù)式）.

問題情境3：（借貸問題）故事情境：富人借錢給窮人，第1天1萬，以后每天比前一天多1萬，30天截止;窮人第1天還1分，以后每天還的錢是前一天的2倍，30天截止. 問：窮人是否可以接受這種借還方式？

師：問題3中涉及的兩個數(shù)列求和式子是（師生互動，師板書式子）：1+2+3+…+30（萬元），1+2+22+…+229（分）.

2. 師生互動，探究問題

師：窮人是否可以接受這種借還方式，可以轉化為一個怎樣的數(shù)學問題？

生2：比較兩個式子和的大小，第一個式子可以利用前面所學的等差數(shù)列的求和公式求解，問題是如何求第二個式子的和.

師：這個同學的回答直擊問題的核心，下面我們就來研究如何求第二個式子的和. 想一下，如果讓你來求，你怎么算？（停頓）

師：這樣，我們先來考慮1+2+22+…+210怎么算.

生眾：硬算，一個一個地加（學生笑）.

師：項數(shù)較多時，一個一個地加就顯得不方便了，能不能類似等差數(shù)列的求和公式，找到一個求這一類問題的一般公式呢？比如求1+2+22+…+2n的和？（停頓）

生3：先算幾個n比較小的看看.

師：很好，縮小指數(shù)算算看，一起來.

（師生互動，師寫n=1，2，3，4時的式子及和）

師：結果與n的關系能不能猜一猜？

生4：Sn=2n-1.

師：這一結果從哪兒得到的？

生4：觀察前幾項后猜想的.

師：研究一般問題先從特殊的情況入手考慮是一個不錯的辦法，如果公比不是2而是3呢？公式類似嗎？公比為q呢？

師：公比為3，4，5，6的情形，請同學們分組探究一下1+q+q2+…+qn的和. （小組活動）

幾分鐘后，各小組匯報自己探究的結果：■，■，■，■.

師：公比為q呢？

生5：■.

師：有沒有什么疑問？

生6：q≠1.？搖

師：為什么？

生6：分母不能為0.

師：若q=1，怎么辦？

生6：常數(shù)列.？搖

師：好，如何證明這個結論？不翻書，同學們思考思考. （停頓2分鐘）

生7：（學生們思考議論）等式兩邊乘q.

師：為什么要乘q？

生7：乘q之后，一列數(shù)中有很多項是相同的，可以消去.

師：大家說他講得好不好？一定要乘q嗎？還有沒有其他辦法？

生8：還可以除以q.

師：除以q，相當于乘■（師寫出過程）. 除了乘■，還可以乘其他的數(shù)嗎？

生8：還可以乘q2.

師：乘q，■，q2等都與何有關？

生眾：與q有關.

師：對比一下，哪個更好？乘q的目的，抓住了等比數(shù)列前后項之間的特征.乘q達到了什么目的？

生8：消項，變成了2項.

師：這種化無限為有限的方法之前遇到過嗎？等差數(shù)列前n項和怎么求的？它的本質是什么？

生9：倒序相加法，抓住等差數(shù)列a■+an=a2+an-1=…的特征，實現(xiàn)了化無限為有限.

師：回答得很好，這兩種求和方法雖然不同，但其數(shù)學思想方法卻是統(tǒng)一的. 類比等差數(shù)列求和的倒序相加法，你能給這個方法取一個名字嗎？

生眾：（結合過程，詳述程序，并描述關鍵步驟）錯位相減法，數(shù)學上方法的名稱，很多時候，能夠反映其內涵.

師：若改成一般的等比數(shù)列{an}，其前n項和a1+a2+…+an=？

生10：Sn=■.

師：還有沒有其他情況？

生11：當q=1時，Sn=na1.

師：我們考慮問題一定要嚴謹，只要使用求和公式，就要考慮q=1的特殊情況（師板書并強調公式整體），求和公式關注了哪幾個量？

生眾：a■，q，n.

師：想一想，求等差數(shù)列前n項和有幾個公式？第二個公式是如何得到的？求等比數(shù)列前n項和會不會也有兩個公式？公式能不能類比得到？（試一試）

生12：結合通項公式an=a1qn-1，可得Sn=■（q≠1）.

師：重新認識等比數(shù)列前n項和的公式的推導方法：名稱，實施步驟（①②③），與等差數(shù)列前n項和公式相比其相同點是什么（①②③）？

師：大家思考一下，推導求和公式時，在等式Sn=1+q+q2+…+qn-1兩邊同時乘q這一妙招，剛才那位同學是根據等比數(shù)列各項之間的特征直接觀察得到的. 我們可否從要證明的猜想S■=■（q≠1）的結構分析而得到？（停頓片刻）

生13：要證Sn=■，只要證（1-q）·Sn=1-qn，即證S■-qS■=1-qn，從這里也可以發(fā)現(xiàn)同乘公比q的妙招.

師：這個同學回答得太精彩了，他告訴了我們一種證明恒等式的方法，就是分析法，其本質就是執(zhí)果索因. 實際上，歷史上關于這個問題的探究有幾種精妙的證法，大家不妨一起來了解和欣賞一下.

3. 歷史名題，證法欣賞

教師出示兩個歷史命題：（1）公元前1650年埃及祭司的房屋、貓、老鼠、麥穗問題;（2）《孫子算經》卷下，九堤、九木、九枝、九巢、九禽、九雛、九毛、九色問題.

教師引導學生欣賞證法：（紙草書）提取因式法、（幾何原本）比例證法等.

教師介紹方法、敘述歷史.

師：了解并學習了等比數(shù)列的求和公式，接下來可以做什么呢？

生眾：應用公式解決求和問題.

4. 公式運用，理解數(shù)學

師：請一位同學出一個與等比數(shù)列求和相關的問題，大家求解.

生14：a■=2×3n. （學生均能利用公式直接解答）

師：我來出一個題，大家解答一下：1+4+42+…+4n=？

生15：■=■.

師：大家同意嗎？如果不同意，你覺得問題在哪里？

生16：應該是■=■，這里的項數(shù)應該是n+1項.

師：以后我們在利用公式求和時，一定要關注好a■，q，n，a■到底是多少，如果不知道q的值，一定要對q分q=1和q≠1進行討論.

例題：在等比數(shù)列{a■}中，S■=■，S■=■，求通項公式a■.

生17：方法1（公式法，師補充公比的分析）.

生18：■=q3……

5. 總結反思，深化認識

師：讓我們一起從知識層面和方法層面對今天所學的內容進行一個總結.

生：無限到有限，消元，特殊到一般，分類討論……

師：（思維導圖式）數(shù)學知識（求和公式、推導方法），數(shù)學思想（特殊與一般、歸納猜想證明、方程思想、分類討論、化無限為有限）.

■專家點評

蘇州市教育科學研究院原院長、著名特級教師祁建新教授，蘇州高新區(qū)教育發(fā)展中心主任、省特級教師張必華教授，蘇州教科院高中數(shù)學研究員、省特級教師吳鍔主任，江蘇省正高級教師、高考命題專家王第成教授在三位上課教師（特優(yōu)、骨干和學員教師）介紹完教學設計意圖以及教學感受后，進行了氣氛熱烈的點評交流：

張必華教授首先指出：三節(jié)課精心安排，代表了不同階段、不同境界、不同層次的教師設計，彰顯了各自的教學風格.新課程下的課堂有一些還是比較傳統(tǒng)一些，但今天的三節(jié)課從不同的角度切入，讓人眼前一亮，可以用前“蘇式課堂”中的詞形容此三節(jié)課：靈動、精致、開放、大氣、扎實、生動、有效.

吳鍔主任認為：張老師的課從情境（生活的、數(shù)學內部的）引入，開門見山、單刀直入，從等差到等比（過渡）;接下來的探究活動中，教師引導，師生互動，小組合作，從少項（入手，逐漸）到多項，從數(shù)列研究的常規(guī)思路（出發(fā)），歸納出q=2時的結果，又繼續(xù)進行了q=3，4，5，6的分組實驗，再得到一般結果;然后對公式進行有效證明，體現(xiàn)了“創(chuàng)新再發(fā)現(xiàn)”的理念，符合現(xiàn)代數(shù)學教學要求，也合乎弗賴登塔爾理論;重視數(shù)學家發(fā)現(xiàn)之路，再創(chuàng)造突出知識的形成過程，關注學生體驗過程，過程中發(fā)現(xiàn)了一些結論，數(shù)學實驗中有新的發(fā)現(xiàn)，抽象出了數(shù)學結論，體現(xiàn)了新課程理念，這個過程即是數(shù)學抽象，接下來的證明過程是邏輯推理，從而使核心素養(yǎng)落地生根，同時體現(xiàn)了問題解決意識，有限與無限的轉化滲透著數(shù)學哲學觀.

王弟成教授接著指出：一節(jié)好課的最基本的標準是，下課后學生能非常清楚本節(jié)課學到了什么.本節(jié)課教師能根據學生的問題進行引導，針對問題如何能夠自然地不強加學生的引導使得學生不知不覺學會了. 課堂上伴隨著問題的解決，（學生）創(chuàng)造了方法，體會了成功、自信，也感受到了自我發(fā)現(xiàn);課堂教學中非常注重在解決問題的過程中，探尋問題解決思路，滲透數(shù)學思想方法，方程思想、消元思想、特殊化思想等自然流淌，（充分體現(xiàn)）素養(yǎng)導向下的以知識為載體、以能力立意的新課堂（標準）.

然后，與會專家和教師自身也闡述了一些改進建議：如例題完成稍顯倉促，還有一些值得挖掘的地方;針對情境中引入的問題，課尾可予以解決回應，以形成完整結構，等等.

■教育論壇

本次活動后相比以前多了一個環(huán)節(jié)，頗具特色，即教育論壇，先是教育名家針對數(shù)學核心素養(yǎng)如何落地生根這個主題發(fā)表個人見解，再由與會教師和專家互動.

祁建新教授認為：課堂研究為進一步接近真理發(fā)現(xiàn)真理助力.

首先，要形成大觀念. （教學設計體現(xiàn)相應的）精神、能力、數(shù)學美;教數(shù)學的人要學點哲學，數(shù)學實力一定程度上決定國家實力;要立德樹人，借助研究形成大觀念.

其次，強化大主題. 數(shù)學里的大主題，有些是隱性主題，如審美主題，跟著課標、高考考向、學科規(guī)律（去研究），形成特色，走向風格. （教學的）各階段理解各有不同，數(shù)學史上是如何求和的？為什么要學習求和？必要性問題應講清楚;審美上，追求簡潔;教師藝術是，訓練學生，怎么訓練？運算如何（反對割裂素養(yǎng)的運算，算中有推）？如何悄悄地體現(xiàn)上去？等等，都需要思考研究.

第三，注重大單元.大單元，（要考慮）一節(jié)課在一個單元中的位置，一個單元（的整體）設計，設計的準確、清晰、連續(xù)性（的考量），即設計應與未來幾節(jié)課有聯(lián)系、有伏筆.

第四，教得有效.教得巧妙（是能力），教出特點，教出美感（是藝術）.

吳鍔主任指出：課堂是提升核心素養(yǎng)的沃土，素養(yǎng)通過教育去改變，課堂實踐大有可為，教育大有可為;靠研究，付出勞動，做中學，學中做. 從教育的初衷與理解上看（這幾節(jié)課），也許并不能改變什么，但可以提供（教學）示范和（教育）思考.

王弟成教授認為：教學的著眼點是培養(yǎng)能力;思考的方法，素養(yǎng)的落地是一個切入點（平時多搜集素材，有一些較為深入的思考）.

互動環(huán)節(jié)，與會專家和參會教師就新課程理念下數(shù)學學習成績與素養(yǎng)培養(yǎng)的關系進行了熱烈的探討，包括對練習量的程度等問題的看法進行了交換.

張必華教授最后總結：核心素養(yǎng)的課怎么上？五點以概之：①以問題為中心;②知識技能是載體，技能在問題中;③實驗（數(shù)學）與活動是過程，過程以學生為主體;④以信息技術為手段（信息技術輔助、整合、融合于教學）;⑤以“四基四能”核心素養(yǎng)為目標.

■教學反思

1. 關于公式課的教學

在數(shù)學中，用來表示數(shù)學判斷的陳述句或符號的組合叫作數(shù)學命題，它們揭示了從現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系中抽象出來的一般規(guī)律，數(shù)學命題的教學主要指公理、定理、公式、法則的教學[1];而教學設計是運用系統(tǒng)方法分析教學問題和確定教學目標，建立解決教學問題的策略方案、試行方案、評價試行結果和對方案進行修改的過程，是教師理論素養(yǎng)和學科素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)[2].

教學方法：曹一鳴教授認為，數(shù)學教學中，應該啟發(fā)學生，通過實驗、觀察、演算、分析、類比、歸納、作圖等步驟，探索規(guī)律，建立猜想，發(fā)現(xiàn)命題.

教學原則與策略：（1）需要原則：通過有效問題激發(fā)動機、調動積極性，引起內在期望和認知需要. （2）過程性策略：教師在證明階段，通過適當?shù)慕虒W方法，啟發(fā)學生直接或間接地感受、體驗數(shù)學知識的產生、發(fā)展、演變的動態(tài)過程，要求教師暴露學生的思維過程，揭示命題產生、推證過程，突出思想方法的提煉與應用過程，引導學生感受、體驗“再創(chuàng)造”的過程. （3）變式策略：通過變式練習等多種方式，促進學生理解命題蘊含的思想方法的本質特征;（4）系統(tǒng)化策略：弄清命題在數(shù)學體系中的地位、作用，以及命題之間的關系，把握命題全貌;通過小結復習將知識整理成系統(tǒng)的知識體系，形成命題知識鏈;通過討論公式的推廣方法來表現(xiàn)命題知識的系統(tǒng)性.

本節(jié)課的教學，完全符合公式課的教學要求，以情境問題闡明必要性、以探究活動引發(fā)再創(chuàng)造、以多種證法揭示出本質、以數(shù)學史幫助學生拓展理解、以典例解決強化應用、以簡明導圖概括所學;從特殊到一般、從歸納到猜想、從多法到本質、從證法到思想、從應用到理解、從引導到放手再到回收，整個課堂自然順暢、時緊時緩，不知不覺之間在對話、探究、深思、合作、應用中學生學了公式、懂了緣由、會了應用、深了理解，為命題課的課堂教學提供了一次極好的示范.

2. 關于教學設計

教學設計是一個系統(tǒng)化規(guī)劃教學系統(tǒng)的過程，其根本目的是創(chuàng)設一個有效的教學系統(tǒng). 通俗地講，就是你要把學生帶到哪里去？你怎樣把學生帶到那里去？你這樣做能把學生帶到那里去嗎？

王尚志、張思明認為：現(xiàn)代教學設計理論上強調依據學習任務類型來選擇教學策略;強調以問題為中心，營造一個能激活原有知識經驗、有利于新知識構建的學習環(huán)境，幫助學生進行有效的數(shù)學學習. 進一步，他們認為教學設計需要考慮三條線索，關注三個維度：教學內容線索，教學內容應由簡單到復雜;學生的認知線索，使得學生的學習行為由低級到高級發(fā)展，表現(xiàn)為“理解接受——聯(lián)結應用——探究創(chuàng)造”;教學組織線索，教師的教學行為由顯性向隱性發(fā)展，表現(xiàn)為“傳授知識——訓練技能——傳承策略”.

涂榮豹教授構建的“數(shù)學教學設計原理”可以很好地剖析本節(jié)課，原理結構如圖1：

如何教學生學會思考？用研究問題的一般方法：提出問題——構建概念——尋找方法——提出假設——驗證猜想——語言表述. 張老師的設計和教學順序與這一般線路基本契合.

提出什么樣的問題？涂教授認為，用“問題結構推進教學原理”，包括每節(jié)課問題化、問題結構化、解題教學化. 本節(jié)課首先提出了目標問題“求等比數(shù)列前n項和”，由此產生了一系列的問題，最終引導學生得到了一般化的規(guī)律——公式.

問題從哪兒來？涂教授認為，辦法是“創(chuàng)設情境——提出問題”. 如何創(chuàng)設情境？任旭、夏小剛認為，可以從“設計衍生性主題，把握數(shù)學教學內容的本質和轉化數(shù)學關系明確問題結構”幾個步驟進行. 本節(jié)課開始時創(chuàng)設的情境拉近了數(shù)學與學生的距離，激發(fā)了學生數(shù)學學習的興趣和動機，再通過后續(xù)一系列圍繞等比數(shù)列前n項和公式的探究設計的問題鏈構成的新問題情境，逐步明確了求和的數(shù)學本質——關于a■，q，n（a■）的代數(shù)式f（a■，n，q），通過消項，化無限為有限的問題. 教學的關鍵在于將等比數(shù)列前n項和的本質關系轉化為學生可以“觸摸”和探索的數(shù)學問題，從這個意義上說，“問題情境是一類具有現(xiàn)實性和思考性的數(shù)學問題”[3]，而不僅僅是一節(jié)課開始時的幾個引入問題.

教師如何引導？用“啟發(fā)性提示語引導原理”，即教師由遠及近、由易到難地設計啟發(fā)性問題，啟發(fā)引導學生主動探究. 課堂教學中，張老師通過精煉的對話從特殊到一般，從簡單到復雜，引導學生合作討論、思考探究，教學過程中能感覺到那種行云流水的順暢推進和張弛有序的思維活動節(jié)奏.

當然，還需要“反思性教學原理”，教會學生通過回顧、質疑、反詰、追問進行思考. 張老師的課堂上，隨處可見“反思性教學”：回顧前節(jié)課所學知識而引出新知，質疑、歸納結果引出演繹，反詰、探究結論點引出易錯點（q=1），適時追問將探究活動引向深入，最終教會學生思考這一節(jié)數(shù)學課的本質.

如何提升教師的教學設計能力？教師需主動學習，“研究、實踐、反思缺一不可，研究新的教學理念和程式，關注設計的三個主線（知識線、認知線、組織線），研究不同課型的不同教法，注意一個意識和三個維度（整體單元意識，數(shù)學的、學生的、教學的維度）”[4].

總之，“教育不再是知識與技能的傳授，而是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力. 這一切變化都要求學校教育從‘教轉向‘學.近20年來，數(shù)學課堂的變化無疑是一種信號：從‘五環(huán)節(jié)到‘多環(huán)節(jié)，再到‘無環(huán)節(jié)，課堂教學過程中的問題驅動、活動引導、任務驅動、項目學習、單元設計等，已經成為趨勢. 課堂教學中，以學生為中心，關注學生動手實踐、自主探究、合作交流、問題解決已經成為常態(tài).”[5] 如果教師經常學習教學設計理論，加強教學設計研究，進行教學設計實踐，堅持教學設計反思，那么數(shù)學課堂教學就能更接近甚至達到李善良博士所說的“詩化數(shù)學、詩意課堂、詩潤心靈”的境地.

參考文獻：

[1]? 曹一鳴，張生春.數(shù)學教學論[M]. 北京：北京師范大學出版社，2010.

[2]? 段志貴. 教學生學會思考是數(shù)學教學的根本[J]. 高中數(shù)學教與學（人大復印報刊資料），2019（06）.

[3]? 任旭，夏小剛. 問題情境的創(chuàng)設：基于思維發(fā)展的理解[J]. 數(shù)學教育學報，2017（04）.

[4]? 陳小祥，李慧. 例談高中概念新授課的教學與設計——以《任意角》為例[J]. 數(shù)學通訊，2019（04）.

[5]? 李善良. 教科書：從“教”材到“學”材——蘇教版高中數(shù)學教科書編寫思考[J]. 中學數(shù)學月刊，2019（08）.