成宏偉

(江蘇省無錫市第六高級(jí)中學(xué)，214023)

HPM是History and Pedagogy of Mathematics(數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育)的簡(jiǎn)稱,HPM教學(xué)方式就是利用數(shù)學(xué)史來促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)方式.HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)的基本方法就是重構(gòu)歷史，追求自然的發(fā)生教學(xué)法,即以學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā),凸顯所學(xué)知識(shí)的必要性,呈現(xiàn)知識(shí)的自然發(fā)生過程,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)[1].

本文以蘇教版《數(shù)學(xué)》必修5第2章第1小節(jié)“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”中數(shù)列概念引入的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,通過同課異構(gòu),對(duì)兩種不同的教學(xué)片段進(jìn)行比較,對(duì)HPM視野下高中數(shù)學(xué)數(shù)列起始課教學(xué)進(jìn)行思考.

一、教材分析

數(shù)列的起始課人教版教材稱為“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”,而蘇教版教材則稱“數(shù)列”,一般安排在高二上學(xué)期學(xué)習(xí).本節(jié)課的重點(diǎn)是理解數(shù)列的概念,認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,探索并掌握數(shù)列的幾種簡(jiǎn)單表示法(通項(xiàng)公式、列表法、圖象法).教學(xué)難點(diǎn)包括:認(rèn)識(shí)數(shù)列是一種特殊的函數(shù);發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律,找出數(shù)列可能的通項(xiàng)公式.本節(jié)課是后續(xù)學(xué)習(xí)兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列的前提和基礎(chǔ).

從重點(diǎn)內(nèi)容來看,在運(yùn)用數(shù)學(xué)史理解數(shù)列概念和認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型這兩個(gè)方面有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).

二、教學(xué)片段

1.片段1

情境1北宋哲學(xué)家邵雍的詩《山村詠懷》：“一去二三里,煙村四五家,亭臺(tái)六七座,八九十枝花.”詩中涉及的數(shù)字依次為______.

生:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

情境2傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,約公元前570年——約公元前500年)學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題,他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)(如圖1).

以上三角形點(diǎn)陣表示三角形數(shù),它們表示的數(shù)字依次為______.

生:1,3,6,10.

情境3中國古代莊周所著《莊子·天下篇》寫到:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.即一尺長(zhǎng)的木棒,每日取其一半,永遠(yuǎn)也取不完．如果將“一尺之棰”視為1份,那么每日剩下的部分依次為______.

情境4將 π 的不足近似值按小數(shù)位數(shù)從少到多的次序排成一列數(shù),依次是______.

生:3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.141 5, 3.1415 9…

師:這些數(shù)有什么共同的特點(diǎn)?

生:都是按照一定的順序排成的一列數(shù).

2.片段2

德國天文學(xué)家提丟斯通過觀察:3,6,12,24,48,96,192…,對(duì)這組數(shù)據(jù)加以運(yùn)算,也就是在數(shù)列前面加一個(gè)數(shù)字,然后每個(gè)數(shù)字都加上4后再除以10,得到了一列數(shù)字,結(jié)果發(fā)現(xiàn)了火星和木星之間有一個(gè)空格.提丟斯在當(dāng)時(shí)就預(yù)料,在火星和木星之間距太陽2.8天文單位處應(yīng)該有一個(gè)天體.

n03612244896192… 距離 行星類別水星金星地球火星?木星土星?…實(shí)際距離0.390.721.01.52?5.29.5?…計(jì)算距離a=n+4100.40.71.01.62.85.210.019.6…

同學(xué)們!如果你是天文學(xué)家,看到這張表格,你會(huì)有什么想法嗎?大膽地猜想一下!

生:如果我是天文學(xué)家,我會(huì)考慮在火星和木星之間,以及土星后面可能有還未被發(fā)現(xiàn)的新行星.

師:請(qǐng)說說你的理由!

生:就是距離太陽2.8和19.6天文單位附近.

師:非常好!你已經(jīng)具備了天文學(xué)家的潛質(zhì)!歷史上,過了若干年,天文學(xué)家無意間發(fā)現(xiàn)了天王星,天王星與太陽的平均距離是19.2天文單位,與定則中的19.6非常吻合．再后來，天文學(xué)家又在距太陽2.77天文單位，發(fā)現(xiàn)了谷神星及小行星帶,從而驗(yàn)證了提丟斯-波得定則.同學(xué)們?cè)囅胍幌?如果提丟斯當(dāng)時(shí)舍去一個(gè)數(shù),比如12,或者給的另外一組數(shù)據(jù)3,6,9,12,還能發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎?

生:那肯定不能.

師:如果改變一下數(shù)字順序,比如將3和12交換一下,還能啟發(fā)出靈感嗎?

生:還是不能.

師:這里面的數(shù)字不能隨便交換,說明計(jì)算距離和n的什么有關(guān)?

生:與n的順序有關(guān).

師:對(duì),是和排列的順序有關(guān)?在數(shù)學(xué)史上,還有很多和數(shù)字排列有關(guān)的問題,古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常常在沙灘上一起研究數(shù)學(xué)問題……

3. 方案比較

片斷1是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)史引入案例,先通過北宋哲學(xué)家邵雍的詩《山村詠懷》,給人一股濃濃的文學(xué)氣息,使得數(shù)學(xué)課也有了人文色彩.接下來的三個(gè)情境,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的例子來源于人教版教材,莊周的例子來源于蘇教版,這兩個(gè)例子一個(gè)是發(fā)生在國外古希臘,另一個(gè)是在中國古代的戰(zhàn)國時(shí)期,意在告訴學(xué)生數(shù)列問題不僅是一個(gè)歷史悠久的問題,而且涉及的地域范圍也非常廣,同時(shí)研究的數(shù)列問題已經(jīng)有了一定的思維高度.第四個(gè)關(guān)于π的例子選自同學(xué)們比較熟悉的例子,容易引起學(xué)生的共鳴,同時(shí)也給學(xué)生一種印象,數(shù)列不一定都是象前三個(gè)例子一樣有明顯的規(guī)律.

片斷2引入比較新穎,先通過一個(gè)天文學(xué)的例子引入,而且這個(gè)天文學(xué)的例子對(duì)同學(xué)們來講比較陌生,它的實(shí)際意義也就顯得更強(qiáng).首先,在課堂上,同學(xué)們有時(shí)對(duì)課本以外的知識(shí)更感興趣，也就有利于調(diào)動(dòng)課堂的學(xué)習(xí)氛圍.其次,這個(gè)例子提醒我們，不是為了學(xué)習(xí)數(shù)列而學(xué)習(xí)數(shù)列,而是利用數(shù)列的規(guī)律性為人類服務(wù).這個(gè)例子其實(shí)也是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的典型案例,對(duì)學(xué)生今后數(shù)學(xué)建模思想的形成會(huì)起到不可忽視的作用.

三、教學(xué)感悟

汪曉勤教授總結(jié)出數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式有:附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式[2].片斷1中的例子可以歸結(jié)為復(fù)制式或者順應(yīng)式,片斷2關(guān)于提丟斯—波得的例子可以歸結(jié)到重構(gòu)式.

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂,應(yīng)該遵循現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn),不應(yīng)以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)為代價(jià).在實(shí)際教學(xué)中,也有不少同行對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂持觀望態(tài)度,他們的顧忌之一就是怕增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),影響高考成績(jī).如果

在課堂教學(xué)中能將數(shù)學(xué)史和教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合,相互促進(jìn)和支撐,這樣既普及了數(shù)學(xué)史知識(shí),又提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,也就不必?fù)?dān)心學(xué)生的考試成績(jī)受到影響,可能反而會(huì)有所提升.

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂要因課制宜,因人而異.既不能為了將數(shù)學(xué)史融入課堂,而將與課程無關(guān)的數(shù)學(xué)史生搬硬套，也不能將不適合當(dāng)前年齡段學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容強(qiáng)加進(jìn)來，那樣只會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.數(shù)學(xué)史融入課堂,要善于借鑒和重構(gòu),而不是僅僅停留在講述趣聞?shì)W事、豐富課堂內(nèi)容上.更要象片斷2一樣，從這段歷史中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想和方法,引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流,促使學(xué)生通過開展觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng),獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí),提升基本數(shù)學(xué)技能,培養(yǎng)學(xué)生勇于探究的精神,進(jìn)而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).