楊文霞　何朗　劉揚

[摘 要]通過分析新工科背景下工程數(shù)學(xué)課程群建設(shè)的必要性，提出對照高中新課標，進行概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程改革。采用知識導(dǎo)圖及貫穿專業(yè)背景的案例教學(xué)法，進行復(fù)變函數(shù)與積分變換課程改革。最后，向?qū)I(yè)問需求，打通不同課程之間的壁壘，進行工程數(shù)學(xué)課程群整合與應(yīng)用案例教學(xué)設(shè)計，構(gòu)建工科數(shù)學(xué)課程群學(xué)習(xí)支持體系。

[關(guān)鍵詞]工程數(shù)學(xué);課程群建設(shè);概率論與數(shù)理統(tǒng)計;復(fù)變函數(shù)與積分變換

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2020）01-0025-03

一、引言

2017年2月20日，教育部發(fā)布《關(guān)于開展新工科研究與實踐的通知》（教高司函〔2017〕6號），其目的是深化工程教育改革，服務(wù)和支撐我國經(jīng)濟轉(zhuǎn)型升級，探討在當前以新技術(shù)、新業(yè)態(tài)、新產(chǎn)業(yè)為特點的新經(jīng)濟發(fā)展態(tài)勢下，新工科的發(fā)展道路和人才培養(yǎng)要求[1]。工程數(shù)學(xué)課程群包括但不限于線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)與積分變換、常微分方程、數(shù)值計算等課程，這是大多數(shù)工科類專業(yè)所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)核心課程，更是學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程的知識保障。其教學(xué)目標是使學(xué)生能夠在遇到專業(yè)課程中的實際問題時，能運用相關(guān)數(shù)學(xué)知識和使用數(shù)學(xué)語言進行表達與求解。

武漢理工大學(xué)（以下簡稱“我?！保┳鳛橐粋€以材料、交通、機械、汽車等為優(yōu)勢學(xué)科的理工科大學(xué)，工程數(shù)學(xué)有著廣泛的學(xué)習(xí)群體。長期以來，傳統(tǒng)工程數(shù)學(xué)課程由于學(xué)時短任務(wù)重，知識難度大，且各課程之間缺乏融會貫通而被學(xué)生視為學(xué)習(xí)的難點，學(xué)生面對復(fù)雜數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)感到茫然，只求通過課程考試獲得必修學(xué)分。工程數(shù)學(xué)在各工科專業(yè)中沒有真正發(fā)揮作用，這直接影響到學(xué)生專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及學(xué)生自身專業(yè)素養(yǎng)的提高。因此，為適應(yīng)新工科發(fā)展和新工科人才培養(yǎng)要求，進行工程數(shù)學(xué)課程群教學(xué)改革勢在必行。

各大高校也注意到這些問題，紛紛開展工程數(shù)學(xué)課程群的教學(xué)改革與實踐。張長勤等[2]建議課程由數(shù)學(xué)教師與計算機、工程技術(shù)等相關(guān)課程的教師共同進行研究、建設(shè)，加強專業(yè)應(yīng)用背景介紹;母麗華等[3]通過實施案例教學(xué)法來培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性;謝加良等[4]探討了新工科理念下信息技術(shù)與線性代數(shù)的融合。

新工科理念下的工程數(shù)學(xué)課程群教學(xué)與改革，應(yīng)該是課程群多課程的整體聯(lián)動，互相打通。關(guān)于線性代數(shù)的課程改革，筆者已另有多篇文章論述，在此不再介紹。本文貫徹“工程數(shù)學(xué)服務(wù)于新工科建設(shè)”這一理念，探討我校新工科理念下的工程數(shù)學(xué)課程群建設(shè)，重點闡述概率論與數(shù)理統(tǒng)計及復(fù)變函數(shù)與積分變換這兩門課程的教學(xué)改革實踐及工程課程教學(xué)群建設(shè)措施。

二、工程數(shù)學(xué)課程群教學(xué)改革實踐

（一）對照高中新課標，進行概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)改革

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程貼近生活，例題富有趣味性，是工程數(shù)學(xué)中最容易被學(xué)生接受的課程。但在實際學(xué)習(xí)中，學(xué)生在前半段不重視這門課程，到后半段的數(shù)理統(tǒng)計部分才感到課程學(xué)習(xí)困難。究其原因，還要從新課標高中課程與大學(xué)課程的銜接和教學(xué)目標、教學(xué)方式的差異等說起。表1是2017年版新課標的高中課程[5]與大學(xué)課程的知識點對比。可見，新課標中對于概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識涉及面達到近60%。特別是學(xué)習(xí)第一、第二章的時候，因為知識點重復(fù)率高，學(xué)生容易產(chǎn)生懈怠心理。由于高中階段概率部分教學(xué)的主要目的是使學(xué)生了解隨機現(xiàn)象及概率的意義，理解隨機事件發(fā)生的不確定性及頻率的穩(wěn)定性等， 而不追求嚴格定義及形式化描述。因此，隨著學(xué)習(xí)的推進，到了隨機數(shù)據(jù)的數(shù)字特征和數(shù)理統(tǒng)計這部分，很多學(xué)生開始犯愁，聽不懂。

對此，我們的改革措施為：調(diào)整教學(xué)側(cè)重點，重視教學(xué)設(shè)計，注重對學(xué)生“知識發(fā)現(xiàn)過程”的引導(dǎo)。為避免課程開始時學(xué)生產(chǎn)生輕視心理，教師需熟悉高中相關(guān)課程知識，調(diào)整知識點講解的詳略側(cè)重，降低簡單重復(fù)內(nèi)容的教學(xué)，注意進行教學(xué)內(nèi)容的對接。教學(xué)設(shè)計可從學(xué)生的自我經(jīng)驗出發(fā)，以高中課本的典型例題為切入點，但更重要的是，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認識到本科概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程與高中課程在要求上的不同， 提醒學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)和適應(yīng)本科教學(xué)與高中教學(xué)的巨大差異。在教學(xué)中，教師須從理論本質(zhì)上去引導(dǎo)學(xué)生探尋“知識發(fā)現(xiàn)”的過程，側(cè)重強調(diào)概念與術(shù)語的引入、理論的掌握、思想及方法的提出;同時，提高他們的理論化描述能力和抽象思維能力，以及對公理化公式的深刻理解程度，從而提高他們學(xué)習(xí)的廣度和深度。

（二）結(jié)合專業(yè)基礎(chǔ)課程，進行復(fù)變函數(shù)論課程改革

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程，從實際教學(xué)效果反饋來看，是學(xué)習(xí)難度最大的一門數(shù)學(xué)課程。我們的教學(xué)改革主要圍繞如下幾點展開。

1.構(gòu)建知識導(dǎo)圖，梳理知識框架

為了幫助學(xué)生加深對概念的理解，對于重要相關(guān)知識點，利用思維導(dǎo)圖，構(gòu)造知識點的網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)圖，幫助學(xué)生將繁雜凌亂的知識點整合成一個整體，重視對概念和定理的直觀分析及講解，注重對概念和定理的整體直觀把握。梳理各種計算方法之間的先決條件，形成一個知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。同時采用類比法教學(xué)，讓學(xué)生回憶高等數(shù)學(xué)中的實函數(shù)微積分，再將其擴展到復(fù)數(shù)域中，分析他們的類似之處，并仔細對比差別，以加深學(xué)生對概念的理解。

2.和專業(yè)課程結(jié)合，貫穿案例式教學(xué)

學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與積分變換的時候，正在學(xué)習(xí)電路原理、模擬電子電路、信號與系統(tǒng)等專業(yè)基礎(chǔ)課。在教學(xué)中，需要重視課程教學(xué)內(nèi)容和這些專業(yè)課程的結(jié)合，對案例教學(xué)法和參與式教學(xué)法進行改革。首先，給出這些專業(yè)課程中的實際問題，例如，以信號與系統(tǒng)或電路分析為例，一個系統(tǒng)通常使用常微分方程或差分方程進行描述;然后，從復(fù)變函數(shù)與積分變換的角度分析，并選擇恰當?shù)闹R方法解決問題。信號與系統(tǒng)的變換域分析法，利用拉普拉斯變換和傅立葉變換或Z變換進行求解，正好涵蓋復(fù)變函數(shù)與積分變換的知識框架。微分方程經(jīng)過變換處理后，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)方程，求解簡單，這是積分變換理論的主要應(yīng)用目的。其次，鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生利用MATLAB等符號計算工具進行復(fù)變函數(shù)與積分變換的數(shù)值實驗，以及實現(xiàn)特定函數(shù)的可視化，提高學(xué)生的動手能力和對課程及概念的理解。最后，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，使用課程理論逐步求解這些案例，加快學(xué)生對抽象理論、方法的理解和應(yīng)用。

教學(xué)實踐、問卷調(diào)查及期末考試成績表明，幫助學(xué)生理清這條學(xué)習(xí)基本主線，對學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程極為有益。通過以上教學(xué)設(shè)計和改革，學(xué)生既能學(xué)習(xí)和掌握積分變換的思想，又能與其專業(yè)課相結(jié)合，教學(xué)效果比改革之前單純地講數(shù)學(xué)知識有了明顯的提高，學(xué)生的重視程度提高，考試通過率明顯提升，期末考試平均分提高約15.3分。

三、構(gòu)建“應(yīng)用驅(qū)動”工程數(shù)學(xué)課程群

（一）打通課程之間的壁壘，向?qū)I(yè)問需求，進行工程數(shù)學(xué)課程群整合應(yīng)用案例教學(xué)

當下工業(yè)應(yīng)用與專業(yè)課程中有很多問題是多門工科數(shù)學(xué)課程的綜合應(yīng)用?？上Ы^大多數(shù)學(xué)生在大三、大四進行專業(yè)學(xué)習(xí)時，不能運用之前學(xué)習(xí)的工程數(shù)學(xué)理論去求解問題。為此，除在課堂貫穿案例教學(xué)之外，課程組以當下的熱點問題或?qū)I(yè)課程中的問題為切入點，整合研制應(yīng)用教學(xué)案例，以打通課程之間的壁壘，幫助學(xué)生融會貫通，逐步形成“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識—數(shù)學(xué)思想與方法—數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練—專業(yè)問題背后的數(shù)學(xué)理論探究與應(yīng)用”的教學(xué)內(nèi)容體系。

這里列舉三個我校進行應(yīng)用驅(qū)動整合的教學(xué)案例。1.“人臉識別系統(tǒng)”的數(shù)學(xué)原理與實現(xiàn)：以當下廣泛應(yīng)用的“刷臉”系統(tǒng)為例，給學(xué)生講解一個最簡單的基于主成分分析的“人臉識別系統(tǒng)”。在這一應(yīng)用案例中，需要用到概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的協(xié)方差矩陣、假設(shè)檢驗知識，以及線性代數(shù)理論中的線性變換、特征值與特征向量、實對稱矩陣的相似對角化、奇異值分解等知識。教師可以用最簡單的OAL（Olivetti Research Laboratory）人臉數(shù)據(jù)庫為例，給學(xué)生講解數(shù)據(jù)降維、協(xié)方差矩陣的元素的意義、特征臉的含義等，這些知識點既富趣味性，又有豐富的圖像表現(xiàn)。更重要的是，它比較完整地整合了線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)完這一應(yīng)用案例后，會對相關(guān)知識點等有更深的理解，這正是課程整合的目的。2.連續(xù)時不變與離散移不變線性系統(tǒng)的求解方法：在電路理論、信號與系統(tǒng)、控制論和力學(xué)等課程中，我們常將一個電路系統(tǒng)或力學(xué)系統(tǒng)表示成一個常微分方程。通過工程數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以使用不同方法求解。如：引入復(fù)變函數(shù)理論的p算子留數(shù)法去求解（較復(fù)雜），在傅里葉變換域，或者拉普拉斯變換域內(nèi)的則會更容易實現(xiàn)。此外，在該線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法中，使用線性代數(shù)特征值的理論去探討系統(tǒng)穩(wěn)定性。當學(xué)生使用多門工程數(shù)學(xué)理論，殊途同歸地解決問題后，必然會對專業(yè)課程的求解有更深入的理解。3.Logistic 回歸分析的數(shù)學(xué)原理與實現(xiàn)：給出一個機器學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的二分類問題，其數(shù)據(jù)表示與公式推導(dǎo)，使用矩陣運算實現(xiàn)，而對線性回歸效果檢驗，則可以使用數(shù)理統(tǒng)計中的F校驗法或R校驗法去實現(xiàn)。

近兩年的教學(xué)改革與實踐表明，通過研制和講解這些工科課程群整合教學(xué)案例，課程理論變得有血有肉，生動具體。學(xué)生提高了對工程數(shù)學(xué)課程的重視，他們在后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)中使用這些數(shù)學(xué)工具去求解問題的能力大大提高，也取得了更好的輸出性效果。在2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中，我校取得5個全國一等獎、5個全國二等獎的佳績[6]。

（二）加強教師團隊建設(shè)，豐富教學(xué)手段，構(gòu)建工科數(shù)學(xué)課程群學(xué)習(xí)支持體系

從以上的改革措施可以看出，僅具備深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和嚴密的理論推導(dǎo)證明能力，對于工程數(shù)學(xué)教師來說是遠遠不夠的。為更好地體現(xiàn)工程數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)于新工科的功能，教師團隊在進行個性化教學(xué)時，需要不斷提高自己專業(yè)的深度和寬度，并熟悉相關(guān)工科后續(xù)主體課程的書籍，重視專業(yè)應(yīng)用案例的數(shù)學(xué)知識講解。同時，講授不同課程的教師應(yīng)與時俱進，與工科專業(yè)教師進行整合交流，構(gòu)建課程群學(xué)習(xí)支持體系，并以自身的科研經(jīng)歷和相關(guān)數(shù)學(xué)理論在實際項目中的應(yīng)用情況給學(xué)生現(xiàn)身說法，培養(yǎng)學(xué)生對科學(xué)研究的憧憬，讓學(xué)生樹立遠大目標。

教師應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生的實際情況，通過動畫、視頻和模擬仿真等可視化資源，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和直觀感受;通過構(gòu)建立體化教學(xué)資源，實施適合智能化終端學(xué)習(xí)的混合式教學(xué)，以實現(xiàn)學(xué)習(xí)時空的最大化;通過和實際問題相關(guān)的拓展教學(xué)案例講解和求解，為學(xué)生提供能力拓展渠道和形成性效果評價，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維應(yīng)用能力及學(xué)術(shù)研究動力。此外，教師應(yīng)積極構(gòu)建信息化教與學(xué)，利用已建成的在線開放課程，實踐混合式教學(xué)，豐富立體化教學(xué)手段，增加計算機實現(xiàn)過程，使學(xué)生能打破時空限制進行多維度學(xué)習(xí)。

四、總結(jié)

本文探討了我校在新工科背景下的工程數(shù)學(xué)課程群建設(shè)與實踐。課程群建設(shè)需長期持續(xù)發(fā)展，以反映數(shù)學(xué)與交叉領(lǐng)域的最新科研成果，吸取教學(xué)改革經(jīng)驗，體現(xiàn)我校材料、交通、機械和汽車等優(yōu)勢學(xué)科對人才培養(yǎng)提出的新要求，并逐步構(gòu)建工程數(shù)學(xué)和科學(xué)與工程計算、信息智能處理交叉融合的新型課程體系，培養(yǎng)學(xué)生寬、厚、實的理論基礎(chǔ)，高、新、活的專業(yè)知識和實驗技能，最終加強理科應(yīng)用型人才、復(fù)合型人才和拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 教育部高等教育司關(guān)于開展新工科研究與實踐的通知. [EB/OL].[2017-02-20].http：//www.moe.gov.cn/s78/A08/A08_gggs/A08_sjhj/201702/t20170223_297158.html.

[2] 張長勤，岳超慧. 工程數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014（4）：45-47.

[3] 母麗華，杜紅，宋作忠，王婷.工程數(shù)學(xué)系列課實施案例式教學(xué)的探索與實踐[J].東北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2013（1）：131-134.

[4] 謝加良，朱榮坤，賓紅華. 新工科理念下線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計探索[J]. 長春師范大學(xué)學(xué)報，2018（4）：131-133.

[5] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[6] 2018高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽獲獎名單（初稿） [EB/OL].[2018-11-10].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/291a61be7c7fba585082ae9480da4235.html.

[責任編輯：陳 明]