李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114000)

縱觀2019年全國高考數(shù)學(xué)理科試卷，其最大變化一是概率統(tǒng)計(jì)題、或解析幾何題出在21題位置.二是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題出在20題位置.由此自然產(chǎn)生一些聯(lián)想，這種變化對(duì)高三復(fù)習(xí)將帶來怎樣的變化？下面來分析探討這個(gè)問題.

一、關(guān)于壓軸20題位置的導(dǎo)數(shù)問題分析與備考建議

全國一卷20題已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：

(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

(2)證明f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，從“形”的層面思考是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有且只有2個(gè)交點(diǎn).轉(zhuǎn)化為從“數(shù)”的層面思考是借助函數(shù)極值點(diǎn)、單調(diào)性的整合來實(shí)現(xiàn)上述“形”的意義，向“數(shù)”的意義轉(zhuǎn)化.

(2)函數(shù)f(x)定義域?yàn)?-1,+∞).f(0)=0，所以x=0是f(x)一個(gè)零點(diǎn).

又f(0)=0，所以在(-1,0)內(nèi)f(x)無零點(diǎn).

綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

從問題(2)解題過程看，與以前導(dǎo)數(shù)壓軸21題比較，變化的：一是減輕了構(gòu)造函數(shù)的難度.二是減輕處理不等式放縮的技巧.不變的：一是數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想要求并沒有減輕.二是反復(fù)從函數(shù)單調(diào)性概念及性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等多角度考察函數(shù)單調(diào)性仍是高考重點(diǎn).三是借助問題(1)來解決問題(2)的承接關(guān)系沒有變.

(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);

(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

解題分析對(duì)于問題(1)討論f(x)的單調(diào)性，通過解導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的不等式、增(減)函數(shù)的概念和增(減)等單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)仍然是討論函數(shù)單調(diào)性這類問題的基本思路.

對(duì)于證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，從“形”的層面思考是函數(shù)圖象與x軸(或者構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)的圖象)有兩個(gè)交點(diǎn)(從函數(shù)圖象看，結(jié)果是很顯然的).從“數(shù)”的層面講零點(diǎn)存在定理、函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)的整合都是處理這類問題的通性通法，只要注意因題而異、靈活使用即可.

對(duì)于問題(2)而言，解決問題的想法很直接，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線方程也是曲線y=ex在某點(diǎn)處的切線方程就可以了，余下的就是求切線方程問題了.

f(e)<0,f(e2)>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上有唯一零點(diǎn).

f(e-1)>0,f(e-2)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有唯一零點(diǎn).

綜上，f(x)在定義域內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

同理曲線y=ex在點(diǎn)(x1,ex1)處的切線方程為y=ex1x+ex1-x1ex1.

所以曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

備考反思問題(1)的難度從解法看，難度與以前相比有所下降，但考查的內(nèi)容沒有變化，方法選擇更加靈活，就上述給出的解題方法，簡便易懂，不需要復(fù)雜求導(dǎo)運(yùn)算.所以備考要注意一題多解和寬泛的通性通法的積累與運(yùn)用，不拘泥與某種特定方法進(jìn)行訓(xùn)練.

問題(2)的難度與以前的要求也降低了，但對(duì)切線概念的理解，切線公式的運(yùn)用要求在加深.所以，盡管此處圍繞切線方程涉及的知識(shí)點(diǎn)沒有什么新意，但公切線是平時(shí)備考很少訓(xùn)練的，所以備考要注意挖掘概念、公式深層次的理解和寬泛的應(yīng)用.

全國三卷20題已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)是否存在a,b，使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值-1為且最大值為1？若存在求出a,b的所有值；若不存在，說明理由.

解題分析(1)用求導(dǎo)，再解導(dǎo)函數(shù)解不等式，即可解決討論f(x)的單調(diào)性.

(2)從直觀看，已知最大、小值，所以可以利用求最值的方法列出兩個(gè)方程式，從解方程組角度思考，a,b的值是可求出的.

當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)≥0，所以f(x)在(-∞,+∞)為增函數(shù).

(2)當(dāng)a≤0時(shí)，由(1)知f(x)在[0,1]上為增函數(shù)，所以此時(shí)a=0,b=-1.

當(dāng)a≥3時(shí)，由(1)知f(x)上為[0,1]上為減函數(shù)，所以此時(shí)a=4,b=1.

綜上，a=0,b=-1，或a=4,b=1.

備考反思

問題(1)的求解過程是求導(dǎo)，解導(dǎo)函數(shù)不等式，討論a與0的大小.這些都是導(dǎo)數(shù)部分復(fù)習(xí)備考的通性通法，沒有難度，解題思維含量比較低.

問題(2)通過求函數(shù)最值列不等式組，求解a,b的值.這些也都是通性通法，沒有難度.就本題涉及的分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想也是平時(shí)備考中重點(diǎn)訓(xùn)練的.

二、關(guān)于壓軸21題位置的概率統(tǒng)計(jì)問題分析與備考建議

全國一卷21題為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道那種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥，一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分，甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,2,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)α=0.5，β=0.8.

①證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解題分析問題(1)求X的分布列，先確定X的取值，再計(jì)算出每個(gè)X的取值對(duì)應(yīng)概率，列出分布列表即完成.此為求解分布列問題的常規(guī)解題步驟.

問題(2)①是證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；從通性通法角度講，就是用等比數(shù)列的定義，解題關(guān)鍵是由已知條件出發(fā)推出pi+1-pi=q(pi-pi-1)的形式即可.

問題(2)②一是求p4，二是根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

注意到(2)①與(2)②的承接關(guān)系，自然想到運(yùn)用數(shù)列累加法和等比數(shù)列求和公式即可求出p4.

略解(1)由題意，X取值分別為-1、0、1，則P(X=-1)=(1-α)β，P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，P(X=1)=α(1-β).分布列表略.

(2)①由問題(1)得：a=(1-α)β=0.4，b=αβ+(1-α)(1-β)=0.5，c=α(1-β)=0.1. 所以，pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，整理得：pi+1-pi=4(pi-pi-1)，因此，{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

又p4=p4-p0=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1(43+42+4+1),

備考反思問題(1)是求分布列，其解法屬于通性通法，不需要對(duì)概念的深刻理解.

對(duì)于問題(2)來說，難度比較大.難度之一是利用小概率事件對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定(肯定).學(xué)生對(duì)邏輯上的否定(肯定)是比較熟練的；用相關(guān)性、獨(dú)立性檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)知識(shí)否定(肯定)也可以，因?yàn)榻滩纳嫌幸欢康慕榻B；用小概率事件來否定(肯定)某個(gè)結(jié)論(做法)學(xué)生就不太容易把握.主要原因是獨(dú)立性檢驗(yàn)雖然是建立在小概率事件上的兩個(gè)事件獨(dú)立與否的判斷，但在教學(xué)中其理論部分要求較低，重點(diǎn)突出運(yùn)用，導(dǎo)致其理論基礎(chǔ)不牢.所以建議復(fù)習(xí)備考還是要深挖知識(shí)形成過程，重結(jié)論運(yùn)用、輕基礎(chǔ)理論建構(gòu)、輕知識(shí)形成過程等做法是不可取的.難度之二是概率與數(shù)列的綜合，盡管所用數(shù)列知識(shí)和解題方法，也是通性通法，沒有特殊、高超的技巧要求，但平時(shí)缺乏這些知識(shí)點(diǎn)交匯使用的訓(xùn)練，導(dǎo)致運(yùn)用生疏.所以，備考中在堅(jiān)持夯實(shí)單元知識(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，變換不同知識(shí)點(diǎn)之間的交匯訓(xùn)練還是應(yīng)該堅(jiān)持的(如：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、概率、統(tǒng)計(jì)等主干知識(shí)之間的交匯).難度之三是概率統(tǒng)計(jì)類題目閱讀量大，對(duì)語文學(xué)科閱讀能力要求很高，所以，數(shù)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力，通過閱讀訓(xùn)練提升學(xué)生提取數(shù)學(xué)信息、選擇解決問題的數(shù)學(xué)工具顯得十分重要，對(duì)此在復(fù)習(xí)備考中要保持一定的耐心.

三、關(guān)于處于21題位置的解析幾何問題分析與備考建議

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線;

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點(diǎn)G.

①證明：△PQG是直角三角形；

②求△PQG面積的最大值.

解題分析問題(1)比較顯然.

對(duì)于問題(2)①證明△PQG是直角三角形，解析幾何中的通性通法是斜率之積為-1，本題雖然運(yùn)用“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”，但，其中最大亮點(diǎn)是為簡化運(yùn)算采取的化簡代換，此舉不僅簡化運(yùn)算，還極大提高解題效率.

對(duì)于問題(2)②求△PQG面積，采取基本公式求解即可，沒有技巧.求其最大值處亮點(diǎn)同樣是為簡化運(yùn)算采取的化簡代換，至于用導(dǎo)數(shù)、還是均值不等式求最值都是通性通法要求.

所以PQ⊥PG，因此△PQG是直角三角形.

備考反思為達(dá)到化簡運(yùn)算的目的進(jìn)行代換法是解決復(fù)雜運(yùn)算的一個(gè)有效的做法，建議在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)該給予重視.通性通法中的“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”、“討論直線斜率存在性”等仍然是復(fù)習(xí)備考重點(diǎn).另外，高考不給圖形，顯然是要求學(xué)生根據(jù)題意自己畫圖.所以，規(guī)范的、體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的畫圖要求在備考中是要強(qiáng)調(diào)的.

(1)證明：直線AB過定點(diǎn);

解題分析(1)直線過定點(diǎn)的基本想法是：點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)方程中斜率為變量時(shí)，該直線過定點(diǎn)(x0,y0).也可以從y=kx+b入手，尋求k,b的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式研究定點(diǎn).

(2)借助圓的切線性質(zhì)，求出直線方程，將四邊形ADBE的面積分解為兩個(gè)三角形面積的和，借助點(diǎn)到直線距離求高，兩點(diǎn)間距離求底邊長，即可完成四邊形面積求解.

當(dāng)x1≠x2時(shí)，化簡得：x1x2=-1.

當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，此時(shí)有x1≠x2.

x2-2kx-1=0.

備考反思在解問題(1)時(shí)，“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”仍是考查重點(diǎn).如果講新意就是借助求導(dǎo)來求斜率.綜合上述，本題雖然作為壓軸21題，考查通性通法仍然是重點(diǎn).

對(duì)于問題(2)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，但缺乏考查深度，所涉及的解題方法和技巧也是復(fù)習(xí)備考中的通性通法，沒有新意.

所以解析幾何的復(fù)習(xí)備考還是要強(qiáng)調(diào)通性通法，強(qiáng)調(diào)知識(shí)落實(shí)；解題時(shí)強(qiáng)調(diào)相關(guān)小題中的傳承遞進(jìn)關(guān)系.

通過上述壓軸題的剖析，概括而言，“新”體現(xiàn)在：一是知識(shí)點(diǎn)交匯比較新，如：概率與數(shù)列的整合.二是變換考查解題技巧，如：代換法.三是變換題目位置的設(shè)置，如：21題的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)為20題等.“舊”體現(xiàn)在：一是仍然是考查通性通法.二是“新”只體現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)的并列，而不是融合；代換法也是“六大核心素養(yǎng)中的要求內(nèi)容”.所以，在今后復(fù)習(xí)備考中，抓通性通法、抓知識(shí)基礎(chǔ)、抓知識(shí)的可能交匯、抓學(xué)生的解題自信，以此培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題能力和意志品質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是復(fù)習(xí)備考的主題.