劉金培，楊宏偉，陳華友，周禮剛

(1.安徽大學(xué)商學(xué)院，安徽 合肥 230601； 2.北卡羅萊納州立大學(xué)工業(yè)與系統(tǒng)工程系，美國(guó) 羅利 27695；3.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

1 引言

在群決策過(guò)程中，決策者們對(duì)備選方案經(jīng)常給出方案兩兩比較的偏好關(guān)系，常見(jiàn)的主要有數(shù)值型偏好關(guān)系和語(yǔ)言型偏好關(guān)系兩類[1]。面對(duì)實(shí)際決策問(wèn)題，決策者們更加習(xí)慣于以語(yǔ)言的方式給出自己的知識(shí)和偏好[2]。近年來(lái)，針對(duì)語(yǔ)言偏好關(guān)系群決策問(wèn)題的研究已經(jīng)成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)[1-14]。

決策者們給出的語(yǔ)言偏好關(guān)系往往不能滿足一致性要求，為了對(duì)語(yǔ)言偏好關(guān)系的一致性進(jìn)行改進(jìn)，人們提出了多種一致性調(diào)整的方法。Wang和Xu[3]提出了一種使語(yǔ)言判斷矩陣達(dá)到弱一致性的調(diào)整算法。Dong等[2]則以調(diào)整量最小為目標(biāo)，建立帶0-1變量的優(yōu)化模型來(lái)修改語(yǔ)言偏好關(guān)系的元素使其達(dá)到一致性要求。文獻(xiàn)[4]給出兩種語(yǔ)言偏好關(guān)系加性一致性迭代逼近修正算法。Liu等[5]結(jié)合二元語(yǔ)義表示，提出一種新迭代算法來(lái)提高語(yǔ)言偏好關(guān)系的一致性。靳鳳俠和黃天民[6]則通過(guò)構(gòu)造循環(huán)圈矩陣來(lái)進(jìn)行語(yǔ)言偏好關(guān)系一致性的調(diào)整。

由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性、決策者信息不足和時(shí)間限制等原因，決策者們往往不能給出精確的語(yǔ)言偏好信息，而是以區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系的形式給出[8-14]。針對(duì)區(qū)間語(yǔ)言環(huán)境下的群決策問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]定義了群體共識(shí)測(cè)度，用來(lái)度量單個(gè)偏好與群體偏好的貼近度。Chen等[9]則用相容性指標(biāo)度量個(gè)體與群體偏好的差異，并提出基于群體相容性的專家賦權(quán)方法。文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]分別利用LCOWA算子和LCOWGA算子將區(qū)間加性語(yǔ)言信息和區(qū)間乘性語(yǔ)言信息集成為單值的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，然后基于群體相容性提出加性和乘性語(yǔ)言偏好環(huán)境下的群決策模型。Xu和Wu[12]定義區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系的群體共識(shí)測(cè)度，并給出一種基于群體共識(shí)的偏好關(guān)系調(diào)整算法。Meng等[13]則定義了區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系一致性的新測(cè)度，同時(shí)構(gòu)建基于新測(cè)度的偏好關(guān)系調(diào)整算法。

從已有研究來(lái)看，目前關(guān)于區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系的群決策還存在以下問(wèn)題：一是目前普遍應(yīng)用一致性調(diào)整的方法來(lái)對(duì)區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系進(jìn)行調(diào)整，然而調(diào)整算法修改了專家給出的原始信息，使決策結(jié)論的可靠性難以保障[15]。二是目前針對(duì)區(qū)間語(yǔ)言信息，往往將區(qū)間語(yǔ)言信息集成為單個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)或僅利用了區(qū)間的單側(cè)邊界值，這造成了決策信息的嚴(yán)重丟失。三是已有的群決策專家賦權(quán)模型均基于專家給出的原始區(qū)間語(yǔ)言偏好信息，而決策過(guò)程中專家給出的區(qū)間信息往往不能全部利用，因此需要設(shè)計(jì)更加合理的基于信息提取的動(dòng)態(tài)賦權(quán)方法。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文構(gòu)建基于理想點(diǎn)的交叉效率DEA模型和基于群體共識(shí)的賦權(quán)模型，在此基礎(chǔ)上提出一種基于Monte Carlo隨機(jī)模擬的區(qū)間乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系群決策方法。首先，提出乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系導(dǎo)出函數(shù)的定義，并構(gòu)建產(chǎn)出導(dǎo)向的DEA模型，證明一致性乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系DEA效率得分與排序向量之間的內(nèi)在關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，建立基于理想值的交叉效率DEA模型，提出乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系的通用排序方法。針對(duì)群體區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系，按照均勻分布提取一般語(yǔ)言偏好關(guān)系，然后基于群體共識(shí)建立目標(biāo)規(guī)劃模型以獲取各語(yǔ)言偏好關(guān)系的權(quán)重系數(shù)。最后，利用Monte Carlo隨機(jī)模擬的方法對(duì)整個(gè)群體偏好空間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到群決策期望排序向量及其可信度。算例分析表明本文方法解決了區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系在決策過(guò)程中信息損失的問(wèn)題，具有較強(qiáng)的適用性和較高的可信度。

2 基本概念

在群決策中，方案集為X={x1,x2,…,xn}，專家對(duì)于備選方案集X中的多個(gè)方案進(jìn)行兩兩比較，依據(jù)乘性語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集S，給出語(yǔ)言偏好關(guān)系矩陣P=(pij)n×n。其中，乘性語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集S={sα|α=1/t,…,1/2,1,2,…,t}，S中元素的個(gè)數(shù)2t-1稱為語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集的粒度，t為大于1的自然數(shù)。當(dāng)t=5時(shí)，我們有：

S={s1/5=extremely low,s1/4=very low,s1/3=low,s1/2=slightly low,s1=medium,s2=slightly high,s3=high,s4=very high,s5=extremly high}.

在專家依據(jù)乘性語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集S所給出的語(yǔ)言偏好關(guān)系矩陣P=(pij)n×n中，pij=sα∈S表示方案xi相對(duì)方案xj的重要性程度(i,j=1,2,…,n)。當(dāng)α>1時(shí)，表示方案xi比方案xj重要，當(dāng)α<1時(shí)，表示方案xj比方案xi重要，且隨α取值的增加，重要的程度也越大。當(dāng)α=1時(shí)，表示方案xi與方案xj同等重要。

pij?pji=pii=s1，i,j=1,2,…,n

(1)

則稱P=(pij)n×n為乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系。

定義2[17]：若乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系P=(pij)n×n中的元素pij滿足：

pik?pkj=pij,i,j,k=1,2,…,n

(2)

則稱該乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系滿足乘性一致性。

在保持乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系信息不損失的前提下，提出如下導(dǎo)出函數(shù)的定義：

rij=φ(pij)=(2t-1)logtT(pij),i,j=1,2,…,n

(3)

則稱函數(shù)φ為乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系的導(dǎo)出函數(shù)，R=(rij)n×n為乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系P=(pij)n×n的導(dǎo)出矩陣。

定理1若乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系P=(pij)n×n滿足乘性一致性，則其導(dǎo)出矩陣R=(rij)n×n也滿足乘性一致性。

證明：若乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系P=(pij)n×n滿足乘性一致性，由定義2得：

rii=φ(pii)=(2t-1)logtT(pii)=1,

i=1,2,…,n.

rij·rji=φ(pij)·φ(pji)

=(2t-1)logt(T(pij)·T(pji))=1,

i,j=1,2,…,n

因此，導(dǎo)出矩陣R=(rij)n×n為乘性偏好關(guān)系，進(jìn)一步有：

rik·rkj=φ(pik)·φ(pkj)

=(2t-1)logt(T(pik)·T(pkj))=(2t-1)logtT(pij)=φ(pij)=rij,i,j=1,2,…,n.

所以，導(dǎo)出矩陣R=(rij)n×n滿足乘性一致性。證畢。

由上述分析可見(jiàn)，導(dǎo)出矩陣與原乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系存在著嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。同時(shí)，導(dǎo)出函數(shù)在將乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系轉(zhuǎn)化為實(shí)值乘性偏好關(guān)系的同時(shí)，既滿足單調(diào)性和有界性的要求，又可保證原始語(yǔ)言偏好關(guān)系的傳遞性。

φ(pij)=wi/wj

(4)

(5)

3 區(qū)間乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系的群決策方法

3.1 基于交叉效率DEA的乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系排序

本節(jié)提出一種基于交叉效率DEA的乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系排序方法，該方法可以避免對(duì)偏好關(guān)系進(jìn)行一致性調(diào)整。設(shè)P=(pij)n×n為方案集X={x1,x2,…,xn}上的乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系，現(xiàn)將各決策方案均視為一個(gè)獨(dú)立的決策單元(DMU)，即將決策方案xi作為決策單元DMUi，且與偏好關(guān)系P=(pij)n×n中的第i行相對(duì)應(yīng)(i=1,2,…,n)。若決策者認(rèn)為方案xi比方案xj重要，則對(duì)于?k∈{1,2,…,n}，有pik>pjk，進(jìn)而滿足φ(pik)>φ(pjk)，可見(jiàn)導(dǎo)出矩陣的每一列均可視為決策單元的每一類產(chǎn)出。同時(shí)，我們將φ(s1)作為每個(gè)決策單元的虛擬投入。此時(shí)，便得到偏好關(guān)系P=(pij)n×n對(duì)應(yīng)的投入產(chǎn)出，如表1所示。

由表1，建立基于產(chǎn)出的CCR模型(Out-oriented)，對(duì)方案決策xd進(jìn)行效率評(píng)價(jià)，d=1,2,…,n，具體形式如下：

maxθd

(6)

證明：若P=(pij)n×n滿足乘性一致性，由式(4)，模型(6)可轉(zhuǎn)化為：

maxθd

(7)

對(duì)任意d=1,2,…,n，將μd=1-μ1-…-μd-1-μd+1-…-μn帶入模型(7)中第1個(gè)約束條件，得：

(8)

定理2說(shuō)明對(duì)于滿足一致性的乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系，可由計(jì)算各方案的DEA效率值得到偏好關(guān)系的排序向量。然而在實(shí)際決策過(guò)程中，專家給出的乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系往往不滿足一致性條件。為了解決該問(wèn)題，我們建立交叉效率DEA模型，將各方案自評(píng)價(jià)效率和他評(píng)價(jià)效率的均值作為方案的最終效率評(píng)價(jià)值，進(jìn)而計(jì)算其排序向量。

首先，先求得決策單元的自評(píng)價(jià)效率值?；诒?建立投入導(dǎo)向的DEA模型，來(lái)求得所有決策單元自評(píng)價(jià)效率得分，DMUd(d=1,2,…,n)的自評(píng)價(jià)效率得分值θdd通過(guò)模型(9)求得：

(9)

其中，ud表示決策單元投入的權(quán)重，vrd(r=1,2,…,n)表示第r個(gè)產(chǎn)出的權(quán)重。

(10)

進(jìn)一步，結(jié)合各方案自評(píng)價(jià)與他評(píng)價(jià)效率值，可得方案的最終交叉效率評(píng)價(jià)值為：

(11)

3.2 基于群體共識(shí)的專家信息賦權(quán)模型

(12)

來(lái)表示單個(gè)偏好與群體偏好的差異。以群體共識(shí)為目標(biāo)，建立下列專家信息賦權(quán)模型，使得個(gè)體偏好與群體偏好的差異最小化。

(13)

求解模型(13)，即可得到提取到的m個(gè)乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系矩陣的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)。

此時(shí)，我們便可由提取到的m個(gè)乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系P(r)=(pij,(r))n×n(r=1,2,…,m)，求得群體決策的最終排序向量，流程如圖1所示。

圖1 群體決策方案排序向量計(jì)算流程圖

具體步驟如下：

步驟3根據(jù)模型(13)計(jì)算m個(gè)乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系P(r)=(pij,(r))n×n的權(quán)重系數(shù)，記為λ=(λ1,λ2,…,λm)T；

步驟4將從m個(gè)語(yǔ)言偏好關(guān)系中得到的排序向量進(jìn)行集成，得到最后的排序向量w=(w1,w2,…,wn)T，i=1,2,…,n.

(14)

根據(jù)上述步驟，對(duì)隨機(jī)向量Y的每一個(gè)可能取值，我們都可以得到其對(duì)應(yīng)的排序向量。

3.3 基于隨機(jī)分析的區(qū)間乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系的群決策

基于交叉效率DEA和群體共識(shí)模型，我們已經(jīng)提出一種乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系的群決策排序向量的計(jì)算方法。進(jìn)而針對(duì)隨機(jī)向量Y的所有可能取值，利用Monte Carlo模擬進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析來(lái)進(jìn)行區(qū)間乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系的群決策。

(15)

(16)

根據(jù)群決策期望排序向量，可以知道xi的期望排序結(jié)果為：

(17)

進(jìn)一步，在整個(gè)群決策偏好空間內(nèi)，對(duì)期望排序結(jié)果成立的子空間進(jìn)行積分，便得到方案xi期望排序的可信程度為：

(18)

可以看出，基于隨機(jī)分析的區(qū)間乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系群決策方法分析了群決策偏好空間內(nèi)所有可能，避免了信息的丟失，同時(shí)模型(13)計(jì)算偏好信息權(quán)重系數(shù)時(shí)完全基于每次提取到的語(yǔ)言偏好信息，為一種動(dòng)態(tài)賦權(quán)方法。因此，本文提出的群決策方法更具合理性。

4 算例分析

近年來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)取得了舉世矚目的成就，外商直接投資(FDI)起到了重要的推動(dòng)作用，然而部分項(xiàng)目導(dǎo)致環(huán)境受到嚴(yán)重破壞。為了規(guī)范地方政府招商引資行為，環(huán)保部門需要對(duì)引入的外商企業(yè)和資產(chǎn)的環(huán)境保護(hù)技術(shù)和能力(以下稱為環(huán)保能力)進(jìn)行評(píng)價(jià)和擇優(yōu)。現(xiàn)將4家招商引資企業(yè)：制造型外資企業(yè)(x1)，服務(wù)型外資企業(yè)(x2)，咨詢類外資企業(yè)(x3)和外資環(huán)?？萍脊?x4)。根據(jù)環(huán)保能力進(jìn)行排序和擇優(yōu)。環(huán)保部門聘請(qǐng)4位專家根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)這4個(gè)企業(yè)進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)依據(jù)的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集為：

S={s1/5=極差,s1/4=非常差,s1/3=差,s1/2=稍差,s1=無(wú)差別,s2=稍好,s3=好,s4=非常好,s5=極好。}

4位專家給出的區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系分別為：

根據(jù)本文所提出的方法，在群體區(qū)間乘性語(yǔ)言偏好空間內(nèi)基于均勻分布隨機(jī)生成乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系，建立基于交叉效率DEA模型和群體共識(shí)賦權(quán)模型，根據(jù)圖1的流程得到每次提取的排序向量結(jié)果。利用Monte Carlo多次模擬，求得最后的期望排序向量，并給出其可信度。模擬不同次數(shù)時(shí)，得到結(jié)果如表3所示。

表3 不同模擬次數(shù)下的期望排序向量

根據(jù)表3可知，當(dāng)模擬次數(shù)超過(guò)300次后，排序向量的期望值趨于穩(wěn)定，變化范圍小于0.002。選取模擬次數(shù)為500時(shí)，統(tǒng)計(jì)x1、x2、x3和x4的期望排序向量及其可信度，見(jiàn)表4。

表4 各企業(yè)環(huán)保能力期望排序和可信度

根據(jù)500次隨機(jī)模擬所得各種情況的排名統(tǒng)計(jì)，做出排名統(tǒng)計(jì)頻率分布圖，如圖2所示。

根據(jù)期望排序向量可知，4個(gè)企業(yè)之間的環(huán)保能力排序結(jié)果為：x4?x1?x2?x3。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以確定第四企業(yè)(外資科技公司)的環(huán)保能力最佳，其排名第1的可信度為82.40%，應(yīng)優(yōu)先考慮引入該類具有綠色低碳技術(shù)的外資企業(yè)。

圖2 四個(gè)企業(yè)排名統(tǒng)計(jì)頻率分布圖

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)目前語(yǔ)言偏好信息環(huán)境下群決策方法中的缺陷，如一致性調(diào)整算法修改了專家給出的原始信息造成決策結(jié)論的可靠性不高，將區(qū)間語(yǔ)言信息集成為單個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)致使決策信息的嚴(yán)重丟失等問(wèn)題，提出了一種新的基于交叉效率DEA模型和群體共識(shí)的區(qū)間乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系群決策方法。將各決策方案均視為DEA決策單元，構(gòu)建基于理想值的交叉效率DEA模型，提出乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系的通用排序方法。針對(duì)群體區(qū)間乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系，按照均勻分布提取一般語(yǔ)言偏好關(guān)系，然后基于群體共識(shí)建立目標(biāo)規(guī)劃模型計(jì)算各語(yǔ)言偏好關(guān)系的權(quán)重系數(shù)。利用Monte Carlo隨機(jī)模擬的方法對(duì)整個(gè)群體偏好空間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到群決策各方案的期望排序向量及其可信度。本文方法不需要對(duì)語(yǔ)言偏好關(guān)系進(jìn)行一致性調(diào)整，解決了區(qū)間語(yǔ)言偏好關(guān)系在決策過(guò)程中信息損失的問(wèn)題，具有較強(qiáng)的適用性和較高的可信度。