張如芳

摘? 要：中職學(xué)生初學(xué)立體幾何入門階段，通常會(huì)遇到三大難點(diǎn)，一是建立空間概念難，二是立體幾何語言表達(dá)難，三是定理不理解、記不住、不會(huì)用?？朔@三個(gè)難點(diǎn)，僅僅靠教師多講是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，首先要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)物模型進(jìn)行觀察，形成充分的感性認(rèn)識(shí)，立足中職學(xué)生的基本學(xué)情，通過實(shí)物模型觀察、看圖、畫圖、核心定理分析與應(yīng)用等訓(xùn)練階梯，引導(dǎo)學(xué)生拾階而上，步步推進(jìn)，過好立體幾何入門關(guān)。

關(guān)鍵詞：識(shí)圖 作圖 符號(hào)語言 轉(zhuǎn)化思想 數(shù)學(xué)模型

中職立體幾何的教學(xué)，肩負(fù)對(duì)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，但是不管從高職考試立體幾何的低得分率來看，還是從教學(xué)現(xiàn)狀來看，立體幾何一直是中職學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。究其原因，從學(xué)生學(xué)的層面看，既有知識(shí)性的原因，如中職學(xué)生在初中階段對(duì)平面幾何知識(shí)掌握不夠扎實(shí)，也有能力性與心理性的原因;從教師教的層面上看，主要是因?yàn)榻處煕]有把握好立體幾何教學(xué)的起點(diǎn)和立足點(diǎn)，在學(xué)生沒有充分建立空間感和空間概念的前提下，為了追求教學(xué)進(jìn)度，急于求成，忽視了實(shí)物觀察、識(shí)圖繪圖訓(xùn)練的重要性，從而導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)空間圖形認(rèn)知障礙，使學(xué)生無法將畫在紙上的立體幾何直觀圖與空間模型聯(lián)系起來，更不要說把頭腦中的空間圖形躍然紙上，或是難以用數(shù)學(xué)語言規(guī)范地表達(dá)出來。

按照布魯納的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論，任何知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)該既是自然的，又是必然的，既要有循序漸進(jìn)、自然生成的過程，又要遵循認(rèn)知的必然規(guī)律，逐步深化，使其智慧生長。因此立體幾何的教學(xué)應(yīng)當(dāng)放慢腳步，先引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷對(duì)實(shí)物模型的觀察與感知，訓(xùn)練學(xué)生的識(shí)圖與繪圖能力，掌握文字語言、符號(hào)語言與圖形語言之間的相互轉(zhuǎn)換;逐步建立空間感和空間概念，并在此基礎(chǔ)上，對(duì)立體幾何的基本概念和核心定理進(jìn)行深入剖析，建立基本的解題模型，才能實(shí)現(xiàn)從二維平面到三維空間的跨越，為立體幾何的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、開展模型展覽 —— 注重空間體驗(yàn)

立體幾何學(xué)習(xí)的第一步是在頭腦中對(duì)客觀實(shí)物的原型或模型建立數(shù)學(xué)表象，這是識(shí)圖（觀察直觀圖）、畫圖、建立數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn)，同時(shí)積累豐富的感性認(rèn)識(shí)，才能為形象思維提供廣闊的天地，為向抽象思維過渡打好基礎(chǔ)。雖然很多教師也意識(shí)到了感性認(rèn)識(shí)的重要性，在課堂中借助鉛筆、木棒等實(shí)物讓學(xué)生擺一擺、或是展示一些常見立體幾何模型讓學(xué)生看一看，但是投入的時(shí)間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，以中職學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，很難在短時(shí)間內(nèi)對(duì)空間圖形形成充分的感性認(rèn)識(shí)，難以建立數(shù)學(xué)表象。

更有效的方法是開展立體幾何模型“展覽”活動(dòng)課，帶領(lǐng)學(xué)生零距離接觸立體幾何模型。首先可以挑選一些數(shù)學(xué)能力和動(dòng)手能力較強(qiáng)的學(xué)生，成立模型制作小組，通過教師指導(dǎo)、小組合作交流，在制作模型的過程中，讓這部分學(xué)生對(duì)立體幾何內(nèi)部結(jié)構(gòu)的感性認(rèn)知先豐富起來，引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)語言把立體幾何的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、線與面的位置關(guān)系講出來，進(jìn)而培養(yǎng)一批優(yōu)秀的“展覽”活動(dòng)講解員。

另外常見的立體幾何模型盡量的大一些，比如：正方體、長方體、正三棱柱（錐）、正四棱柱（錐），這樣在展覽與講解的過程中，更有利于幫助學(xué)生形成充分的感性認(rèn)識(shí)，建立立體圖形的空間感。同時(shí)要將立體幾何基本概念制作成標(biāo)簽貼在模型上，比如：長方體的體對(duì)角線，正三棱錐、四棱錐的高與斜高等等中職立體幾何的核心概念，初步滲透立體幾何的基本概念。教師還需要精心設(shè)計(jì)活動(dòng)課導(dǎo)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生在老師和講解員的帶領(lǐng)下，用數(shù)學(xué)的眼光對(duì)模型進(jìn)行自主觀察、合作探究，解決導(dǎo)學(xué)案上提出問題，使展覽活動(dòng)課能夠有的放矢。

顯然這種以實(shí)物展覽、討論研究為手段的學(xué)習(xí)方式，更能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，在實(shí)際教學(xué)過程中取得了良好的效果，也為下一階段的識(shí)圖（認(rèn)識(shí)立體平面直觀圖）做好準(zhǔn)備。

二、強(qiáng)化識(shí)圖訓(xùn)練 —— 突破語言障礙

對(duì)平面直觀圖的觀察與分析是學(xué)生在頭腦中將實(shí)物模型“平面化”的過程，也是學(xué)生在思維中建立空間概念的關(guān)鍵，要逐漸引導(dǎo)學(xué)生將直觀圖中的“點(diǎn)、線、面”與實(shí)物模型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，并使學(xué)生掌握用文字語言、符號(hào)語言來表達(dá)“點(diǎn)、線、面”之間的位置關(guān)系。由于初中長時(shí)間平面幾何學(xué)習(xí)而產(chǎn)生的負(fù)遷移與空間想象能力的缺失，部分學(xué)生會(huì)用觀察平面幾何的方式對(duì)待立體幾何直觀圖，從而導(dǎo)致空間圖形的“失真”，使學(xué)生的形象思維向抽象思維上升的過程中遇到認(rèn)知障礙。突破一難點(diǎn)需要從以下三點(diǎn)入手：

（一）在實(shí)物模型與直觀圖之間搭建認(rèn)知階梯。教師首先可以向?qū)W生展示實(shí)物模型的照片，再借助立體幾何畫板、幾何圖霸等3D做圖軟件，通過對(duì)上下、左右、前后翻轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從多角度觀察直觀圖，使學(xué)生能看清楚直觀圖中線、面的位置關(guān)系以及角度的視覺變化。

（二）對(duì)空間概念、符號(hào)語言進(jìn)行深入的解析，既知其然，又知其所以然，把隱藏在知識(shí)背后的理性思考激活。比如：平面的表示方法。為什么在空間中要用平行四邊形來表示一個(gè)平面？學(xué)生對(duì)此提出了疑問，為什么不用長方形來表示平面？教材上并沒有解釋用平行四邊形來表示一個(gè)平面的原因。事實(shí)上用長方形表示平面確實(shí)更加簡單直觀，但是當(dāng)長方形在空間中“斜放”的時(shí)候，長方形的四個(gè)內(nèi)角有些看成了鈍角，有些看成了銳角，這是由于視覺觀察造成的偏差。

再比如：在學(xué)習(xí)符號(hào)語言時(shí)，需要將“點(diǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生線、線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生面”這種運(yùn)動(dòng)思想與集合思想相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)（元素）與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系來理解立體幾何的符號(hào)語言，搞清楚符號(hào)含義，避免符號(hào)混淆和錯(cuò)用。如：為什么直線在平面上，記作：平面，而點(diǎn)在平面上，記作：平面。

（三）對(duì)圖形語言、文字語言、符號(hào)語言之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行充分訓(xùn)練，幫助學(xué)生克服表達(dá)和書寫障礙。對(duì)于中職學(xué)生來說，記憶立體幾何的相關(guān)的概念、符號(hào)猶如背英語單詞枯燥、容易忘，因此可以采取猜謎語的方式，將符號(hào)語言的理解和記憶融入到游戲中去，寓教于樂，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣和信心。同時(shí)在邊玩邊學(xué)的過程中，逐步對(duì)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系逐步進(jìn)行梳理，使學(xué)生掌握用三種數(shù)學(xué)語言來表示線線、線面、面面，幫助學(xué)生初步建立立體幾何的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

三、引導(dǎo)規(guī)范作圖 —— 提升分析能力

立體幾何的作圖與學(xué)生的空間想象能力聯(lián)系密切，與解題關(guān)系極大，解決立體幾何問題，很多時(shí)候不是想出來，而是“畫”出來的。如果說看圖、辨圖是學(xué)生在頭腦中對(duì)模型建立表象的過程，那么畫圖就是幾何圖形表象輸出與表達(dá)，對(duì)中職學(xué)生提出了較高的要求。因此要降低起點(diǎn)，由易到難，逐步訓(xùn)練學(xué)生作圖能力;同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生多畫、有目的有方法的畫，養(yǎng)成規(guī)范作圖的良好習(xí)慣。

（一）學(xué)生的作圖訓(xùn)練首先應(yīng)該從基本圖形的課堂臨摹開始，再通過教師演示作圖的基本步驟，引導(dǎo)學(xué)生在模仿中，掌握直觀圖的作圖基本規(guī)則。比如：在用斜二測法作正方形（體）、長方形（體）直觀圖時(shí)，要特別強(qiáng)調(diào)畫直觀圖的基本步驟與關(guān)鍵點(diǎn)，以及虛線、實(shí)線的準(zhǔn)確使用。搞清楚先畫什么？后畫什么？為什么要某些直角在直觀圖中要對(duì)應(yīng)畫成45度，邊長要縮小一半？另外還可以采取“靜物寫生”的方法訓(xùn)練學(xué)生的作圖能力，即根據(jù)實(shí)物或模型畫直觀圖， 這種畫圖訓(xùn)練學(xué)生能靈活地調(diào)整視圖角度，從多角度觀察模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)，尤其是對(duì)于那些空間想象能力較差的學(xué)生幫助特別大。

（二）由于提升作圖能力需要給予學(xué)生足夠的練習(xí)時(shí)間，其中對(duì)典型圖形進(jìn)行變式訓(xùn)練可以有效的提高學(xué)生識(shí)圖、辨圖、作圖能力。比如作出不同形式的異面直線、二面角，再加以對(duì)比分析。另外要重視典型的錯(cuò)圖反例展示和分析，引導(dǎo)學(xué)生在合作談?wù)摷m錯(cuò)的過程中，逐步掌握各類常見空間圖形的正確作圖方法

（三）引導(dǎo)學(xué)生掌握根據(jù)文字語言、符號(hào)語言來作空間圖形。比如：作平面、平面，使;再比如：過正三棱錐的底面中心作側(cè)面上斜高的垂線等等。顯然這對(duì)于中職學(xué)生來說會(huì)具有一定的難度，所以要盡量與實(shí)物模型相結(jié)合，或者利用3D做圖軟件對(duì)直觀圖進(jìn)行翻轉(zhuǎn)觀察，以此訓(xùn)練學(xué)生對(duì)圖形結(jié)構(gòu)分析能力。

四、突出核心定理 —— 建立轉(zhuǎn)化模型

在中職立體幾何入門學(xué)習(xí)階段，除了空間概念的建立和做圖能力、空間想象能力的培養(yǎng)，學(xué)生還熟練掌握相關(guān)的公理、定理，才能觸及立體幾何的靈魂------推理證明。但是立體幾何的定理繁多，容易混淆，中職學(xué)生在對(duì)定理理解和記憶方面有很大的難度，而用定理進(jìn)行推理證明就更難。因此教師要從學(xué)生的實(shí)際需求和能力出發(fā)，依據(jù)高職考試大綱的要求，為學(xué)生減負(fù)。

（一）加強(qiáng)核心定理的剖析和應(yīng)用，把教學(xué)的重點(diǎn)放在推理論證基本方法的掌握上，以此來提高學(xué)生的推理論證能力。另外通過對(duì)近十年高職考試卷立體幾何部分考題的分析與統(tǒng)計(jì)，其中使用最頻繁的定理是線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，比如：在求線面直線所成角和二面角的計(jì)算過程中，都要用到這兩個(gè)定理。

1.由于中職學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維比較薄弱，容易出現(xiàn)推理不嚴(yán)謹(jǐn)、書寫不規(guī)范的錯(cuò)誤，因此可以通過找反例加以糾錯(cuò)，提高學(xué)生反思的能力，使推理論證真正做到“言之有理、落筆有據(jù)”。 比如：下列線與面垂直的判定定理中，如果去掉定理是否成立？請(qǐng)學(xué)生舉出反例。

定理：“已知 ”

2.由于中職學(xué)生對(duì)立體幾何的推理證明普遍存在畏懼心理，因此要?jiǎng)?chuàng)設(shè)教學(xué)情境，將推理論證的教學(xué)過程生活化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

比如：對(duì)三垂線定理的證明（雖然高職考對(duì)該定理應(yīng)用不做要求，但是可以用以訓(xùn)練學(xué)生的推理論證能力）做出生活化的解釋：如圖1所示，當(dāng)一束陽光垂直照射在地面上時(shí)，斜線就會(huì)在地面留下一條影子，如果地面上的一條鐵棒與影子垂直，那么鐵棒垂直于斜線。實(shí)際教學(xué)過程中，如何結(jié)合實(shí)物進(jìn)行講解，就把抽象的推理與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)有效的結(jié)合起來，既降低了理解的難度，又提高了學(xué)習(xí)的趣味性。

（二）強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想，建立解題基本模型。將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是立體幾何最重要的解題方法之一。如高職考試經(jīng)常出現(xiàn)的空間角（線線角、線面角、二面角）的計(jì)算問題，通常要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，再進(jìn)行計(jì)算。在解題過程中，學(xué)生通常會(huì)遇到兩個(gè)難點(diǎn)，一是不知道如何轉(zhuǎn)化，二是不知道如何表達(dá)，因此在教學(xué)中要對(duì)三種空間角計(jì)算題建立基本的解題模型，落實(shí)轉(zhuǎn)化思想。

以如上的異面直線所成角的計(jì)算為例，第一步將兩條異面直線平移成相交的狀態(tài)，才能對(duì)其測量或計(jì)算，所以平行和相交就是將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角的關(guān)鍵，兩個(gè)條件缺一不可。第二步是求出平面角的大小，第三步求出空間的大小。

上述解題模型，同樣適用于求解線面所成的角和二面角的大小。求線面所成角的關(guān)鍵在于找射影，求二面角的大小在于通過找垂線、作垂線，確定二面角的平面角。該解題模型看似簡單，但中職學(xué)生掌握起來還是有一定的難度，因此可以解答部分以填空的形成呈現(xiàn)，比如上題中劃線部分改成填空，由潛入深，搭建解題，幫助學(xué)生逐步掌握空間角的求解方法。另外在教學(xué)中，還可以用曹沖稱象這個(gè)典故對(duì)該解題模型進(jìn)行生活化的解釋與鞏固，使用在數(shù)學(xué)中或者生活中遇到“稱象難題”時(shí)，也能靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，為數(shù)學(xué)思想方法在生活中找到“用武之地”。

基于以上的思考，中職學(xué)生在立體幾何的入門階段會(huì)不可避免地出現(xiàn)許多問題，對(duì)此教師應(yīng)當(dāng)充分考慮中職學(xué)生的基本學(xué)情，降低教學(xué)起點(diǎn)，給予學(xué)生足夠的練習(xí)操作與知識(shí)內(nèi)化的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷實(shí)物觀察、識(shí)圖作圖、推理論證等過程，逐步對(duì)立體幾何的本質(zhì)做出深入探究，提升學(xué)生解決問題的能力，對(duì)學(xué)生未來的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。

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