蘇海洋 樊曉明

【摘要】向量是高中數(shù)學中非常重要的概念，它既是代數(shù)研究的對象，有豐富的運算，又是幾何研究的對象，有形的特性.因此，向量是溝通幾何與代數(shù)的天然橋梁，在高考中向量是一種解題方法，更是一種重要的工具，常與其他知識交匯起來考查，本文主要探討向量在不等式、解析幾何以及立體幾何中的應用.

【關鍵詞】向量;解析幾何;立體幾何

一、向量在不等式中的應用

不等式是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考中占有一定的比重，不等式的求解與證明問題需要學生有很強的推理能力以及運算能力，是培養(yǎng)學生邏輯推理與數(shù)學運算核心素養(yǎng)的良好載體.在解決不等式問題的過程中，根據(jù)不等式的結構特點，可構造向量，利用向量的運算性質進行求解[1].

例1 已知a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=1，證明：ax+by+cz≤1.

分析 本題如果采用常規(guī)的方法求證是很困難的，運算量過大.而通過分析條件中兩個式子的結構特點，可以聯(lián)想到構造向量來解決.設m=（a，b，c），n=（x，y，z），則|m|=1，|n|=1，ax+by+cz=m·n，再利用數(shù)量積的性質：m·n≤|m||n|，即可得證.

二、向量在解析幾何中的應用

解析幾何是高考數(shù)學的重要考點，而圓錐曲線作為解析幾何的一部分，往往占有較大的比重.在解決圓錐曲線相關問題時，利用常規(guī)方法有時會無形中增加運算量，而巧妙地構造向量，運用向量豐富的運算解題，不僅能將復雜問題簡單化，又能提高解題的效率.

例2 設A，B分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且橢圓上的點到右焦點距離的最小值為1.

（1）求橢圓的方程;

（2）設P為直線x=4上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M，N，證明：點B在以MN為直徑的圓內.

分析 在第（2）問中，根據(jù)題意，可將證明的結論轉化為證明∠MBN為鈍角.如果使用常規(guī)方法會造成運算量過大，學生容易出現(xiàn)計算錯誤.但如果引入向量BM，BN，則問題就轉化為BM·BN<0，降低了運算的難度，下面給出此題的解法以供參考.

解 （1）（過程略）.

（2）由（1）可得A（-2，0），B（2，0），設直線AM的斜率為k，M（x1，y1），則AM：y=k（x+2），聯(lián)立AM與橢圓方程可得y=k（x+2），x2a2+y2b2=1， 消去y可得（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，∴xAx1=16k2-124k2+3x1=6-8k24k2+3，∴y1=kx1+2k=12k4k2+3，即M6-8k24k2+3，12k4k2+3.設點P（4，t），由于P在直線AM上，所以t=（4+2）k=6k，即P（4，6k），∴BP=（2，6k），BM=-16k24k2+3，12k4k2+3，∴BP·BM=40k24k2+3>0，因此，∠MBP為銳角，∴∠MBN為鈍角，點B在以MN為直徑的圓內.

三、向量在立體幾何中的應用

立體幾何是高中數(shù)學的重點，也是課堂中的教學難點，對學生空間想象能力要求較高.解題中一般運用“降維”思想，將立體幾何問題轉化為平面幾何問題加以解決，而向量法的引入為立體幾何問題提供了新思路，通過其豐富的運算將復雜問題簡單化[2].

例3 如圖所示，四棱臺ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，DD1⊥底面ABCD，DD1=AB=2A1B1，則異面直線AD1與BC1所成角的余弦值為.

分析 此題若用傳統(tǒng)方法來求解，則需要將異面直線平移至同一平面內，過程較為復雜.但如果通過建立空間直角坐標系，根據(jù)題目中的相關信息，表示出AD1與BC1，再結合公式，即可得到兩直線所成角的余弦值.因此，在平時的立體幾何教學中，教師應有意識地向學生滲透向量法，培養(yǎng)學生應用向量法解決問題的能力，實現(xiàn)化繁為簡的目的.

通過對以上例題的分析，揭示了向量在解題中的簡潔性.因此，教師應在平時的教學中，有意識地滲透向量法，從而提高學生的解題效率，真正實現(xiàn)復雜問題的簡單化[3].

【參考文獻】

[1]李英剛.向量在高中數(shù)學解題中的應用[J].中學數(shù)學教學參考，2016（18）：40-41.

[2]亓國慶.向量法在高中數(shù)學解題中的應用[J].中學數(shù)學教學參考，2017（18）：38-40.

[3]李兆燕.向量在高中數(shù)學中的應用探究[J].數(shù)學學習與研究，2013（11）：85.