王海雯 汪曉勤

摘要：美國著名數(shù)學教育家楊格認為，數(shù)學對自然科學的產生與發(fā)展起著重要的作用，為不同文化背景下的人們相互尊重、理解和包容創(chuàng)造了條件，具有科學價值、應用價值、文化價值、智育價值、審美價值和德育價值。對他的數(shù)學價值觀進行深入的考察，有功于數(shù)學教師更好地理解數(shù)學課程標準，更好地引導學生樹立正確的世界觀、價值觀和人生觀。

關鍵詞：楊格 數(shù)學價值觀 數(shù)學史

一、引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》在“課程目標”中指出：通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力;樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神……認識數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。這就要求新時代的數(shù)學教師對數(shù)學的四類價值有深刻的理解。

歷史上，從古希臘開始，西方學者對數(shù)學的價值有過長期的討論?？偫ㄆ饋?，有訓練思維、發(fā)展智力、獲得真知、現(xiàn)實應用、美化心靈、消遣娛樂、懲戒浮躁等。②但關于數(shù)學價值的全面、系統(tǒng)的總結和分析并不多見。20世紀上半葉，美國著名數(shù)學教育家楊格（J. W.A.Young，1865 1948）在其The Teaching of、Mathematics in the Elementaryand the seccndary school（《中小學數(shù)學教學》）一書中用整整一章的篇幅來論述數(shù)學學習的目的與價值。楊格在讀博期間從事數(shù)學研究，后來成為芝加哥大學數(shù)學和數(shù)學教育學教授。③出版于1907年的The Teaching of Mathematics in theEIementary and the secondary school（《中小學數(shù)學教學》）一書，奠定了楊格在數(shù)學教育學領域的權威性和影響力，書中不僅研究了基于學生認知需求的數(shù)學學科的邏輯價值和實際應用，而且探索了成為一名成功數(shù)學教師的有效課堂教學方法。楊格認為，除非是作為一切知識的載體和一切交流的媒介，任何科目都不能僅僅因為其本身的內容而理所應當?shù)爻蔀槊块T中小學課程的基本要素，或成為每一個學生的必然要求，每一門學科都有著更廣泛的功能。對于教師來說，給學生講清他所教授學科的價值，可能是一種臨時的需求，但他自己弄清他的學科的功能，卻是永久的、必不可少的需求;理想的教學，需要教師不僅知道“教什么”“怎么教”，還要知道“為何教”。①

那么，楊格總結了數(shù)學的哪些價值？本文擬對他的關于數(shù)學價值的觀點進行深入的考察，以幫助今天的數(shù)學教師更好地理解課程標準中所提及的數(shù)學的各種價值。

二、數(shù)學的價值

（一）科學價值

數(shù)學的科學價值，是指數(shù)學對自然科學的產生與發(fā)展的作用和意義。②德國哲學家康德在其《純粹理性批判》一書中指出：“任何一門自然科學，只有當它能應用數(shù)學工具進行研究時，才能算是一門發(fā)展?jié)u趨完善的真實科學?！雹蹢罡駨臄?shù)學對于探究自然的重要作用出發(fā)，來論述數(shù)學的科學價值。楊格認為，中學數(shù)學中很少有什么知識不是對自然界中存在的定量關系進行數(shù)學刻畫的結果。

楊格指出，如果沒有數(shù)學知識，哪怕是最簡單的自然現(xiàn)象也難以理解;深入探究自然之秘密，更是離不開數(shù)學。他引用數(shù)學家哈爾斯蒂德關于數(shù)學與自然科學關系的一段話：

除了顯微切片機、顯微鏡、觀察與實驗的統(tǒng)計學，這門新科學必須使用什么征服世界的工具呢？答案顯而易見：數(shù)學。這一科學邏輯之巨鉗讓牛頓（I.Newton，1643 1727）看到月球只不過是試圖落到他頭上的更大的蘋果，讓看不見的行星一海王星在亞當斯（J.C.Adams，1819 1892）的頭腦中閃閃發(fā)光，告訴瑞利（Rayleigh，1842 1919）化學家們一直在呼吸大量的氬氣卻一無所知，向門捷列夫（ Mendeleev，18341907）指明未知的化學元素的位置。通過亥姆霍茲（ H.L.F.von Helmholtz，1821 1894）及其學生赫茲（H.R.Hertz，1857 1894），她又給了我們勒納德射線、倫琴射線、鐳以及基于赫茲波的無線電電報技術。④

這段話充分說明了數(shù)學對于物理學、天文學和化學發(fā)現(xiàn)的重要作用。

楊格認為，自然現(xiàn)象最顯著的特征是變化，而數(shù)學中最重要的一個分支一微積分一就是研究變化的學科。楊格稱微積分為“自然之數(shù)學”。⑤17世紀，科學家們利用微積分探尋自然規(guī)律，取得了斐然的成就。對微積分的初步了解，讓人們在探索自然規(guī)律所取得的成果中感受到數(shù)學的魅力。⑥

楊格斷言，自然完全是數(shù)學化的，一些更精密的自然科學，特別是天文學和物理學，在理論階段基本上都有著數(shù)學的特征。當其他科學由于現(xiàn)象的復雜性和數(shù)據(jù)的不精確性而被迫停留在描述性和經(jīng)驗性上時，天文學和物理學卻朝著數(shù)學的理想而發(fā)展一以自然現(xiàn)象背后存在數(shù)學關系為基本假設，若沒有發(fā)現(xiàn)和建立這些關系，任何結果都不足以成為這些學科的固定知識。⑦可見，如果沒有數(shù)學，理解自然科學將是非常困難的。

不僅如此，數(shù)學也是其他科學探究自然現(xiàn)象的基礎和延伸。楊格認為，數(shù)學在處理符號方面所給予的訓練為其他科學做了很好的準備。數(shù)學符號的出現(xiàn)使數(shù)學成為抽象化的科學，符號作為一種傳播思想的媒介在眾多學科的研究中發(fā)揮了不可或缺的作用。在物理學、化學和天文學等眾多學科中都有著數(shù)學的影子，學生在學習其他科目時能夠體會到數(shù)學的科學價值。

反過來，理解自然、研究自然科學也同樣推動著數(shù)學的發(fā)展。楊格認為，深入探尋自然奧秘的嘗試促進了數(shù)學理論和方法的不斷發(fā)展。數(shù)學上的許多概念、命題、思想、方法和理論，從最簡單的到最抽象的，都是出于研究自然的需要而產生的。這樣的例子比比皆是。比如，三角學源于天文計算和航海的需要，而歷法的編制導致了許多數(shù)學成果的誕生，如分數(shù)運算、勾股測量術、剩余定理、內插法、高次方程理論等。又如，生物學的發(fā)展離不開分析和探索遺傳規(guī)律，此時就需要用到豐富的數(shù)學理論。顯然，自然研究中的新問題催生了新的數(shù)學工作;反過來，新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)又應用于自然科學的新的研究，促進著自然科學的發(fā)展。

（二）應用價值

楊格認為，數(shù)學在人類生活中有著不可替代的實際應用價值。事實上，從歷史上看，幾何學就是源于土地丈量;很多的代數(shù)和幾何理論都源于人們對于量的間接測量。無論把鐵器、蒸汽和電氣放到哪里，都會發(fā)現(xiàn)數(shù)學是先驅;如果數(shù)學這一支柱被移除，人類物質文明的大廈將不可避免地崩塌。

楊格指出，從事各種職業(yè)的人們都需要數(shù)學。他寫道：

你想當律師嗎？倘若你不能學會分析一個簡單的幾何命題，你又如何學會分析一個復雜的法律案件呢？你是歷史研究者嗎？倘若你連一個簡單代數(shù)關系中某個系數(shù)的影響都確定不了，你又怎能確定拿破侖對世界發(fā)展的影響呢？你是語言學家嗎？倘若你不能學會將一個瑣碎的“閱讀問題”翻譯成相應的數(shù)學符號語言，你又怎能夠將一部名著從一種語言翻譯成另一種語言呢？你想當醫(yī)生嗎？倘若你缺乏從一個初等方程中診斷和消去未知量所需的能力，你又怎能根據(jù)復雜而模糊的癥狀診斷和消除疾病呢？①

楊格還特別強調了數(shù)學符號對不同職業(yè)的重要意義：

世界上很多事務都是利用符號來完成的。從電話局里的女接線員到信號塔下的男指揮員，再到鐵路或其他大公司的總裁，都是坐在一間小小辦公室里，用符號指導一個龐大行業(yè)的無數(shù)活動，世間諸事都需要對符號的掌握。只有那些報酬最低、人們最不喜歡的職業(yè)才完完全全與實際事物打交道，職位的責任越大、越受青睞，符號就用得越多。運貨到商店的車夫，只處理實際的事物;但業(yè)主卻很少不用符號。在二十世紀，使用符號的能力哪怕對于小小的成功也是不可或缺的。②

數(shù)學的思維方式在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用。楊格舉了一個成功企業(yè)家的創(chuàng)業(yè)史。企業(yè)家首先從“水力”開始，認為有了水力，就能吸引制造商，于是，他建造了15000馬力的水渠，但制造商并沒有來。于是他又想，水力有了，加上五大湖所提供的運輸條件，如果擁有價格便宜的原材料，就會源源不斷地吸引投資。于是，在15萬平方英里的北方原野上，他找到了原材料一云杉，歐美用于造紙的樹木短缺，而那里卻有一望無際的云杉林，一千年都采不完，且30年就能再生，于是，他決定從事紙漿業(yè)。但由于價格昂貴，美國造紙商不愿意從加拿大購買紙漿，而把一半是水的紙漿運往歐洲成本又太高，于是，他決定制造干漿。由于沒有制造干漿的機器，他決定自造干漿機，最終取得成功。他又想使用亞硫酸來處理原材料，但需要有硫。于是，在鎳礦里，他找到了硫。但硫與黃鐵礦石是}昆合在一起的，當時并沒有將兩者分離開來的方法，于是他建了一個實驗室，召集世界各地的科學家和工匠做實驗，最終取得了成功。實驗室成功合成了鎳鋼合金，獲得了克虜伯鋼廠未來5年的訂單。由于礦石中所含的銅損壞了鎳鋼合金的功效，他又一次訴諸實驗室。要去掉銅，需要燒堿，而燒堿可從普通食鹽中提取。……這里，企業(yè)家的“如果有……就能……”的思考方式與數(shù)學家的“如果證明……就能……”是相似的。

在楊格看來，數(shù)學教科書應該充分重視數(shù)學的應用價值，且將數(shù)學應用于學生易于理解的現(xiàn)代工業(yè)、商業(yè)和科學問題之中。①對于學生而言，他們熱衷于探索能激起他們好奇心的問題，從中找出相應的問題解決策略，而更重要的是，這些策略能在日常生活中找到用武之地。

（三）文化價值

楊格從多元文化的視角論及數(shù)學的文化價值。他認為，數(shù)學乃是人類頭腦中固有的一種思想，隨著文明的發(fā)展而高度發(fā)展。無論出現(xiàn)于哪個文明，數(shù)學本質上都是一樣的，它可能有不同范圍，但總有相同的特征。只要條件相同，那么所得到的結果必然相同。如6X7，一個民族求得42，另一個民族不可能求得43。一個時代，人們發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的正方形之和;另一個時代，人們不可能發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的正方形的面積等于另兩邊上正方形之和的兩倍。古代印度人所解決的問題，歐洲人許多世紀后才獨立解決，又過了幾個世紀后才發(fā)現(xiàn)這些問題很久以前早已經(jīng)被更古老的文明所解決。

數(shù)學的特點決定了數(shù)學文化的多元性。打開數(shù)學歷史的畫卷，相關的例子比比皆是：勾股定理先后為古代的巴比倫、中國、埃及和印度人所發(fā)現(xiàn);一元二次方程的解法為古代的兩河流域、印度和中國人所熟知;二項式系數(shù)表（算術三角形）分別出現(xiàn)于中世紀的中國、印度、阿拉伯和歐洲數(shù)學文獻中;古希臘數(shù)學家阿基米德發(fā)現(xiàn)并證明了球體積公式，但5世紀中國數(shù)學家祖咂、17世紀德國數(shù)學家開普勒、意大利數(shù)學家卡瓦列里、日本數(shù)學家關孝和等相繼獨立推導出同樣的公式;人們常常說起18世紀德國數(shù)學家高斯的等差數(shù)列的倒序求和法，殊不知13世紀中國數(shù)學家楊輝早已用幾何方法解決了同樣的問題。

對于數(shù)學歷史的深刻理解，讓楊格摒棄了“西方中心論”的偏見?？梢哉f，在科學史家薩頓之前，楊格已經(jīng)有了“科學統(tǒng)一性”的思想。數(shù)學思想為人類所共有，因而是不同文明互相交流的工具，為不同文化背景下的人們相互尊重、理解和包容創(chuàng)造了條件，這正是數(shù)學的文化價值之一。

（四）智育價值

楊格從思維方式的角度來討論數(shù)學的智育價值。他認為，數(shù)學乃是最典型、最清晰、最簡潔的思維方式，這種思維方式對于每一個人來說都是至關重要的。楊格的論述實際上已涉及我們今天所說的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。

其一，數(shù)學有助于培養(yǎng)學生抽象、一般化和分類的能力。初等數(shù)學中一般化的最引人注目的例子是數(shù)的概念：從整數(shù)概念相繼擴大到分數(shù)、無理數(shù)、負數(shù)和虛數(shù)。學生如果能從不同的關系中抽象出這些概念以及概念之間的聯(lián)系，那他們便插上了由繁入簡、以簡馭繁的翅膀，在日常生活和實踐問題的表征中翱翔。代數(shù)是對算術方法的一般化處理，幾何學中也有很多分類和一般化的情形。

其二，學生所有的想法和行為都受到有意識或無意識得出的結論的影響。楊格所說的思維方式，是指理解陳述、注意事實和推出結論。他認為，在任何合理的結論中，推理行為本身總是具有數(shù)學性質的，不管表面上有多偶然，實際上是它的先驗的必然結果，任何了解這種先驗性的人都可以從中做出合理的假設，并能夠在這種條件下厘清事件中的復雜關系。

其三，數(shù)學可以培養(yǎng)學生的空間想象能力。楊格認為，數(shù)學在想象力上有著持續(xù)的需要，它要求在空間中作圖，如果沒有越來越強的能力去想象一個給定情況下的各種可能性，并使它們在頭腦中浮現(xiàn)出來，就不可能取得相當大的成功。

（五）審美價值

楊格強調，數(shù)學的美一簡單、對稱、緊致、完整，即使是對兒童來說，可以并且理應成為典范。學生通常對擺在他面前的東西有足夠的鑒賞力，從而可以認識到所討論問題的重要性和價值。當該問題恰當而具體地呈現(xiàn)出來時，學生應獲得美的享受，而不是對丑陋和不愉快的厭惡。

數(shù)學有其自身的美一通過對過程和方法的精確調整使得結果沒有冗余。在楊格眼中，這非?？少F，并且只有在最美的作品中才能找到。他引用歌德的話來論證自己的觀點：歌德把一座高貴的大教堂稱為“凝固的音樂”，這是一種恰如其分的表達，但也許更恰當?shù)貞Q之為“石化的數(shù)學”。①確實，無論是建筑中的圖案還是音樂中的音符，無不是用抽象的符號語言來表達內容。數(shù)學一直是藝術家們取之不盡、用之不竭的寶貴的創(chuàng)造源泉。從斐波那契數(shù)列和圓周率的小數(shù)位數(shù)字，到四面體和莫比烏斯帶，都可以作為藝術家創(chuàng)作的靈感。在繪畫中，世界名畫《最后的晚餐》就是以幾何圖形為基礎而設計畫面，其中還利用了等邊三角形和透視學原理;在建筑中，舉世聞名的古希臘帕特農神廟的建造比例就用到了數(shù)學中黃金分割的方法;在版畫中，作品《紅蟻》就用到了莫比烏斯帶的數(shù)學知識，將空間之美展現(xiàn)得淋漓盡致;在音樂中，樂章中三和弦的不同音符的頻率共同構成了一個等比數(shù)列;在園林設計中，點、線、面、體等要素的排布就需要用到數(shù)學中的拓撲學概念，然后對空間進行建模分析。數(shù)學以其獨特的對稱美、抽象美、簡潔美等美學要素，融人世界的各個角落之中，在世界藝術寶庫中占據(jù)一席之地，有著極高的審美價值。

的確，數(shù)學與美學關系密切、聯(lián)系深刻，彼此之間互相汲取精神的養(yǎng)料，提升思想的境界，可謂相輔相成、相得益彰。當學生在科學審美的實踐活動中具備一定的科學鑒賞力，他們便可以憑借著數(shù)學中的審美原則和美學方法洞察世界，發(fā)現(xiàn)世界里獨具特色的巧妙之處。在這樣的感染和熏陶下，學生便會一步步地邁入神圣的學術殿堂，最終達到人格氣質的升華。因此，數(shù)學在學生逐步形成正確而鮮明的審美觀方面有著特別的意義，而這也體現(xiàn)了數(shù)學崇高的審美價值。

（六）德育價值

楊格認為，數(shù)學在形成和發(fā)展人的世界觀、價值觀和人生觀等方面具有獨特的意義和作用。他的論述涉及理性、信念、品質和情感等諸多方面。

其一，數(shù)學最重要的德育價值在于理性精神的培養(yǎng)。楊格寫道：

數(shù)學上并無權威可言，不存在什么人云亦云。每個人都有權利要求自己被說服，要求事情不半途而廢。一個新手的結論和數(shù)學家大會的結論是無分軒輊的，其正確與否只取決于證明的正確或錯誤，而與其背后的證明者無關。②

因此，學生無須盲目接受教師或書本提出的機械規(guī)則，他們可以勇敢地提出質疑。此外，數(shù)學為兒童提供了早期的機會去做出獨到的發(fā)現(xiàn)，加上它的結論是確定的并且早期的結論是容易掌握的，因此，它允許學習者從簡單的、非常容易的結論開始，并以良好的等級順序逐步發(fā)展到相當復雜的情形。這樣一來，學生從實際發(fā)現(xiàn)出發(fā)，不被個人情緒和偏見所左右，能做出更加理性的思考和判斷。在數(shù)學學習的過程中，學生還能夠提高把握形勢、明確事實、正確感知事態(tài)的能力。由此，數(shù)學不僅使人通情更使人達理，讓人能夠尊重但不盲從，禮贊卻不迷信。簡言之，數(shù)學思維在培養(yǎng)人的理性精神上是大有裨益的。

其二，學生有權盡可能多地被告知學習數(shù)學的用途和目的。如上所說，數(shù)學和生活息息相關，可以用來解決很多現(xiàn)實問題，是一門有用的學問。學生通過體會數(shù)學在實際生活中的意義和作用，樹立一定的數(shù)學信念和數(shù)學學習信念。這種信念可以是一種目標和追求，促使學生形成自己的人生觀和價值觀，進而成為其道德行為的內在動因，達到德育之效。

其三，數(shù)學是一門非常嚴謹?shù)膶W科，學生需要對自己完成的工作進行嚴格的審查，即使是一個微小的失誤也會輕而易舉地暴露出自己工作中的問題。因此，在某種程度上，學生在學習這樣一門容不得半點差池的學科的過程中，養(yǎng)成專心致志、認真努力、踏實進取的學習習慣和一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，應該是一種必然的結果。學習數(shù)學還可以培養(yǎng)自我審視的習慣，沒有哪一個地方比數(shù)學更需要對自己的工作進行嚴格的審查，沒有哪一個地方甚至出現(xiàn)輕微的錯誤行為都能十分輕易地、毫不含糊地推翻結果。此外，學習數(shù)學有助于培養(yǎng)整潔和準確的習慣。從最早學習數(shù)學開始，只有時刻保持謹小慎微的態(tài)度，堅持整潔、準確的習慣，才能取得最好的效果。由此看來，數(shù)學的學習與人格品質的修煉有著深刻的聯(lián)系，彰顯著數(shù)學的德育價值。

其四，數(shù)學有著悠久的歷史，教科書中的歷史注解有助于激發(fā)學生的興趣，而數(shù)學家傳記與畫像可以讓數(shù)學變得人性化。①

三、結語

讓學生樹立正確的數(shù)學價值觀，乃是數(shù)學教學中實施學科德育、落實立德樹人的需要，而這種價值觀往往都是通過課堂教學潛移默化地傳遞給學生的。

要在數(shù)學教學中體現(xiàn)數(shù)學的多元價值，理想的教學材料不可或缺，而數(shù)學史正是這種素材的寶庫。比如，在“相似三角形應用”的教學中，可以利用古希臘水利工程奇跡一薩默斯隧道的設計問題，來揭示幾何學的應用價值和文化價值。同時，通過讓學生設計隧道的方向，并將學生的方法與古代工程師的方法進行對比，讓學生穿越時空與古人對話，親近數(shù)學，提升自信，學會傾聽，感悟數(shù)學背后的理性精神，從而實現(xiàn)數(shù)學的德育價值。又如，在“角平分線性質”的教學中，可以利用中世紀法律問題一淤積地分割問題，來揭示數(shù)學的文化價值、應用價值和德育價值。再如，在“對數(shù)”概念教學中，可以通過對數(shù)的歷史來揭示數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值，并通過對數(shù)發(fā)明者納皮爾的故事，展示數(shù)學家身上執(zhí)著、堅韌、擔當、傾聽的優(yōu)秀品質，引導學生樹立積極的數(shù)學情感和信念。HPM視角下的數(shù)學教學，可以充分體現(xiàn)數(shù)學的多元價值。

當然，教師需要完善自身的知識結構，樹立正確的數(shù)學價值觀，為教學內容增加情感的基礎、價值的引領和思維的拓展等內涵，增強學生對學習數(shù)學的認同感。我們有理由相信，美好的數(shù)學情懷必將成為新時代的一種常態(tài)，有溫度的數(shù)學教學必將成為新時代的一種共識。

（王海雯，華東師范大學教師教育學院碩士研究生。主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究。汪曉勤，華東師范大學教師教育學院教授、博士生導師。主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究，致力于HPM研究、實踐、傳播與人才培養(yǎng)。著有《數(shù)學文化透視》《HPM：數(shù)學史與數(shù)學教育）《數(shù)學史與初中數(shù)學教學：理論、實踐與案例》等。）

①本文系上海高校立德樹人人文社會科學重點研究基地之數(shù)學教育教學研究基地子課題“數(shù)學課程與教學中如何落實立德樹人”系列論文之一。

②汪曉勤，栗小妮.數(shù)學史與初中數(shù)學教學：理論、實踐與案例[M].上海：華東師范大學出版社，2019： 20- 59。

③ Stein.S. L. Young's Vision[J]. MathematicsTeacher. 1993（4）： 330-333.

①④⑤⑦Young，J.W.A.The Teaching of Mathematicsin the Elementary and the Secondary School[Ml. New York：Longmans. Green &CO..1907： 11， 16.52.15_

②楊騫，涂榮豹.略論數(shù)學教育的科學價值[J].中國教育學刊，2002（4）：33。

③康德.純粹理性批判[M].藍公武，譯.北京：商務印書館.1960： 576。

⑥ Young.J.W.A The Elements Of the DiFferentialand Integral Calculus[M]. New York：D.Appleton &.Co.，1900：97。

①②Young，J.W.A.The Teaching of Mathematics inthe Elementarv and the Secondary School[M].Ncw York：Longmans. Green &.C0.. 1907： 34， 42。

① Young，J.W.A.Elemcntary Algehra[M]. NewYork：D.Appleton &CO.，1908：3。

①②Young，J.W.A.The Teaching Of Mathematics inthe Elementarv and the Secondary School[M].Ncw York：Longmans. Green &C0.. 1907： 44， 273。

① Young，J.W.A.AI{igh School Algehra[M]. NewYork：D.Appleton &CO.，1913：6。