韓露 楊鈺瑩

摘? 要：文章針對(duì)2019年“高教杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題——高壓油管的壓力控制，運(yùn)用了動(dòng)態(tài)平衡原理、夾逼原則及臨界條件下的極值思想，構(gòu)建了流體力學(xué)模型、基于分段函數(shù)積分及連續(xù)微分方程的燃油流量計(jì)算模型、基于運(yùn)籌學(xué)理論的目標(biāo)規(guī)劃模型等，并綜合運(yùn)用了MATLAB、EXCEL和LINGO等軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合和編程求解，得出單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)的控制方案，使高壓油管內(nèi)壓力在一定情況下盡可能穩(wěn)定為某一常量。

關(guān)鍵詞：壓力控制;優(yōu)化模型;極值思想;微分方程;夾逼原則

中圖分類號(hào)：O22 ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2020）16-0103-04

Abstract： Aiming at 2019 "Higher Education Cup" China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling （CUMCM） A problem - high-pressure tubing pressure control， the Dynamic Balance Principle， the Squeeze Theorem and the extremum thought under the critical condition were adopted， and fluid mechanics model was established based on the continuous and piecewise function integral differential equations of fuel flow calculation model， the goal programming model based on operational research theory， etc. In addition， MATLAB， EXCEL， LINGO and other kinds of software were used for data fitting and programming solution， and the control scheme of the opening time of the one-way valve was obtained to make the pressure in the high-pressure tubing as stable as possible as a constant under certain circumstances.

Keywords： pressure control; optimization model; extremum thought; differential equation; Squeeze Theorem

引言

燃油發(fā)動(dòng)機(jī)基礎(chǔ)的工作之一是燃油進(jìn)入和噴出高壓油管的過(guò)程，其中高壓油管是電控單體泵與噴油器之間連接的通道，是高壓油路的重要組成部分。柴油機(jī)高壓噴射技術(shù)對(duì)解決柴油燃燒提高燃油經(jīng)濟(jì)性而言十分重要。然而，燃油進(jìn)入和噴出的過(guò)程具有間歇性，將引起高壓油管內(nèi)壓力發(fā)生變化，使噴出的燃油量與預(yù)期出現(xiàn)偏差，影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率。不僅如此，高壓油管內(nèi)壓力突變?cè)谝欢ǔ潭壬辖档土似淇煽啃院褪褂脡勖Ｒ虼?，高壓油管的壓力控制就顯得極為重要。[1]吳慶林[2]針對(duì)高壓共軌系統(tǒng)進(jìn)行了MATLAB Simulink仿真，運(yùn)用遺傳算法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化;程濤[3]等研究了高壓油管尺寸參數(shù)和針閥壓力與噴油量的關(guān)系。

1 符號(hào)約定（如表1）

2 模型的建立與求解

由題目條件，已知壓力變化量與密度變化量成正比，為了使高壓油管內(nèi)的壓力盡可能穩(wěn)定在100MPa左右，高壓油管內(nèi)的燃油密度基本不變，需控制高壓油管的噴油總量和進(jìn)油總量相等，才能使其壓力維持穩(wěn)定。[4]現(xiàn)已知噴油器工作時(shí)噴油速率隨時(shí)間的變化關(guān)系，因此首先計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的噴油量，從而求出1s內(nèi)維持初始?jí)毫Φ倪M(jìn)油量和所需時(shí)長(zhǎng)。

2.1 根據(jù)噴油速率示意圖計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的噴油量Q

設(shè)0-0.2ms內(nèi)的噴油速率曲線為L(zhǎng)1，0.2-2.2ms內(nèi)的噴油速率曲線為L(zhǎng)2，2.2-2.4ms內(nèi)的噴油速率曲線為L(zhǎng)3。噴油器每秒工作10次，則工作一次的周期T為100ms。則一個(gè)周期T=100ms內(nèi)的噴油量為：

積分計(jì)算得：

Q噴=44mm3

2.2 計(jì)算壓力為160MPa時(shí)的燃油密度？籽A

2.4 臨界條件的極值思想

2.4.1 基本假設(shè)

由于題目中未明確給出進(jìn)油與噴油過(guò)程之間的發(fā)生和停止時(shí)間關(guān)系，我們難以確定單向閥每次的具體開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)。因此，現(xiàn)做出以下假設(shè)：（1）管內(nèi)燃油密度和壓力均勻分布;（2）進(jìn)油與噴油工作同時(shí)發(fā)生;（3）在噴油的一個(gè)周期100ms期間，進(jìn)油過(guò)程也剛好經(jīng)歷若干個(gè)周期;（4）高壓側(cè)壓力恒定為160MPa，即過(guò)程中燃油密度不變。忽略其它微弱因素的影響，我們將油管內(nèi)壓力變化值具體體現(xiàn)在油管內(nèi)的燃油量變化。

2.4.2 方法分析

由題意知，噴油的一個(gè)周期過(guò)程為噴油2.4ms后一直停止至100ms。在2.4ms至100ms期間時(shí)長(zhǎng)為97.6ms，2.4ms與此階段時(shí)長(zhǎng)相比來(lái)說(shuō)比重甚小。

首先，分析在第2.4ms時(shí)。顯然可以推斷出，為了保證整個(gè)過(guò)程高壓油管內(nèi)壓力穩(wěn)定，在前2.4ms期間進(jìn)油量不會(huì)很多，可近似忽略不計(jì)。而又此時(shí)噴油剛剛停止，進(jìn)油過(guò)程也僅發(fā)生了2.4ms，因此，此時(shí)油管內(nèi)油量近似認(rèn)為達(dá)到了極小值。

隨后，在長(zhǎng)達(dá)97.6ms期間，噴油工作停止，此階段僅發(fā)生進(jìn)油過(guò)程。因此，在第100ms時(shí)，油管內(nèi)油量應(yīng)達(dá)到了極大值。由于整個(gè)過(guò)程過(guò)于漫長(zhǎng)，逐一分析各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的壓力變化情況顯然是不可能的。因此，取整個(gè)過(guò)程的臨界情況分析，控制此階段的極小值與極大值所在時(shí)刻油管內(nèi)的壓力值，使其盡可能穩(wěn)定在100MPa。根據(jù)夾逼原則的思想，中間情況時(shí)自然也將滿足此條件。

2.4.3 具體求解

（1）0-2.4ms期間

同上述分析，我們?nèi)〈诉^(guò)程中的兩個(gè)極值條件來(lái)推斷2.4ms整個(gè)期間的變化。又由上述計(jì)算可得，在2.4ms期間噴油總量為44mm3。將單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)x的取值分為以下三種情況，對(duì)其逐一計(jì)算分析。

即若單向閥每次開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于2.4ms，前2.4ms內(nèi)進(jìn)油量可近似忽略不計(jì)。由于高壓油管的內(nèi)腔長(zhǎng)度為500mm，內(nèi)直徑為10mm，又由下列相關(guān)壓力計(jì)算公式可得，即使是忽略此階段的進(jìn)油量，最大為44mm3的燃油量所引起的油管內(nèi)壓力變化值為：

3 結(jié)論

本文旨在研究發(fā)動(dòng)機(jī)高壓油管的壓力控制問(wèn)題，利用已知條件及參數(shù)，進(jìn)一步確定單向閥的有效控制方案。[7]為了維持高壓油管內(nèi)壓力恒定為100MPa，利用動(dòng)態(tài)平衡原理，從油閥輸入的油量近似等于噴油嘴噴出的油量。對(duì)噴油速度與時(shí)間關(guān)系函數(shù)積分，求出一個(gè)周期的噴油量;對(duì)附件二的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，將E代入并對(duì)？駐p=■？駐？籽先進(jìn)行微分處理，最后進(jìn)行積分求解，得出高壓側(cè)燃油的密度，并利用流量公式求出單位時(shí)間從小孔流過(guò)的燃油量。為了確定單向閥每次開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)，進(jìn)行臨界情況分析，再對(duì)其構(gòu)建目標(biāo)規(guī)劃模型，利用LINGO軟件求解，最終得出單向閥每次的開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.2951ms。將高壓油管內(nèi)的壓力從100MPa增加到150MPa的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)約2s、5s和10s的調(diào)整，單向閥開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng)分別為0.7627ms、0.6039ms、0.5472ms。

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