莫邦哲　邵延會(huì)

【摘 要】數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，形成正確的數(shù)學(xué)觀念，并使之成為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。研究者以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”為例，挖掘數(shù)學(xué)文化中的思想方法的典型性、思維活動(dòng)的創(chuàng)造性、數(shù)學(xué)表達(dá)的深刻性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化;核心素養(yǎng);等差數(shù)列求和

【作者簡(jiǎn)介】莫邦哲，正高級(jí)教師，廣西數(shù)學(xué)特級(jí)教師，廣西八桂教育家搖籃工程學(xué)員，廣西師范大學(xué)大學(xué)基礎(chǔ)教育研究院兼職研究員;邵延會(huì)，一級(jí)教師。

【基金項(xiàng)目】廣西“十三五”規(guī)劃2019年度課題“新時(shí)代西部示范性高中卓越課程建設(shè)研究——以柳州鐵一中學(xué)為例”（2019C292）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）把數(shù)學(xué)文化貫穿于課程的全過(guò)程，不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。《新課標(biāo)》指出，高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)文化?！缎抡n標(biāo)》還進(jìn)一步指出，數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)[1]。但是在實(shí)施意見(jiàn)中，如何滲透數(shù)學(xué)文化，如何挖掘數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值等關(guān)鍵問(wèn)題，《新課標(biāo)》卻沒(méi)有進(jìn)行具體闡釋，也沒(méi)有給出可操作的指導(dǎo)意見(jiàn)，為此，筆者以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”為例進(jìn)行研究。

一、教學(xué)分析

“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”是人教版高中數(shù)學(xué)必修5第二章的內(nèi)容。很多教師的教學(xué)設(shè)計(jì)都是從“數(shù)學(xué)天才高斯10歲計(jì)算1+2+3+…+100”的故事引入。這個(gè)故事能積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)也給出了一個(gè)“不值一提”的等差數(shù)列求和的簡(jiǎn)單例證。其次，教師會(huì)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：等差數(shù)列從第1項(xiàng)到第n項(xiàng)的和如何求？教師一般會(huì)提示學(xué)生仿照高斯算法（倒序相加），利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。接著，教師示范如何用公式求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。最后，教師讓學(xué)生練習(xí)鞏固。其實(shí)本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，然而有的教師對(duì)公式的推導(dǎo)卻輕描淡寫(xiě)，用高斯的算法故事帶過(guò)，高斯的算法故事成了教學(xué)的噱頭，甚至是回避教學(xué)難點(diǎn)的方法。數(shù)學(xué)文化的價(jià)值在于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式，并形成正確的數(shù)學(xué)觀念，使之成為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的過(guò)程就是數(shù)學(xué)文化孕育的過(guò)程，數(shù)學(xué)文化中所蘊(yùn)含的思想方法的典型性、思維的創(chuàng)造性、表述的深刻性是進(jìn)行數(shù)學(xué)文化孕育的重要原材料。

二、數(shù)學(xué)文化價(jià)值的挖掘

（一）挖掘數(shù)學(xué)思想方法的典型性

高斯算法的教學(xué)價(jià)值何在？是否只是一個(gè)天才的故事，抑或是一個(gè)等差數(shù)列求和的簡(jiǎn)單案例？如果是這樣，那么故事的內(nèi)容對(duì)于高中學(xué)生而言卻過(guò)于簡(jiǎn)單。在教學(xué)中，如果教師對(duì)故事不加以改造，學(xué)生就不會(huì)想到其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想——對(duì)稱的思想、配對(duì)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，以及數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。因此，高斯算法的故事的教學(xué)價(jià)值不在于高斯的聰明，而在于故事中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的代表性和典型性，這是教師在教學(xué)中需要挖掘的。結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，筆者對(duì)高斯算法的故事進(jìn)行了挖掘，增加了下面三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)一：計(jì)算1+2+3+…+101的值。

該教學(xué)環(huán)節(jié)是對(duì)高斯算法的反思與簡(jiǎn)單推廣，讓學(xué)生對(duì)對(duì)稱性和配對(duì)思想有所感悟。將高斯算法從1+2+3+…+100推廣到1+2+3+…+101，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比兩式，發(fā)現(xiàn)它們的共性：首尾兩數(shù)配對(duì)后仍然具有“等和”的特點(diǎn)，因此用高斯的算法仍然適用。與此同時(shí)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間的個(gè)性：第一個(gè)算式是偶數(shù)項(xiàng)，恰好成雙成對(duì)，第二個(gè)算式是奇數(shù)項(xiàng)，配對(duì)后剩余一個(gè)中間項(xiàng)，而此中間項(xiàng)是配對(duì)的兩數(shù)和的平均數(shù)。通過(guò)簡(jiǎn)單的推廣，讓學(xué)生感悟到具有等和特點(diǎn)的數(shù)都具有共同的平均數(shù)，這些數(shù)以中間項(xiàng)為中點(diǎn)排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列（等差數(shù)列），從而突出等差數(shù)列具有等和的性質(zhì)，以及中心對(duì)稱的幾何特征，為教學(xué)環(huán)節(jié)二和環(huán)節(jié)三做鋪墊。

環(huán)節(jié)二：化簡(jiǎn)1+2+3+…+101+…+n。

教學(xué)環(huán)節(jié)二是將高斯算法從有限項(xiàng)推廣到任意項(xiàng)的情形，把具體問(wèn)題一般化。在該題的求解中，學(xué)生通過(guò)類比教學(xué)環(huán)節(jié)一的做法可以很快算出結(jié)果，但是計(jì)算的過(guò)程存在不少問(wèn)題，而對(duì)這些問(wèn)題的反思和解決，正是我們挖掘高斯算法故事的價(jià)值所在。例如學(xué)生不考慮n的奇偶性而直接套用結(jié)論，無(wú)法說(shuō)出所得結(jié)果的算法意義，導(dǎo)致把問(wèn)題推廣到更一般的等差數(shù)列之后，學(xué)生不會(huì)運(yùn)用倒序相加法。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論后，一方面需要運(yùn)用配對(duì)法來(lái)解題，另一方面也在不斷滲透等和與對(duì)稱的知識(shí)表征，為引出等差數(shù)列的求和做鋪墊。

環(huán)節(jié)三：an是等差數(shù)列，求a1+a2+…+an的值。

通過(guò)教學(xué)環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)二的鋪墊，學(xué)生對(duì)自然數(shù)形態(tài)的等差數(shù)列的求和有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，能提煉出高斯算法中的等和性和對(duì)稱性，為把問(wèn)題推廣到更一般的等差數(shù)列奠定了實(shí)踐基礎(chǔ)。在該題的求解中，教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)支架性問(wèn)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：an=n是等差數(shù)列，求1+2+3+…+n的和運(yùn)用了倒序相加的方法，那么求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是否也可以采用倒序相加的方法？

至此，通過(guò)設(shè)計(jì)三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，挖掘高斯算法的數(shù)列特征，把高斯算法從有限項(xiàng)的運(yùn)算推廣到任意項(xiàng)的情形，再推廣到更一般的情形。

（二）挖掘數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的創(chuàng)造性

等差數(shù)列求和為什么要倒序相加？不倒序相加可以嗎？怎么想到倒序相加的？在課堂教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)很有趣的問(wèn)題。很多教師認(rèn)為借助高斯算法的故事，這些問(wèn)題的解決是一個(gè)很自然的過(guò)程。但是從實(shí)際的教學(xué)過(guò)程來(lái)看，學(xué)生卻感到不好理解，教師認(rèn)為高斯算法很簡(jiǎn)單、很好理解，所以從特殊到一般，從具體到抽象應(yīng)該是一個(gè)很自然的過(guò)程。而學(xué)生卻很茫然，因?yàn)樗麄冇X(jué)得求1+2+3+…+100以及1+2+3+…+n的值沒(méi)問(wèn)題，但對(duì)如何求解a1+a2+…+an卻沒(méi)有思路。因?yàn)?+2+3+…+100=5050，1+2+3+…+n=f（n），而a1+a2+…+an能用什么樣的式子來(lái)表達(dá)卻不明白，即使學(xué)生能用n（n+1）2表示1+2+3+…+n的運(yùn)算結(jié)果，并不意味著他們就能運(yùn)用倒序相加的方法來(lái)推導(dǎo)，即學(xué)生對(duì)n（n+1）2的意義未必真正理解，而這正是倒序相加的關(guān)鍵。學(xué)生對(duì)n（n+1）2的理解更多是基于對(duì)100×（100+1）2類比，但是把一個(gè)式子重新寫(xiě)一遍，而且是把順序倒過(guò)來(lái)，就不再是一種類比，而是一種思維的創(chuàng)新。