陳麗娟 李明珠 張蕾 王麗莎

摘 ?要：新工科建設(shè)重視創(chuàng)新型、綜合化的工程教育理念。文章從計(jì)算方法教學(xué)現(xiàn)狀入手，分析了計(jì)算方法對(duì)于培養(yǎng)創(chuàng)新能力的必要性和創(chuàng)新性。鑒于計(jì)算方法的思想和方法在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用廣泛，文章探究如何把數(shù)學(xué)建模思想融入計(jì)算方法教學(xué)中，并介紹了作者在計(jì)算方法課堂教學(xué)中講解數(shù)學(xué)建模思想的案例。實(shí)踐證明，該項(xiàng)研究對(duì)于提高新工科背景下學(xué)生的實(shí)踐和創(chuàng)新能力具有一定的意義。

關(guān)鍵詞：計(jì)算方法;數(shù)學(xué)建模;教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G640 ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2020）18-0074-03

Abstract： New engineering construction attaches great importance to innovative and comprehensive engineering education concept. Starting from the present situation of the teaching of computing method， this paper analyzes the necessity and innovation of computing method for the cultivation of innovation ability. In view of the wide application of the idea and method of computing method in mathematical modeling， this paper explores how to integrate the idea of mathematical modeling into the teaching of computing method， and introduces the case that the author explains the idea of mathematical modeling in the teaching of computing method. It has been proved that the research is of great significance to improve the students' practice and innovation ability under the background of new engineering.

Keywords： computing method; mathematical modeling; teaching reform

為推動(dòng)工程教育改革創(chuàng)新，教育部在復(fù)旦大學(xué)召開高等工程教育發(fā)展戰(zhàn)略研討會(huì)。新工科以立德樹人為引領(lǐng)，以應(yīng)對(duì)變化、塑造未來(lái)為建設(shè)理念，以繼承與創(chuàng)新、交叉與融合、協(xié)調(diào)與共享為主要途徑，培養(yǎng)未來(lái)多元化、創(chuàng)新型卓越工程人才，具有戰(zhàn)略型、創(chuàng)新性、系統(tǒng)化、開放式的特征。

計(jì)算方法是高等院校信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程和部分理工科專業(yè)的公共課。計(jì)算方法主要闡述了現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中使用的數(shù)值計(jì)算方法和它的基本原理，具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，是數(shù)學(xué)原理與實(shí)際問題和計(jì)算機(jī)的有機(jī)結(jié)合。

計(jì)算方法教學(xué)中如僅僅上課時(shí)傳授定理的證明和計(jì)算方法的推導(dǎo)，然后上機(jī)實(shí)習(xí)，忽視計(jì)算方法思想的講授。學(xué)生上課時(shí)會(huì)產(chǎn)生晦澀難懂的感覺，應(yīng)用起來(lái)無(wú)從下手。理論與實(shí)際結(jié)合是該課程的特點(diǎn)之一。數(shù)學(xué)建模中大量應(yīng)用了計(jì)算方法課程中的思想和方法，如插值和擬合法，最小二乘法，微分方程數(shù)字求解法。如果將數(shù)學(xué)建模的思想加入到計(jì)算方法的教學(xué)中，理論聯(lián)系實(shí)際，不僅為計(jì)算方法提供了應(yīng)用背景，還會(huì)激發(fā)學(xué)生的積極性。

一、計(jì)算方法課程的特點(diǎn)及傳統(tǒng)教學(xué)中存在的問題

計(jì)算方法課程是為了解決實(shí)際問題而產(chǎn)生的，具有廣泛的實(shí)際實(shí)用價(jià)值。從教授課程的教學(xué)經(jīng)歷看，學(xué)生比較重視該門課程。但計(jì)算方法的教學(xué)內(nèi)容理論性強(qiáng)，公式較多，直觀性差。傳統(tǒng)教學(xué)中存在的問題，我們總結(jié)了三點(diǎn)：

1. 重視理論證明和公式推導(dǎo)，模擬算法少。計(jì)算方法課程的宗旨是提高學(xué)生創(chuàng)新能力，傳統(tǒng)的教學(xué)模式忽視計(jì)算方法實(shí)際應(yīng)用，注重講授數(shù)值方法的原理，而結(jié)果是學(xué)生掌握了一些理論性的數(shù)值計(jì)算方法，實(shí)際運(yùn)用能力不足。

2. 重視數(shù)值模擬，而忽略了探索研究。由于學(xué)生教學(xué)軟件運(yùn)用能力的限制和實(shí)踐性教學(xué)內(nèi)容匱乏，學(xué)生最多利用已有的Matlab軟件模擬一下數(shù)值計(jì)算案例，但學(xué)生很少有機(jī)會(huì)運(yùn)用計(jì)算方法來(lái)解決其他的實(shí)際問題。

3. 老師在教學(xué)過程中重視知識(shí)傳授，忽視學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。計(jì)算方法課程在教學(xué)內(nèi)容的安排上，眾多理論證明，相對(duì)繁、難。學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也單一，學(xué)生總是被動(dòng)地接受知識(shí)，使學(xué)生失去了創(chuàng)新學(xué)習(xí)的能力，并且長(zhǎng)期以來(lái)以閉卷考試的成績(jī)作為衡量學(xué)生掌握該課程的主要標(biāo)準(zhǔn)。這些情況會(huì)造成部分學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性逐漸喪失，而且“高分低能”現(xiàn)象成了現(xiàn)代教育的普遍現(xiàn)象。

二、數(shù)學(xué)建模融入計(jì)算方法教學(xué)

（一）采用“問題驅(qū)動(dòng)式”教學(xué)方法

首先對(duì)“計(jì)算方法”中的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行新的設(shè)計(jì)和構(gòu)造。創(chuàng)設(shè)具有實(shí)際背景和應(yīng)用價(jià)值的問題，很多問題均與數(shù)學(xué)建模有關(guān)。這樣能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)求知的興趣。在教學(xué)過程中，給予學(xué)生思考時(shí)間，部分推導(dǎo)可以讓學(xué)生自己獨(dú)立完成。例如：在講解插值法之前，可引入體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的案例。

在一天24小時(shí)內(nèi)，從零點(diǎn)開始每間隔2小時(shí)測(cè)得的環(huán)境溫度數(shù)據(jù)分別為

12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13

推測(cè)中午1點(diǎn)的溫度，并做出24小時(shí)溫度曲線圖。

案例會(huì)引起學(xué)生的好奇心，進(jìn)而來(lái)講解插值法公式，最后來(lái)求解該題。

（二）注重算法的講解，能實(shí)際應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模中

計(jì)算方法著重講解算法的理論以及推導(dǎo)過程。數(shù)學(xué)建模關(guān)注如何用，怎樣用。我們可以通過上機(jī)，用Matlab軟件進(jìn)行驗(yàn)證算法，解決數(shù)學(xué)建模中的一些實(shí)際案例，讓同學(xué)們掌握更多更有效的解決實(shí)際問題的手段，進(jìn)而提高他們的創(chuàng)新和科研能力。例如，在講解微分方程數(shù)值解法的時(shí)候，我們可以用Matlab來(lái)驗(yàn)證Euler方法，梯形方法。改進(jìn)的Euler方法的收斂速度問題。

（三）考核方式改革

好的考核方式會(huì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。為了讓學(xué)生積極參與討論和學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的實(shí)際操作能力。我們應(yīng)有明確的考核標(biāo)準(zhǔn)。計(jì)算方法課程注重過程考核，可包括以下幾個(gè)方面：1. 期末考試占80%。期末考試是教學(xué)過程中重要的組成部分，我們可以選取一些具有實(shí)際背景的題目，讓學(xué)生利用課上學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行作答，加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用能力。2. 討論課及小作業(yè)情況占10%。3. 章節(jié)測(cè)試占10%。定期對(duì)學(xué)生進(jìn)行章節(jié)測(cè)試，以掌握學(xué)生學(xué)習(xí)的狀態(tài)。踏踏實(shí)實(shí)，每一章節(jié)都很扎實(shí)，知識(shí)方能積累。通過過程考核，能夠培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考，開拓創(chuàng)新的素質(zhì)。

三、案例分析

教學(xué)內(nèi)容：微分方程數(shù)值解，案例分析：導(dǎo)彈跟蹤問題。

問題：某軍隊(duì)一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艇一艘以90km/h的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艇，導(dǎo)彈速度為450km/h。自動(dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任意時(shí)刻都能對(duì)準(zhǔn)敵艇。試問導(dǎo)彈在何時(shí)何處擊中敵艇？

數(shù)學(xué)建模：微分方程建模的方法主要是依據(jù)守恒定律來(lái)建立等量關(guān)系式。對(duì)于這個(gè)問題，尋求等量關(guān)系是比較簡(jiǎn)單的。設(shè)坐標(biāo)系如圖1所示，取導(dǎo)彈基地為原點(diǎn)（0，0），x軸指向正東方，y軸指向正北方向。

模型求解：數(shù)值解法

將初值問題化為一階微分方程組

取自變量y的步長(zhǎng)為h=H/n，于是得分割點(diǎn)y0=0，y1=h，y2=2h，…，yn=nh=H。

下面介紹兩種近似算法來(lái)進(jìn)行數(shù)值處理。

1. Euler方法

Euler方法十分簡(jiǎn)單，就是利用數(shù)值積分給出計(jì)算公式。得到計(jì)算的迭代格式：

利用Matlab程序?qū)崿F(xiàn)算法。表1是對(duì)于不同的 n 值所對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。顯然，n 越大（即 h 越?。Y(jié)果就越精確。

此時(shí)的近似解：L≈24.15（km），T=0.268（h）。

2. 改進(jìn)的Euler方法（預(yù)估-校正法）

對(duì)應(yīng)的迭代公式為：

編寫Matlab程序?qū)崿F(xiàn)以上改進(jìn)Euler法：將y的變化區(qū)間[0，H] 4等分，計(jì)算結(jié)果如下：

此時(shí)，L≈x4=21.2781，T≈L/ve=0.2364。

四、結(jié)束語(yǔ)

隨著數(shù)字信息化的發(fā)展，計(jì)算方法的重要性日趨所見。將數(shù)學(xué)建模思想融入計(jì)算方法的教學(xué)中，可以推動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生的創(chuàng)新和科研能力。但如何更好地把數(shù)學(xué)建模思想融入計(jì)算方法的教學(xué)課程中，是我們以后要研究的重點(diǎn)。

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