馬宗成,陳丹強,李國帥,鐘詠兵,肖樹臣

(空軍航空大學(xué) 航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院,吉林 長春 130000)

航空末敏子母彈地面散布的形狀、大小和均勻程度直接影響子母彈對目標(biāo)的殺傷效果[1]。與傳統(tǒng)子母彈相比,由于航空末敏彈的彈道涉及母彈飛行過程、減速過程和穩(wěn)態(tài)掃描過程3個階段,減速和穩(wěn)態(tài)掃描過程又包含傘-彈雙體運動,因此航空末敏子母彈全彈道數(shù)學(xué)模型復(fù)雜,導(dǎo)致缺少對航空末敏子母彈地面散布問題的研究。文獻[2-3]建立了傳統(tǒng)子母彈拋撒段彈道模型,分析了無控子彈運動規(guī)律和散布情況;文獻[4-6]分析了末敏彈穩(wěn)態(tài)階段傘-彈系統(tǒng)空間運動的運動規(guī)律;文獻[1,7]采用蒙特卡羅法和數(shù)學(xué)建模的方法對破片殺傷子母彈的地面散布問題展開了研究,不涉及末敏彈的減速和穩(wěn)態(tài)掃描過程;文獻[8]采用上下界估計方法,對航空末敏彈的地面散布問題做了初步探討。

本文針對航空末敏子母彈地面散布問題,采用歐拉方法建立了母彈飛行階段的剛體六自由度動力學(xué)模型;將子彈減速階段和子彈穩(wěn)態(tài)掃描階段的傘-彈系統(tǒng)簡化為雙剛體,根據(jù)其物理特性,將減速階段簡化為球鉸鏈連接,將穩(wěn)態(tài)掃描階段簡化為柱鉸鏈連接,采用拉格朗日多剛體建模方法,分別建立了三維空間的減速階段的雙剛體球鉸9自由度模型和穩(wěn)態(tài)掃描階段的雙剛體柱鉸7自由度模型。更進一步,將減速傘和旋轉(zhuǎn)傘的開傘充氣的銜接過程簡化為勻速運動過程,建立了航空末敏彈全過程的外彈道數(shù)學(xué)模型;按照傳統(tǒng)的拋撒方式設(shè)計了基本的航空末敏彈構(gòu)型,仿真分析了水平投彈速度和拋撒速度對一層子彈地面散布的影響。本文所設(shè)計的構(gòu)型和建立的全彈道模型為航空末敏彈的設(shè)計和使用提供了借鑒和依據(jù)。

1 模型構(gòu)建

1.1 彈體結(jié)構(gòu)和拋撒過程

本文設(shè)定母彈彈體內(nèi)部裝載3層且每層包含4枚的子彈,拋撒裝置位于母彈彈軸處,排列方式示意圖如圖1所示。到達預(yù)定拋撒高度后,切割母彈的蒙皮,拋撒裝置作用,將末敏子彈拋射出去。末敏子彈散開的同時,立即打開減速降落傘進入減速階段。減速到預(yù)定速度后,拋掉減速降落傘并打開旋轉(zhuǎn)降落傘,進入穩(wěn)態(tài)掃描階段,實現(xiàn)對地面目標(biāo)的螺旋線掃描,如圖2所示。

圖1 彈體結(jié)構(gòu)

1.2 拉格朗日多剛體建模方法簡介

拉格朗日多剛體建模方法可以忽略系統(tǒng)之間的相互約束,僅需要求解方程中各項的表達式,進而代入第二類拉格朗日方程便可以建立多剛體動力學(xué)模型,且建立的模型是混合的微分-代數(shù)方程組,便于計算機仿真計算,第二類拉格朗日方程表達式為[9]

(1)

式中:T為多個剛體的動能,包括速度項和轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的動能;qk為假設(shè)的廣義坐標(biāo);Qk為相應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力;k為多個剛體獨立的自由度個數(shù);n為組成質(zhì)點系的個數(shù);s為完整約束。對于由n個質(zhì)點組成且具有s個完整約束的理想約束系統(tǒng),建立的模型的自由度為3n-s。

圖2 拋撒過程

對減速過程和穩(wěn)態(tài)過程的傘-彈系統(tǒng)作如下假設(shè):

①下降過程中減速傘和旋轉(zhuǎn)傘保持軸對稱狀態(tài),視為剛體,將末敏子彈作為另一個剛體處理,傘-彈系統(tǒng)視為雙剛體;

②根據(jù)物理連接關(guān)系,減速過程減速傘-末敏子彈之間的連接機構(gòu)簡化為球鉸連接,穩(wěn)態(tài)階段旋轉(zhuǎn)傘-末敏子彈間連接機構(gòu)簡化為柱鉸連接,忽略鉸處產(chǎn)生的摩擦力。

1.3 母彈飛行過程建模

參考文獻[10-11],采用歐拉方法,本文建立的母彈飛行過程的六自由度數(shù)學(xué)模型如下:

(2)

(3)

式(2)為母彈的動力學(xué)方程,式(3)為母彈的運動學(xué)方程。式中:x,y,z為慣性系下質(zhì)心位置;m,J分別為母彈質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量;v為質(zhì)心速度;θ,γv分別為彈道傾角和彈道偏角;ω為角速度;?,ψ,γ為歐拉角;F,M分別為彈體受到的空氣作用力和力矩。

1.4 減速過程彈傘系統(tǒng)建模

本文選取彈傘連接點O在地面慣性坐標(biāo)系Oxyz的位置參數(shù)(x0p,y0p,z0p)以及傘的空間姿態(tài)參數(shù)(?p,ψp,γp)和彈的空間姿態(tài)參數(shù)(?b,ψb,γb)作為獨立變量,建立減速傘-末敏子彈雙剛體球鉸三維空間的9自由度數(shù)學(xué)模型。減速傘和末敏子彈組成的傘-彈系統(tǒng)如圖3所示,圖中,O1x1y1z1和O2x1y1z1分別是以傘體質(zhì)心為原點和彈體質(zhì)心為原點的平移坐標(biāo)系。

圖3 減速階段傘-彈系統(tǒng)示意圖

根據(jù)物理連接關(guān)系,減速傘質(zhì)心在Oxyz中的位置可表示為

(4)

末敏子彈在Oxyz中的位置可表示為

(5)

將式(4)和式(5)中的減速傘和末敏子彈的空間位置對時間求導(dǎo)數(shù),可以求得減速傘和末敏子彈的質(zhì)心速度。減速傘的質(zhì)心速度可表示為

(6)

末敏子彈的質(zhì)心速度可表示為

(7)

式中:?′p和ψ′p為傘體的歐拉角對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。

通過減速傘和末敏子彈的空間姿態(tài)角的角度變化率,可以求得減速傘和末敏子彈的角速度?？傻脺p速傘的角速度為

(8)

末敏子彈的角速度為

(9)

因而,減速傘的動能可以表示為

(10)

末敏子彈的動能可以表示為

(11)

傘-彈系統(tǒng)的動能可以表示為

Tj=Tp+Tb

(12)

將式(12)代入式(1),定義廣義坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)變量和二階導(dǎo)數(shù)變量,運用MATLAB軟件進行公式推導(dǎo),得到傘-彈系統(tǒng)減速階段三維空間9自由度數(shù)學(xué)模型為

(13)

式中:A,B,C為系數(shù)矩陣,Q為廣義力項,O為零矩陣。

1.5 穩(wěn)態(tài)過程傘-彈系統(tǒng)建模

選取旋轉(zhuǎn)傘-末敏子彈系統(tǒng)的連接點O的空間位置(x0s,y0s,z0s)、旋轉(zhuǎn)傘的空間姿態(tài)角(?s,ψs,γs)以及末敏子彈的彈體坐標(biāo)系相對于旋轉(zhuǎn)傘的傘體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動的角度θ(逆時針為正)作為廣義坐標(biāo),即q=(x0sy0sz0s?sψsγsθs)。穩(wěn)態(tài)階段的傘-彈系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 穩(wěn)態(tài)階段旋轉(zhuǎn)傘-末敏子彈系統(tǒng)示意圖

將傘體坐標(biāo)系平移到O點,得到傘盤坐標(biāo)系Ox′1y′1z′1,則由結(jié)構(gòu)參數(shù)和連接關(guān)系可以得到,傘剛體的質(zhì)心在此坐標(biāo)系中的位置可以表示為(-ls,0,0),彈剛體的質(zhì)心在此坐標(biāo)系中的位置可表示為(lbcosθr,lbsinθr,0),θr=θs-θ0,θ0為靜態(tài)懸掛角。

通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系,可得到傘剛體的質(zhì)心在地面慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(14)

將式(14)的兩邊對時間求導(dǎo)數(shù),可得到傘剛體的質(zhì)心速度為

(15)

彈剛體的質(zhì)心在地面坐標(biāo)系中可表示為

(16)

將式(16)兩邊對時間求導(dǎo)數(shù),可得彈剛體的質(zhì)心速度表達式為

(17)

地面坐標(biāo)系經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)(γs,?s,ψs)可以得到傘體坐標(biāo)系,因此傘剛體的角速度可表示為

(18)

地面坐標(biāo)系經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)(γs,?s,ψs,θs)可以得到彈體坐標(biāo)系,因此彈體的角速度可表示為

(19)

傘剛體的動能可表示為

(20)

彈剛體的動能可表示為

(21)

穩(wěn)態(tài)階段傘-彈系統(tǒng)的動能可表示為

Tw=Ts+Tb

(22)

將式(21)代入式(1)中,可以得到彈傘系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)掃描階段的數(shù)學(xué)模型的表達式為

(23)

式中:A1,B1,C1為系數(shù)矩陣;Q1為廣義力項。

1.6 銜接過程的假設(shè)

①拋撒點末敏子彈速度的計算。由于拋撒持續(xù)時間很短,本文假設(shè)拋撒點子彈脫離母彈后的速度為[12]v2=v0+v1。式中:v0為母彈飛行的速度矢量;v1為母彈拋撒子彈的相對速度矢量。

②開傘過程。減速傘和旋轉(zhuǎn)傘開傘過程持續(xù)時間短[12],經(jīng)過大約0.5 s便可以充滿,因此本文將開傘充氣過程簡化為勻速直線運動。

2 算例分析

以上文中建立的全過程外彈道數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ),采用MATLAB軟件編制仿真程序,彈道仿真流程如圖5所示。

圖5 全彈道仿真流程圖

2.1 全彈道仿真

選取投彈高度3 000 m、投彈速度150 m/s(水平投彈)、拋撒高度520 m、拋撒速度50 m/s作為仿真初始條件,給出航空末敏彈中第一層子彈的飛行彈道。為便于觀察,將母彈飛行彈道和拋撒后的彈道分開表示,如圖6、圖7所示。圖6中母彈高度降低到520 m時,母彈切割彈體,拋撒子彈。圖7中,拋撒后的子彈經(jīng)歷減速傘開傘充氣過程、減速過程、旋轉(zhuǎn)傘開傘充氣過程以及穩(wěn)態(tài)過程,最終降落到地面上。當(dāng)減速傘-末敏子彈系統(tǒng)的速度降低為80 m/s時,拋掉減速傘,拉出旋轉(zhuǎn)傘。旋轉(zhuǎn)傘-末敏子彈系統(tǒng)開始旋轉(zhuǎn)并逐步實現(xiàn)對地面的穩(wěn)態(tài)掃描,當(dāng)高度下降為100 m時,子彈的水平位置基本不再發(fā)生變化,仿真截止。

圖6 母彈飛行階段慣性系下垂直面內(nèi)彈道軌跡

圖7 4枚子彈脫離母彈后的彈道軌跡

圖8是4枚末敏子彈形成的掃描覆蓋區(qū)域,在此仿真初始條件下,z軸方向2枚子彈的掃描范圍不重合,x軸方向的2枚子彈的掃描區(qū)域相互重合且與z方向子彈掃描范圍重合。

圖8 一層末敏子彈的掃描區(qū)域

2.2 投彈速度對末敏子彈散布的影響

選取投彈高度為3 000 m、拋撒高度為520 m、拋撒速度為50 m/s作為初始條件,研究不同投彈速度對末敏子彈散布的影響。設(shè)定水平投彈速度分別為100 m/s,120 m/s,150 m/s,200 m/s,250 m/s,300 m/s,仿真得到的子彈落點散布如圖9所示。采用一維cubic插值方法,得到落點x軸方向和z軸方向的間距隨投彈速度的變化,如圖10所示。

圖9 投彈速度對地面散布的影響

圖10 落點間距隨投彈速度的變化

由圖10可見,x軸方向上的落點間隔與投彈速度成反比。這是因為投彈速度大,會使拋撒點的俯仰角的絕對值減小,這會降低拋撒點x軸方向2枚子彈的相對速度,進而降低x軸方向的落點間距。z軸方向上的落點間隔基本保持不變,受投彈速度的影響很小。這是因為一方面左右2枚子彈在拋撒點的側(cè)向速度等于拋撒速度,與投彈無關(guān);另一方面,垂直方向(y軸方向)上由投彈點到拋撒點為自由落體運動,所以投彈速度對傘彈系統(tǒng)的初始姿態(tài)有一定影響,但是對拋撒點的垂向速度沒有影響,所以投彈速度對子彈降落到地面的運動時間影響不大。

因此,投彈速度對z軸方向的落點間距影響不大,在拋撒速度確定的情況下,x軸方向的落點間距與投彈速度成反比。在航空末敏子母彈的使用過程中,降低投彈速度可以使地面散布更為稀疏。

2.3 拋撒速度對末敏子彈散布的影響

選取投彈高度為3 000 m、投彈速度為150 m/s、拋撒高度為520 m作為仿真初始條件,拋撒速度分別設(shè)定為30 m/s,40 m/s,50 m/s,60 m/s,70 m/s和80 m/s,4枚子彈拋撒后的彈道軌跡如圖11所示,子彈落點如圖12所示,通過一維cubic插值給出了末敏子彈落點x軸方向、z軸方向的間距隨拋撒速度的變化關(guān)系,如圖13所示。

圖11 不同拋撒速度下的彈道

圖12 拋撒速度對地面散布的影響

圖13 落點間距隨拋撒速度的變化

由圖13可知,隨著拋撒速度的增加,x軸方向上的落點間距與z軸方向上的落點間距均線性增大,表明落點間距與拋撒速度成正比。結(jié)合2.2節(jié)中的分析可知,水平投彈速度和拋撒速度均對x軸的落點間距有影響,而z軸方向的落點間距主要由拋撒速度決定。在航空末敏彈的設(shè)計使用過程中,應(yīng)根據(jù)裝甲目標(biāo)隊形合理確定投彈速度和拋撒速度。

3 結(jié)束語

本文設(shè)計了一種簡易的航空末敏彈構(gòu)型,建立了母彈飛行過程、減速過程、穩(wěn)態(tài)掃描過程的全彈道數(shù)學(xué)模型,研究了一層末敏子彈的地面散布問題,基于MATLAB軟件仿真分析了不同的載機水平的投彈速度和拋撒速度對末敏子彈地面散布的影響。研究結(jié)果表明:子彈散布x軸、z軸方向的落點間距與拋撒速度成正比;載機的水平投彈速度對末敏子彈散布x軸方向的落點間距影響較大,對z軸方向的落點間距基本沒有影響。本文的研究內(nèi)容能夠為航空末敏彈的設(shè)計和使用提供依據(jù)和借鑒。拋撒高度、氣象風(fēng)、運動參數(shù)隨機誤差等因素也會對子彈地面散布產(chǎn)生影響,后續(xù)會結(jié)合蒙特卡洛方法研究這些問題。