章文旭

摘要：作者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，嘗試在單元教學(xué)立意下，以單元為備課單元，整體構(gòu)筑單元內(nèi)容體系，分配課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)，在課堂中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并以人教版高中數(shù)學(xué)必修五不等式一節(jié)中的“不等式的性質(zhì)”一課為例進(jìn)行教學(xué)嘗試。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);單元教學(xué);不等式的性質(zhì)

我結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，嘗試在單元教學(xué)立意下，以單元為備課單元，整體構(gòu)筑單元內(nèi)容體系，分配課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)，并以人教版高中數(shù)學(xué)必修五不等式一節(jié)中的“不等式的性質(zhì)”一課為例進(jìn)行教學(xué)嘗試，以期引起同行關(guān)注，共同“求真問道”。

一、不等式章節(jié)整體設(shè)計(jì)

（一）單元內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容。

相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ)。本單元通過類比等式學(xué)習(xí)過程，構(gòu)建不等式概念，探究不等式性質(zhì)，掌握基本不等式，從函數(shù)觀點(diǎn)看二元一次不等式、一元二次不等式，并用不等式解決生活中的實(shí)際問題。

2.內(nèi)容解析。

（1）內(nèi)容的本質(zhì)：不等式是式與式之間的一種大小關(guān)系，是實(shí)數(shù)的序關(guān)系的一般化。不等式的性質(zhì)是不等式在運(yùn)算中保持不變性，基本不等式是兩個(gè)實(shí)數(shù)的和a+b和積ab的不等關(guān)系。

（2）內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：不等式的性質(zhì)探究中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)研究運(yùn)算中不變性的思想，基本不等式的證明中有數(shù)形結(jié)合的圖證思想，函數(shù)思想。一元二次不等式的解法又緊密聯(lián)系著二次函數(shù)和一元二次方程等知識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、數(shù)學(xué)知識(shí)之間豐富的聯(lián)系性。

（3）知識(shí)的上下位關(guān)系：本章在教材體系中的地位。

（4）本單元教學(xué)重點(diǎn)：掌握基本不等式并解決相應(yīng)生活中的優(yōu)化問題。

（二）單元目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.單元目標(biāo)。

（1）了解不等式的背景，體會(huì)等式與不等式都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（2）經(jīng)歷不等式的性質(zhì)的探究過程，掌握不等式的性質(zhì)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

（3）掌握基本不等式[a+b2≥ab（a>0，b>0）]，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

（4）從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式，會(huì)求解一元二次不等式。

2.目標(biāo)解析。

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）學(xué)生能從實(shí)際問題中找到不等關(guān)系，并語言化、數(shù)量化不等關(guān)系。

（2）學(xué)生能從運(yùn)算不變性的角度猜想并證明出不等式的性質(zhì)。

（3）學(xué)生能用多種方法證明基本不等式，并靈活運(yùn)用基本不等式解決生活中的最優(yōu)化問題。

（4）學(xué)生能借助二次函數(shù)圖像解出一元二次不等式的解法，熟練一元二次不等式解題程序，靈活轉(zhuǎn)化方程、不等式和函數(shù)條件：方程的根就是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，就是相應(yīng)不等式解集的端點(diǎn)。

二、第2課時(shí)《不等式的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

問題一：上一節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象不等式這個(gè)概念，我們知道等式和不等式都是刻畫數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)語言。請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)想一下，下面我們要研究不等式哪些內(nèi)容？

追問：（1）你為什么做出這樣設(shè)想呢？是基于什么而想到的？

（2）我們研究等式的基本過程是怎樣的？也就是說研究的基本套路是怎樣的？

引導(dǎo)語：初中時(shí)研究等式的過程：實(shí)際問題建立等式概念—等式的性質(zhì)—解方程（一元一次方程、一元二次方程）—證明恒等式—解實(shí)際生活中方程問題。類比地得出不等式一章研究路徑：實(shí)際問題中建立不等式概念—不等式的性質(zhì)—解不等式—證明基本不等式—用不等式解決實(shí)際生活中的問題。

意圖：以等式的基本性質(zhì)和研究路徑為起點(diǎn)，類比得出研究不等式的基本套路，為本章研究提供“導(dǎo)游圖”，再明確本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容：不等式的性質(zhì)。

問題二：你能說一說等式的性質(zhì)嗎？類比地，你能說一說不等式可能有怎樣的性質(zhì)嗎？

追問：你能嚴(yán)格證明這條不等式的性質(zhì)嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生用自然語言敘述基本不等式可加性、可乘性。

意圖：通過類比熟悉的等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)，然后再給予邏輯證明。

問題三：結(jié)合剛才等式和不等式的性質(zhì)，你能說說討論不等式的性質(zhì)的方法嗎？

預(yù)設(shè)：通過討論得到：考查運(yùn)算中的不變性，規(guī)律性。

追問：我們知道除了加減乘運(yùn)算，還有除法、乘方、開方運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)并證明更多不等式的性質(zhì)嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等式的可倒性，乘方性和開方性，并能夠借助于指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性證明乘方性和開方性。

設(shè)計(jì)意圖：代數(shù)學(xué)的根源在于運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的角度去思考討論等式的性質(zhì)的思想方法，再類似地從運(yùn)算不變性角度找到更多不等式的性質(zhì)。

問題四：前面我們?cè)诓坏仁絻蛇吋印⒊肆讼嗤臄?shù)，那在不等式兩邊加、乘不同的數(shù)，是否也具有保持不等號(hào)不變或改變的？

預(yù)設(shè)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)并證明不等式同向可加性和同正同向可乘性。

意圖：學(xué)生學(xué)習(xí)完不等式的性質(zhì)，但是對(duì)它的作用還不了解，通過解這個(gè)不等式感受不等式的性質(zhì)是解不等式的理論根據(jù)。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)的進(jìn)一步闡釋

以上詳細(xì)整理了人教版必修五“不等式的性質(zhì)“一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，從引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題，到解決問題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，從復(fù)習(xí)舊知研究路徑類比新知研究基本套路，經(jīng)歷完整的”創(chuàng)造“數(shù)學(xué)的過程，為了進(jìn)一步說明教學(xué)設(shè)計(jì)的意圖，下面圍繞”單元教學(xué)“的立意進(jìn)行說明。

1.單元教學(xué)需要清晰整章數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系，分清每節(jié)課在整章中的地位，作用及其與相關(guān)概念的聯(lián)系性。

2.單元教學(xué)需要考慮學(xué)生學(xué)情，充分激發(fā)學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和研究方法。對(duì)本單元不等式而言，知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)是等式的所有相關(guān)知識(shí)，不等式的概念、不等式的性質(zhì)、解不等式、證明不等式，都可以類比等式猜想得出。因此課堂教學(xué)時(shí)需要讓學(xué)生充分回憶等式的學(xué)習(xí)內(nèi)容，思索研究等式的基本套路，這樣不僅有利于課堂上順利生成新知，省時(shí)省力，還可以讓學(xué)生在基本套路的指導(dǎo)下學(xué)會(huì)主動(dòng)提出問題，提出符合數(shù)學(xué)內(nèi)在知識(shí)體系的、高質(zhì)量的好問題，使他們成為善于發(fā)現(xiàn)和提出問題的人才。

四、單元教學(xué)的背景

（一）單元教學(xué)更能夠?qū)崿F(xiàn)新課程改革提倡的從“知識(shí)立意“走向”素養(yǎng)立意“的要求

傳統(tǒng)的”知識(shí)教學(xué)“雖然每節(jié)課有教學(xué)內(nèi)容精準(zhǔn)，目標(biāo)達(dá)成度高的優(yōu)點(diǎn)，但它的弊端在于知識(shí)碎片化嚴(yán)重，不能使學(xué)生站在一個(gè)較高的觀點(diǎn)上來看學(xué)習(xí)內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)習(xí)失業(yè)狹窄，糾纏于細(xì)枝末節(jié)，只見樹木不見森林，不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。而單元教學(xué)站在了單元高度和學(xué)科高度，從知識(shí)的整體、結(jié)構(gòu)和聯(lián)系入手，處理好分解與綜合、整體與局部的關(guān)系，把握知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和育人價(jià)值。

（二）教材的編寫適合單元教學(xué)

各種版本的教材，不論是數(shù)與代數(shù)，還是圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率，專家們的編寫除了要遵循《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，還需要考慮數(shù)學(xué)研究的基本套路。例如對(duì)“函數(shù)”的研究，就是按照：實(shí)際背景——函數(shù)的定義、表示——圖像與性質(zhì)——應(yīng)用（基本初等函數(shù)）展開的。再者，對(duì)向量的研究過程是：力和位移背景——向量概念——表示——特殊向量——向量的關(guān)系。從中我們可以看出新概念研究的基本套路：實(shí)例——下定義——表示——特殊對(duì)象——特殊關(guān)系。它恰好能體現(xiàn)出用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)的全過程。

（三）單元教學(xué)更能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力

從數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯看，有價(jià)值的問題可以從兩個(gè)方向考慮：從同一學(xué)課內(nèi)再邏輯發(fā)展的必然性中產(chǎn)生，或從不同數(shù)學(xué)學(xué)科的聯(lián)系中產(chǎn)生。單元教學(xué)一方面強(qiáng)調(diào)不同章節(jié)之間、章節(jié)內(nèi)部各組成部分之間的聯(lián)系性，也強(qiáng)調(diào)用一以貫之來研究數(shù)學(xué)基本套路、來處理數(shù)學(xué)知識(shí)的自然生成問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]周九星.初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的設(shè)計(jì)策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（3）.

（責(zé)編? 吳 娟）