崔恒劉

[摘要]蘇科版教材中沒有“完全平方式”的概念，然而在教材配套的補充習題中遇到有關“完全平方式”的問題，教研組組織教師研討。出現(xiàn)套用相近概念“平方數(shù)、完全平方公式”的兩種不同解讀，一種觀點是可以寫作整式平方的式子就是“完全平方式”;另一種觀點是一個多項式（不能是單項式）的平方才能稱為“完全平方式”。研討的話題看似意義不大，但很典型，因為在教學中經常會遇到一些有爭議的概念、題目和解法，當學生提出這類問題時，總是采取繞開、回避的策略肯定不是上策。在教研活動中大家各抒己見，充分研討交流，并反思概念教學、選題改編的數(shù)學教育問題。

[關鍵詞]完全平方式;描述性定義;概念教學

停課不停學，線上教學期間，我校各年級備課組的教研活動改為視頻會議、線上研討，3月20日，備課組長拋出了一個話題，教師各抒己見，筆者全程參與，感覺這是一次關于“數(shù)學概念教學、課堂練習選題”的深度研討，為豐富視角，促進更多更廣泛的交流研討，筆者將研討內容及個人一點思考整理成文。與讀者研討。

1研討話題

蘇科版七下數(shù)學課本配套的《補充習題》第49頁9.5“多項式的因式分解（3）”第5題：二項式4m²+9加上一個單項式后是一個含有m的完全平方式。請寫出一個這樣的單項式。

教參提供的答案是：答案不唯一，如12m。

我們交流討論明確的問題是：學生填寫單項式一9是否正確？也就是說整式4m²是否是完全平方式？

2 研討紀要

師₁：這一題有幾個符合要求的答案？我們備課組要統(tǒng)一一下認識。

師₂：題目不要求寫全，填寫一個，如12m即可。

師：如果學生填寫單項式-9對不對？

師₄：不對，不能填寫單項式-9.二項式4m²+9加上一個單項式-9后，為4m²，是一個單項式，不是完全平方式。

師₃：完全可以填單項式-9，4m²=（2m）²，是完全平方式。

師₄：完全平方式，顧名思義，得名于完全平方公式。

師₅：不對，書上沒有完全平方式的概念，我在網(wǎng)上搜索“什么叫做完全平方式”：完全平方式是指如果滿足對于一個具有若干個簡單變元的整式A。如果存在另一個實系數(shù)整式B，使A=B²的條件話，則稱A是完全平方式。

師₃：是的，系數(shù)都不需要是整數(shù)，只要能改寫成一個實系數(shù)整式B的平方形式，就是完全平方式。2m是單項式。也是整式，因此4m²是完全平方式。不但如此。m的平方和4都可以叫完全平方式。

師₆：我認為不對。類比平方數(shù)，m的平方和4叫平方式即可。完全二字有點做作。

師₄：研讀教材，為什么第8章“冪的運算”中沒有類似的問題？學習了“完全平方公式”后，它才冒出來，由此應該看出，一個多項式（不能是單項式）的平方才能稱為“完全平方式”。

師₇：題目只要寫一個答案，又沒有要求寫全的，講時要求學生補中間項即可。

師₁：我認為還是要弄清楚好，如果學生做某本教輔用書時遇到困難來問我?；蛘咂綍r考試中遇到此類問題我們老師該如何處理？

師₇：我跟學生說，這類題目不會考，遇到不做也沒有關系。

師₈：是的，教材也有說不清的時候。

師₁：這類題考查的目的我們都顯而易見的，所以沒有辦法回避。還是弄清楚為好。

師₉：如果學生問，就說填寫-9也對。但是為了不失分。最好不要填寫-9.我以前與編輯交流這類有歧義的問題時。他們的回答是盡量避開。

師₈：是的，這類題挺重要的。但要說清楚呢，又感覺到噦嗦。所以很無奈。

師₁₀：細讀上面討論，我同意師。的觀點！師。是研讀蘇科版教材后發(fā)表的意見！各位細評師。的話：完全平方式，顧名思義，得名于完全平方公式。為什么第8章“冪的運算”中沒有類似的問題？學習了“完全平方公式”后，它才冒出來，由此應該看出，一個多項式（不能是單項式）的平方才能稱為“完全平方式”。

師₇：大家不要糾結，中考命題時，試卷上每一個概念都要翻課本，比如：負倒數(shù)、函數(shù)的解析式等名詞均不會出現(xiàn)。這個也是中考最后去審題的老師任務之一。

師₈：關鍵在于平時考試時，我們的命題老師可能疏忽所以師、說得好，我們要統(tǒng)一思想，來一個考試規(guī)范。

3 研討思考

教研活動雖然暫告一段落，但研討引發(fā)的思考并沒有停止。筆者談一點個人的所思所想。歡迎拍磚。

思考一 孟子曰：賢者以其昭昭，使人昭昭。意思是：賢人先使自己明白，然后才去使別人明白。教育者先受教育，教師先要自己弄明白，然后才能使學生明白。研討的話題看似意義不大，但很典型，在我們日常的教學中，經常會遇到一些概念、規(guī)定，本身存在一定的爭議，而即使討論最終能夠探討明白，也并沒有多大的價值。因此有些教師、專家、教材編寫者認為應盡量避免在這種無意義的問題上浪費時間。正如討論中師，說“我跟學生說，這類題目不會考，遇到不做也沒有關系”。但是在學生提出這類問題時?？偸遣扇±@開的策略也不見得是上策。換一種思路思考：從這些模糊有爭議的地方出發(fā)，就可以發(fā)現(xiàn)，對于嚴謹性的追求正是數(shù)學學科發(fā)展的動力之一，有些看似無價值，但其中蘊含的思維取向卻不見得沒有意義，特別是作為教學研究，不應把實用價值作為唯一的評價取向。

思考二 關于“完全平方式”的定義。筆者查閱了不同的教科書及文獻資料：

（1）人教版數(shù)學課本在八上第十四章《整式的乘法與因式分解》，14.2“乘法公式”，14.2.2“完全平方公式”這一節(jié)中，明確指出：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。也就是說，兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式。

在14.3“因式分解”。14.3.2“公式法”一節(jié)中。則明確給出“完全平方式”的定義：“我們把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²。這樣的式子叫做完全平方式”。利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項式因式分解。

（2）北師大版數(shù)學課本在八年級下冊第四章《因式分解》第3節(jié)“公式法”中：形如a²±2ab+b²的式子稱為完全平方式。

（3）浙教版數(shù)學課本七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”也指出：我們把多項式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式。在運用完全平方公式進行因式分解時。關鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式。

（4）蘇科版數(shù)學課本七下第9章《整式乘法與因式分解》，沒有“完全平方式”的概念，在9.4“乘法公式”一節(jié)中，用的語句是：我們得到完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。在9.5多項式的因式分解中，則沒有提及“完全平方式”，全章中無論是知識、例題，還是習題，也沒有出現(xiàn)“完全平方式”，只在教材組配套的《補充習題》中出現(xiàn)。

（5）網(wǎng)上搜索，百度百科“完全平方式”：（本詞條由“科普中國”科學百科詞條編寫與應用工作項目審核，審核專家劉軍）完全平方式是指如果滿足對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數(shù)整式B。使A=B²的條件話，則稱A是完全平方式，亦可表示為（a+b）²=a+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。該公式是進行代數(shù)運算與變形的重要的知識基礎，是因式分解的常用到的公式。中文名：完全平方式：外文名：Perfect square trinomial。

從文獻資料可以看出：人教版、北師大版、浙教版都是用的描述性定義，需要注意的是它們指明多項式a²±2ab+b²是“完全平方式”。但沒有說完全平方式就一定是這兩種形式的多項式或者說其它的就一定不是“完全平方式”;百度百科用的是嚴格規(guī)范的數(shù)學定義，由定義中的關鍵A=B²，B是一個實系數(shù)整式，單項式是整式。我們根據(jù)百度百科可以說4m²=（2m）²，是完全平方式，但是值得注意的是百度百科給出定義后，又特別指明“亦可表示為（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²?！辈⑶艺f該公式是進行代數(shù)運算與變形的重要的知識基礎。是因式分解的常用到的公式。

思考三 何為減負？教得多，考得少，才是減負。教得少，考得多。反會增加師生及家長負擔。從人教版、北師大版、浙教版、百度百科等資料上我們還讀出：文獻資料都強調了“把多項式a²±2ab+b²叫做完全平方式”。并且強調是進行代數(shù)運算與變形的重要的知識基礎，是因式分解的常用到的公式。完全平方式，亦可表示為（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。該公式是只有多項式才能因式分解。蘇科版教材則淡化處理，把教學的重心放在能推導、多角度理解、運用公式上。教師應該認真鉆研教材，領會編寫意圖，把教學的重心放在提高數(shù)學核心素養(yǎng)上。數(shù)學的核心知識。主干知識最重要。因此淡化概念教學。相配套的練習、習題、考試等也要與之相對應。作為數(shù)學教師，我們要與時俱進，不能任憑自己的主觀想象或經驗感覺，拿到題目就進課堂。我們要認真學習研讀新課標、新教材，明確課標要求，吃透教材，明確哪些內容該教，哪些知識不該講，題目想考查什么？能不能進課堂，心中要有數(shù)。如針對討論的源題，我們應該思考或者說換個角度來看：這個題目考查目的是什么？是不是為了考查完全平方公式？

思考四 教師要學會選題改編題。選題應緊扣教材、課標和當?shù)刂锌家?，而不能心系教輔。被教輔牽著走，不能說練習冊上一出現(xiàn)就非得講。不適合的題堅決刪除，如果感覺有可取之處，則必須將題目適當?shù)母木帪槲医虒W所用。

如：常見填空題“____是9的平方根”就非常不好，你說學生填3是9的平方根，錯在哪兒？難道3不是9的平方根？為什么非要根據(jù)標準答案填“3或一3”？你要考查學生一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，干嘛不出“9的平方根是____”？

再如研討所涉及的題目是好題。它能考查學生對完全平方公式的掌握程度和重要的數(shù)學思想分類。但是有爭議。我們需要改編：

（1）如果二項式4m²+9加上一個單項式后能成為一個多項式的完全平方，那么這個單項式是什么？

（2）如果多項式4m²-6m+9加上一個單項式后能成為一個整式的完全平方，那么這個單項式是什么？

這樣在課堂上組織引導學生分類討論。既能幫助學生深度理解完全平方公式，又將分類的數(shù)學思想自然滲透其中，考試時則用填空或選擇題的形式。