李曉波

【摘 要】 基于目前高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的情況，本文先分析實(shí)際課堂教學(xué)情況，提出一種新的教學(xué)設(shè)想——“問題串”設(shè)計(jì)教學(xué).教師先設(shè)計(jì)一系列“問題串”，引導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的生成，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，有助于闡述“問題串的”概念及其應(yīng)用.結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，設(shè)計(jì)了一些“問題串”的教學(xué)案例.最后根據(jù)自己的案例體會(huì)做了小結(jié)與展望.

【關(guān)鍵詞】 問題串;數(shù)學(xué)概念;案例

1 問題的提出

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，是構(gòu)成定理、法則、公式的基礎(chǔ)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提.當(dāng)前課堂上教學(xué)概念有些教師直接給學(xué)生講解，不管概念產(chǎn)生的起源和為什么需要這個(gè)新的知識概念，在這之后就大量地做題鞏固知識.在應(yīng)試教育的刷題模式下，學(xué)生只知道這個(gè)題目的解法，至于概念的本質(zhì)模棱兩可，使得學(xué)生機(jī)械的記住數(shù)學(xué)概念表面公式，對于數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵知之甚少.那么，教師應(yīng)該如何轉(zhuǎn)變這種方式，讓學(xué)生既記住數(shù)學(xué)概念表面知識，也能運(yùn)用概念去解決其他數(shù)學(xué)問題？筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，教師可以設(shè)計(jì)“問題串”來引導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的生成，用問題串的模式承上啟下，全方位地展示一個(gè)類似問題，能揭露數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).問題串的教學(xué)方式能很好地讓學(xué)生了解、掌握概念的起源和形成過程.問題串的設(shè)計(jì)目的就是加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，讓學(xué)生自主地學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生積極參與到教師的教學(xué)當(dāng)中.

2 問題串的概念

“問題串”是指在一定的框架內(nèi)，教師引入的一個(gè)中心目標(biāo)，按照一定的邏輯思維，精心設(shè)計(jì)的一連串問題.通過這些問題的承上啟下和解決這些問題的通法，達(dá)到一種高層次的邏輯思維，以便了解問題的本質(zhì)，掌握通法規(guī)律，鞏固知識技能和思維遷移.

3 問題串在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是以數(shù)學(xué)概念為主，反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，很多問題都是概念轉(zhuǎn)變而來.每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有它自己的作用，了解概念的同時(shí)也要對其性質(zhì)作一定的推導(dǎo)歸類.對于任意一個(gè)數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決問題，將復(fù)雜的問題逐步簡單化，深化概念的理解.

對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師需要掌握概念產(chǎn)生的起源和它的外延，前后因果關(guān)系透徹便于學(xué)生理解概念.概念中隱含的規(guī)定、條件逐一認(rèn)識，不遺漏，使之全方位理解牢固掌握.

下面，筆者通過教學(xué)案例來說明如何設(shè)計(jì)“問題串”促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的有效生成.

案例 課題：§2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)構(gòu)思

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)必學(xué)的知識，是直線和圓的知識的繼續(xù)，數(shù)形結(jié)合思想的進(jìn)一步運(yùn)用.通過數(shù)形結(jié)合的方式，學(xué)生體驗(yàn)了代數(shù)方程解決幾何問題的方法，會(huì)對解析幾何有進(jìn)一步地了解.對于已經(jīng)學(xué)過的直線與圓學(xué)生比較熟悉，概念也簡單，而對于一般二次曲線，學(xué)生從沒接觸過，因此本章的學(xué)習(xí)會(huì)繼續(xù)研究二次曲線，利用代數(shù)方法來研究曲線，強(qiáng)化解析幾何的思維.

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓知識后，再來研究的新曲線，橢圓的研究內(nèi)容和研究方法可以為雙曲線提供一定的參照，用類似的方法進(jìn)一步地研究圓錐曲線.對于研究的對象——雙曲線仍然采用解析法，將幾何問題變?yōu)榇鷶?shù)方程問題，在平面直角坐標(biāo)系中利用數(shù)形結(jié)合的方式探索雙曲線的代數(shù)表達(dá)式，用代數(shù)方程的思維研究其幾何性質(zhì).

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1.學(xué)生能正確理解雙曲線的定義并在歸納總結(jié)定義的過程中培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.學(xué)生了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，并能根據(jù)相關(guān)條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3. 在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)解析幾何中數(shù)形結(jié)合的基本思想，并培養(yǎng)其數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理的核心素養(yǎng).

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課，學(xué)生在之前學(xué)過了橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握了一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的推導(dǎo)并化簡方程，通過類似的方式來推導(dǎo)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.對于和與差的區(qū)別學(xué)生可能犯迷糊，雙曲線的定義是到兩個(gè)定點(diǎn)距離差的絕對值為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡，學(xué)生對絕對值的計(jì)算化簡可能會(huì)認(rèn)知錯(cuò)誤.

從雙曲線內(nèi)容上看，雙曲線是兩支曲線，不是封閉圖形，學(xué)生理解起來可能有一定的障礙，在教學(xué)中要注意與橢圓的相似之處也要考慮不同點(diǎn)，區(qū)分不同的知識點(diǎn).利用多媒體數(shù)學(xué)軟件協(xié)作解決問題，需要學(xué)生親自動(dòng)手操作，這方面還有待提高.

四、教學(xué)重難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

2.難點(diǎn)：雙曲線定義（兩支曲線）的生成過程以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.

五、教學(xué)方法及其理論依據(jù)

1.最近發(fā)展區(qū)理論：學(xué)生在有指導(dǎo)幫助的情況下能達(dá)到解決問題的水平和學(xué)生自己獨(dú)立解決問題的水平之間的差異，也就是兩個(gè)臨近發(fā)展階段的中間過渡階段.教師如果能很好地把握“最近發(fā)展區(qū)”，可以提高學(xué)生解決問題的能力.

2.支架式教學(xué)：來源于“最近發(fā)展區(qū)”理論，構(gòu)建了一種框架，為學(xué)生理解知識搭建橋梁，教師為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解問題，預(yù)先把復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)分解若干，從易到難，讓學(xué)生逐步理解，保證學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)一直處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).

3.教師從學(xué)生實(shí)際學(xué)情出發(fā)，根據(jù)其最近發(fā)展區(qū)將本節(jié)知識內(nèi)容進(jìn)行難度梯度劃分，適當(dāng)建立支架，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)任務(wù).

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.復(fù)習(xí)回顧

設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步基于雙曲線的定義內(nèi)涵來激發(fā)學(xué)生的思維發(fā)散，使其更全面認(rèn)識橢圓與雙曲線的方程，使知識內(nèi)在聯(lián)系更為凸顯，使思維不斷深化.讓學(xué)生多角度審視問題，在思考過程中概念越來越清晰，思維能力不斷提升.

教學(xué)設(shè)計(jì)評析 雙曲線這一節(jié)運(yùn)用問題串來展開教學(xué)，以探究橢圓的幾何概念性質(zhì)為基礎(chǔ)，用一系列的動(dòng)點(diǎn)軌跡“問題串”作為載體，本著“從特殊到一般”的認(rèn)識規(guī)律，逐步引導(dǎo)學(xué)生探索并導(dǎo)出雙曲線方程的一般形式.現(xiàn)在可以使用數(shù)學(xué)軟件動(dòng)態(tài)演示圖形的變化規(guī)律，學(xué)生能直接根據(jù)圖形認(rèn)識雙曲線的定義.高中生經(jīng)過了函數(shù)的學(xué)習(xí)，抽象思維基本達(dá)到了運(yùn)用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)概念的要求，通過一系列的問題認(rèn)識到“到兩點(diǎn)距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線”，再用兩個(gè)問題作為補(bǔ)充，完善學(xué)生對雙曲線定義的理解，把握好重難點(diǎn).學(xué)生通過這一系列的問題串的探究過程，培養(yǎng)抽象思維.

“問題串”在數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)應(yīng)用，對學(xué)生而言提高了學(xué)習(xí)效率和能力，對教師而言激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高自己的備課能力，讓自己得到了專業(yè)方向的發(fā)展，對于目前教學(xué)中的高效課堂有一定的作用，也是一種高效的教學(xué)方式，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也讓學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力得到了加強(qiáng)，符合目前新課程改革的要求.正如數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)名言：數(shù)學(xué)知識不是教出來的，也不是學(xué)出來的，而是研究出來的.在教學(xué)中熟練運(yùn)用問題串，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一種新的方式.