朱適宜

摘 要：初中階段是學(xué)生學(xué)習(xí)生涯中最重要的時(shí)刻之一。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有利于學(xué)生思維能力的全面發(fā)展。在此期間，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的事情就是引導(dǎo)學(xué)生找到合適的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的重要思想，是一種初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，新課程改革要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，讓學(xué)生自主地進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，教師采用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，即在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)嘗試思考，探索性思維的轉(zhuǎn)變。鑒于此，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;教學(xué)思想;實(shí)踐研究

一、引言

全面實(shí)施素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵就是將教育的內(nèi)容、教學(xué)實(shí)習(xí)的內(nèi)容與實(shí)際的社會需要相結(jié)合，培養(yǎng)新型的綜合化人才。傳統(tǒng)的教學(xué)模式有弊端，學(xué)生通常在學(xué)習(xí)上比較被動，而在學(xué)習(xí)方法上則比較死板。為了改變這種教學(xué)方式，提高學(xué)生的綜合能力，必須積極開展素質(zhì)教育。素質(zhì)教育中最重要的思想是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)字和圖形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的因素，它們相互影響、轉(zhuǎn)化和聯(lián)系。幾何和代數(shù)的結(jié)合是一種重要的教學(xué)方法。幾何可視化和代數(shù)精確性的結(jié)合可以促進(jìn)學(xué)生抽象、形象、知覺和理性思維的全面進(jìn)步，從而使學(xué)生可以更有效地掌握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，更有效地解決問題，由此可見，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是十分必要的。

二、數(shù)形結(jié)合思想綜述

從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)涵的角度分析，數(shù)學(xué)就是一門將“數(shù)字”與“形狀”相結(jié)合的學(xué)科?！皵?shù)字”主要包括數(shù)字、單詞、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等方面的概念和命題?！靶螤睢敝饕▓D像、圖形等。羅增儒從信息處理理論的角度闡述了對數(shù)形組合的思想，他指出，“數(shù)字”與“形狀”的結(jié)合不僅可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)立體的思維，更可以為解決數(shù)學(xué)問題提供有效的方法論。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，當(dāng)形式問題本身無法準(zhǔn)確表達(dá)時(shí)，可以通過數(shù)字的抽象屬性準(zhǔn)確地表達(dá)形式的各種特征。相反，當(dāng)某些事物不能用數(shù)字來描述時(shí)，可以用形式來具體表示。徐斌艷提出，數(shù)字與形狀的結(jié)合是對數(shù)學(xué)問題的綜合研究，將抽象的定量關(guān)系與直觀的圖形關(guān)系結(jié)合起來，使兩者之間相互作用，從而實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。張同軍認(rèn)為，數(shù)字和形狀的組合是解決數(shù)學(xué)問題并揭示問題深層結(jié)構(gòu)的一種方法，以便充分利用代數(shù)和幾何這兩個(gè)主要工具。徐文龍?jiān)趯ζ胀ū究粕恼{(diào)查中發(fā)現(xiàn)，普通高校用數(shù)字幫助形式的能力要強(qiáng)于用數(shù)字解決形式的能力。陳月蘭在對初中生“數(shù)形結(jié)合”能力的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，初中生“利用形狀幫助理解數(shù)字”的能力相對較弱，如一次函數(shù)教學(xué)中“可視化”的方式更容易理解。其中，學(xué)生的原始數(shù)學(xué)知識水平和學(xué)生的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣會影響學(xué)生的數(shù)形組合和變換能力。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

（一）有利于幫助學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)概念

對于數(shù)學(xué)概念的理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的起點(diǎn)，是學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維的根基，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的核心，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的最基本部分。數(shù)學(xué)概念是所有知識點(diǎn)的本質(zhì)，是知識的集中，是人們認(rèn)識知識從知覺到理性過渡的橋梁。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識概念通常是無聊的、單一的、枯燥的。一個(gè)模型相對應(yīng)一個(gè)概念，從模型的感知知識到理性認(rèn)知，都對學(xué)生有利，并形成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)概念，結(jié)合思想的數(shù)字形式是從數(shù)和形兩個(gè)方面講數(shù)學(xué)概念，有助于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。

（二）有效幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)認(rèn)知思維

數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知思維對于學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的技巧和方法是十分重要的，其中主要包括學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概念、內(nèi)容以及整個(gè)數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)。有關(guān)數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)都是將數(shù)學(xué)各部分的知識進(jìn)行聯(lián)系的，并且數(shù)學(xué)都有自身的一些法則存在的，這些法則是數(shù)學(xué)概念、公理、定理、方法之間的相互滲透。數(shù)形結(jié)合的思想可以讓學(xué)生將自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行再次的優(yōu)化。主要是數(shù)形結(jié)合可以將學(xué)過的知識進(jìn)行相關(guān)的聯(lián)系，建成一個(gè)數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)絡(luò)。另外，讓學(xué)生對原有的知識加深理解，使學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)有更深刻的理解和認(rèn)識。其次，在有關(guān)初中數(shù)學(xué)的教材中，數(shù)學(xué)知識都是先對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行理解，再利用圖形或者是數(shù)學(xué)知識框架進(jìn)行疏導(dǎo)，使得學(xué)生對知識更好的理解。數(shù)和形的結(jié)合具有優(yōu)化學(xué)生知識結(jié)構(gòu)和改變學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的優(yōu)勢。

（三）幫助發(fā)展形象思維

學(xué)生在發(fā)展形象思維的時(shí)候，一般都是通過具體的事物或者是具體的圖形來發(fā)展形成的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師也可以根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展的情況來進(jìn)行教學(xué)。數(shù)形結(jié)合的思想將數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識與圖形相結(jié)合，使學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更加有信心。學(xué)生通過對大量圖形的記憶和儲備，使其形象思維可以得以建立和發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大多數(shù)的數(shù)學(xué)概念或者定義，很多都是建立在圖形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，才使得很多的數(shù)學(xué)題目可以更容易得到解答。例如在學(xué)習(xí)“反比例函數(shù)”的時(shí)候，我們通過該函數(shù)呈現(xiàn)出的圖形結(jié)構(gòu)，可以很直觀地看出，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線。當(dāng)k大于0時(shí)，雙曲線的分支位于第一象限和第三象限，并且y值隨x的增加而減小。當(dāng)k小于0時(shí)，雙曲線的分支在第二和第四象限中，并且y值隨著x的增加而增加。當(dāng)學(xué)習(xí)其他的數(shù)學(xué)知識，如平方差的相關(guān)公式，教師也可以通過對圖形的補(bǔ)充或者是切割等方式，將該公式和圖形結(jié)合起來一同學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生對其知識更加理解，也有利于其發(fā)展圖形的想象力。

（四）幫助學(xué)生提高解決問題的能力

我們對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，主要通過知識的學(xué)習(xí)來解決一些問題。學(xué)生掌握一些數(shù)學(xué)思維在一定程度上影響學(xué)生解決問題的能力。數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有較大的成分，也是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以幫助學(xué)生提高對數(shù)學(xué)問題的解決速度，也可以讓學(xué)生找到問題更好的解決方式。例如，設(shè)k∈R，關(guān)于7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的一元二次方程，有兩個(gè)實(shí)根x1，x2且滿足0

（五）有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

大部分初中生對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有所畏懼，甚至是完全不喜歡數(shù)學(xué)學(xué)科，一方面覺得數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容比較枯燥乏味，另一方面認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)具有難度。面對這樣的教學(xué)現(xiàn)狀，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該采用更加形象和生動的方式進(jìn)行授課。數(shù)形結(jié)合就是一種比較有效的方式，將數(shù)學(xué)知識的原理通過直觀的數(shù)字和形態(tài)表現(xiàn)出來，讓學(xué)生更容易形成客觀的形象思維，在理解的基礎(chǔ)上運(yùn)用，這樣學(xué)生就不會覺得數(shù)學(xué)只是冰冷而無趣的數(shù)字。例如，在三角函數(shù)的研究中，找到15°的三角函數(shù)的值。由于學(xué)生從未接觸過這樣的角，初看題目時(shí)，大部分學(xué)生不能第一時(shí)間進(jìn)行正確的回答。如果在教學(xué)過程中，授課教師可以通過數(shù)形結(jié)合的方式，將其與30°的特殊角度相關(guān)聯(lián)，形成圖形來展示，學(xué)生將會更好地理解該知識點(diǎn)。

四、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的合理化應(yīng)用探究

（一）以數(shù)解形

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)表達(dá)形式中最常見的表達(dá)形式之一，這二者是對立且統(tǒng)一的，因此將合理的教學(xué)過程以圖形組合的形式引入到定量關(guān)系數(shù)中，可以更好且直觀地顯示數(shù)學(xué)的關(guān)鍵知識點(diǎn)，也可以讓具有代表性的數(shù)學(xué)問題變得更為簡單和更加的具體直觀，從而可以加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的幾何知識，這種能力為以后開展幾何教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在數(shù)字和形狀的組合中，通過數(shù)字求解形狀的方法不僅可以顯示圖形信息，而且可以更好地分析幾何圖形。教師采用數(shù)字與形狀相結(jié)合的方法，主要是分析學(xué)生的數(shù)值部分，但教師要注意這樣一個(gè)事實(shí)，即學(xué)生在初次接觸這個(gè)概念時(shí)，在這種情況下很難形成直觀的學(xué)習(xí)認(rèn)知，并且知識內(nèi)容掌握不牢。如果理解上存在偏差，將會對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響。因此，教師需要將數(shù)字和形狀組合的概念整合到他們的教學(xué)中。當(dāng)學(xué)生不理解數(shù)字時(shí)，應(yīng)使用圖形作為補(bǔ)充。當(dāng)學(xué)生不理解圖形時(shí)，應(yīng)使用數(shù)字直觀地表達(dá)。如教師在教授學(xué)生有關(guān)三角形知識的時(shí)候，可以將三角形的相關(guān)定理和圖形更好地結(jié)合，既要向?qū)W生展示黑板上的勾股定理，又要畫出三角形直角邊圖形，并在其圖形上分別標(biāo)出3厘米、4厘米、5厘米，要求學(xué)生在原始圖形的前提下進(jìn)行各個(gè)邊的比例拓展，將拓展好的圖形繪畫出來，并使用勾股定理的公式，讓學(xué)生觀察其中的圖形符合勾股定理a2+b2=c2。總之，學(xué)生可以通過觀察和思考形成良好的思維，也可以將數(shù)形結(jié)合的思想灌輸?shù)酱竽X中，促進(jìn)其思維的拓展。

（二）以形助數(shù)

在數(shù)形結(jié)合思想中，最常見的方法之一是使用數(shù)字作為輔助工具。以形助數(shù)的應(yīng)用可以在解決代數(shù)問題中發(fā)揮非常好的作用。同時(shí)，它也可以用于分析和解決其他類型的數(shù)學(xué)問題，以幫助學(xué)生或者是教師簡單地處理數(shù)學(xué)問題。以形助數(shù)的數(shù)學(xué)方法在分析和解決函數(shù)問題方面非常有效。例如，一次函數(shù)的計(jì)算：直線y=k-2x與x軸和y軸相交以形成一個(gè)三角形，該三角形的面積為9，那么k的值是多少。在分析此問題時(shí)，老師需要讓學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想來解決該問題。通過引入已知條件，我們可以首先在坐標(biāo)系中畫一條線，展開對該線的觀察，我們會發(fā)現(xiàn)該線與坐標(biāo)軸之間的交點(diǎn)是兩個(gè)特殊坐標(biāo)，通過這兩個(gè)坐標(biāo)可以建立一個(gè)求解k值的方程組。另外，如果該題目是平行四邊形的邊是10和20，并且它們之間的夾角是60度，則面積是多少？要分析此問題，我們還可以使用數(shù)字和形狀的組合，首先繪制一個(gè)平行四邊形并確定其高度。如果看一下所畫出來的圖形，就會發(fā)現(xiàn)高線在兩個(gè)相鄰邊周圍形成一個(gè)直角三角形。在這一點(diǎn)上，我們可以知道，在已知條件下，一個(gè)內(nèi)角為60度，我們可以通過使用正弦定理，計(jì)算出平行四邊形的高度，然后使用平行四邊形的面積公式來計(jì)算其面積。

（三）數(shù)形變換

無論是通過以數(shù)解形還是以形助數(shù)，都向我們充分展示了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢。實(shí)際上，當(dāng)我們解決實(shí)際問題時(shí)，許多數(shù)學(xué)問題都可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想。當(dāng)然，我們要做的不僅以數(shù)解形或是以形助數(shù)，還需要靈活地將兩者進(jìn)行轉(zhuǎn)換，學(xué)會靈活應(yīng)用，從而理解問題的含義，才能有效地解決問題。利用數(shù)字和形式的結(jié)合，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為容易的問題，擴(kuò)大思維范圍，找到解決問題的便捷有效的方法，提高解決問題的效率。數(shù)形貫穿初中數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要方面，即數(shù)量和圖形。數(shù)形的結(jié)合不僅可以幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，而且可以提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。無論是從數(shù)到形，還是從形到數(shù)，都不需要學(xué)生具備代數(shù)運(yùn)算，圖形變換的基礎(chǔ)和習(xí)慣。采用數(shù)形結(jié)合的方式方法可以使抽象問題更加具體化，使復(fù)雜問題更加簡單化，使粗略的問題更加精確化，從而拓寬思維范圍，使解決問題的思路更加清晰。

五、對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想實(shí)施的建議

（一）教師要系統(tǒng)講解數(shù)形結(jié)合的思想

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)為學(xué)生系統(tǒng)地講解數(shù)形結(jié)合的思想，并教導(dǎo)學(xué)生在什么情況下運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式方法，把握時(shí)機(jī)，不能盲目使用，以便學(xué)生全面理解和認(rèn)識這個(gè)思想。例如，在一次函數(shù)教學(xué)中，教師會給學(xué)生列出幾個(gè)特殊的一次函數(shù)供他們學(xué)習(xí)和討論。當(dāng)學(xué)生理解這些一次函數(shù)時(shí)，教師不應(yīng)忙于完成探究，而應(yīng)進(jìn)一步探索一般函數(shù)，并根據(jù)一般函數(shù)的特性進(jìn)行圖形演示。例如，在解釋了y=kx之后，教師可以進(jìn)一步解釋y=kx+b的圖形含義，通過此種方式讓學(xué)生去感受函數(shù)、了解函數(shù)。除此之外，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，更要引導(dǎo)學(xué)生主動使用數(shù)形結(jié)合的方法。學(xué)生能夠自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就會更好地幫助學(xué)生記憶數(shù)學(xué)知識，并在解答數(shù)學(xué)題目的過程中更有效地進(jìn)行分析。在調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的辦法記憶的學(xué)生要比直接死記硬背的學(xué)生效率更高。例如，在函數(shù)和二元一次方程組的教學(xué)中，不僅要講解本節(jié)課的知識，還應(yīng)使用數(shù)和形結(jié)合的方法，在內(nèi)容上進(jìn)行研究，幫助學(xué)生認(rèn)識到用數(shù)的方法得到的方程組就是這兩個(gè)二元一次方程所表示的直線的交點(diǎn)。這樣，學(xué)生可以從不同角度分析同一問題，從而提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。

（二）培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

教師在給學(xué)生傳授有關(guān)數(shù)形結(jié)合的相關(guān)知識時(shí)，教師要將其概念以及相關(guān)的知識內(nèi)容詳細(xì)地傳授給學(xué)生，使學(xué)生可以徹底了解這方面的知識內(nèi)容。教師要讓學(xué)生“以數(shù)解形”或者是“以形助數(shù)”這些知識，使得學(xué)生可以更加靈活地使用該數(shù)學(xué)方法。另外，教師在傳授該學(xué)習(xí)方法之前，要先讓學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，并且讓學(xué)生作出的圖是準(zhǔn)確的，并且在符合規(guī)定的范圍內(nèi)。教師可以利用課堂的時(shí)間，在課堂上結(jié)合所學(xué)的知識作圖，只有教師自身將作圖的規(guī)范意識做到位，學(xué)生才會自覺對其進(jìn)行模仿和學(xué)習(xí)，這樣教師給學(xué)生做出更好的示范。教師在教授作圖時(shí)，要詳細(xì)地跟學(xué)生做說明，點(diǎn)出作圖的重點(diǎn)以及一些難點(diǎn)，讓學(xué)生對圖形有更深的了解。另外，教師也可以通過舉出錯(cuò)誤的案例，讓學(xué)生了解到圖形一旦作出，數(shù)學(xué)題目也將陷入困境，無法得到更好的解決，從而可以加深學(xué)生的記憶力，為以后的標(biāo)準(zhǔn)作圖打下基礎(chǔ)。

總的來說，數(shù)形結(jié)合思想作為一種實(shí)用的思維方式，已被廣泛應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中。這種思想的應(yīng)用，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再是簡單無聊的數(shù)字游戲，有效的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象內(nèi)容可視化，幫助學(xué)生更好地解決實(shí)際問題。數(shù)和形之間有效轉(zhuǎn)換的過程也是數(shù)學(xué)思維的深化過程，數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。以圖像化的理解和教學(xué)方法對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)有重要影響，有效促進(jìn)學(xué)生抽象理解能力和邏輯思維能力的形成，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展和進(jìn)步。

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編輯 魯翠紅