邵宇

【摘? ?要】數(shù)學(xué)理解是一個積極建構(gòu)的過程，需要學(xué)生主動將新信息、新情境與已有的知識進(jìn)行聯(lián)系。教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)策略，多運用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析、對比、操作、評估、深化等過程，讓學(xué)生在更高的層級達(dá)到數(shù)學(xué)理解。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解;教學(xué);評估

一、理論：數(shù)學(xué)理解之價值指向

杜威認(rèn)為，理解是學(xué)習(xí)者探究事實意義的結(jié)果，可見理解是主動建構(gòu)內(nèi)部的心理表征，進(jìn)而獲得心理意義的過程。數(shù)學(xué)理解是一個積極建構(gòu)的過程，學(xué)生在構(gòu)建自己理解的主旨時，是作為一個建設(shè)性的參與者，采用數(shù)學(xué)的視角感知現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表征現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維方式建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的聯(lián)系，選擇和運用合適的數(shù)學(xué)概念和策略解決現(xiàn)實中的問題，并基于給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行合理監(jiān)控或驗證。

數(shù)學(xué)理解是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的中心環(huán)節(jié)，其目標(biāo)指向既是“對數(shù)學(xué)對象的理解”，又是“從數(shù)學(xué)的角度理解現(xiàn)實”，需要通過某種模型去呈現(xiàn)學(xué)生思維內(nèi)部對知識的建構(gòu)狀態(tài)與建構(gòu)過程。英國的皮里（Pirie）和加拿大的基輪（Kieren）提出了一個數(shù)學(xué)理解發(fā)展的理論模型——“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型。該模型以認(rèn)知結(jié)構(gòu)的觀點提出數(shù)學(xué)理解并非直線式的提高或直線式的發(fā)展，而是一個進(jìn)行中的、動態(tài)的、分水平的、非線性的、反反復(fù)復(fù)的建構(gòu)過程。它由原始認(rèn)知、產(chǎn)生表象、形成表象、性質(zhì)認(rèn)知、形式化、觀察評述、構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造八個不同理解水平組成，能完整呈現(xiàn)學(xué)生理解某一數(shù)學(xué)知識所經(jīng)歷的全過程（見圖1）。

“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型揭示了學(xué)生數(shù)學(xué)理解過程的基本規(guī)律，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解、掌握、運用的過程，不可能一蹴而就，需要在不同理解水平間循環(huán)往復(fù)，從而螺旋式地把對知識的理解推向深入。

筆者根據(jù)這一理論，評估了學(xué)生對長方體和正方體體積的理解，看學(xué)生能否主動將新信息、新情境與他們現(xiàn)有的知識和理解相聯(lián)系，并根據(jù)學(xué)生在觀察現(xiàn)象、表述和處理問題上所采用的策略、方法，探究學(xué)生數(shù)學(xué)理解認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層次性，以此作為重組學(xué)習(xí)材料，探討教學(xué)轉(zhuǎn)變策略的依據(jù)。

二、診斷：數(shù)學(xué)理解之評估分析

在學(xué)生學(xué)習(xí)了長方體和正方體的體積后，為評估學(xué)生對此概念掌握的真實水平和理解程度，在某次數(shù)學(xué)測試中，筆者設(shè)計了這樣一道題：

這個評價任務(wù)是基于對長方體和正方體體積概念理解的拓展應(yīng)用。筆者對區(qū)內(nèi)近200名學(xué)生進(jìn)行了評估，結(jié)果顯示正確率只有43.7%。表1是對錯誤情況的數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析。

從表1可知，47.5%的學(xué)生對長方體和正方體體積概念、計算與運用存在理解偏差。體積概念是指這個物體中含有多少個體積單位。學(xué)生借助小正方體擺長方體，通過觀察長方體長、寬、高的關(guān)系，運用“每排的個數(shù)、排數(shù)、層數(shù)”來理解體積計算公式的含義，從而得到長方體的體積是“長×寬×高”，這是獲得體積計算公式建立的表象。計算過程中出現(xiàn)的錯誤說明，學(xué)生對長方體體積概念的理解存在知識結(jié)構(gòu)不完備，概念掌握不準(zhǔn)確、不清晰等問題。

三、改變：數(shù)學(xué)理解之教學(xué)策略

學(xué)生對長方體和正方體體積的計算與應(yīng)用有一定的原始認(rèn)知和表象建立，但其理解水平不同。因此筆者嘗試在教學(xué)中設(shè)計不同層次的學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生厘清、再建已有的概念，在豐富的活動中促進(jìn)學(xué)生對長方體和正方體體積的數(shù)學(xué)理解。

（一）追本求源，厘清學(xué)生的“原初思維”

教師應(yīng)了解學(xué)生已理解什么，理解到何種程度，采用什么思維策略，容易在什么地方產(chǎn)生迷思。探尋學(xué)生“原初思維”最有效的方法就是追本求源，厘清思路。

【教學(xué)片段1】

（1）出示學(xué)生解決這個問題的四種方法。

方法一：個數(shù)=大體積÷小體積，（24×12×9）÷（2×2×2）=324（個）。

方法二：24÷2=12（個），12÷2=6（個），9÷2=4.5（個），12×6×4.5=324（個）。

方法三：24÷2=12（個），12÷2=6（個），9÷2=4（個）……1cm，12+6+4=22（個）。

方法四：個數(shù)=沿長放幾個（每行的個數(shù)）×沿寬放幾個（行數(shù)）×沿高放幾個（層數(shù)），24÷2=12（個），12÷2=6（個），9÷2=4（個）……1cm，12×6×4=288（個）。

師：比較這四種方法，它們有什么不同的地方？哪種方法是對的？

（同桌小聲討論）

師：為什么選擇第二種？

生：因為沒有放滿。9÷2=4（個）……1cm。

通過四種方法的比較，教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦于正方體積木在收納盒里擺放的表象建構(gòu)。方法一與方法二相似，都理解為在長方體中能放滿正方體。方法一和方法四截然不同的策略，引導(dǎo)學(xué)生思考收納盒的長、寬、高與正方體積木棱長之間的倍數(shù)關(guān)系，會影響實際擺放的空間結(jié)構(gòu)（是否放滿）和個數(shù)。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)方法三和方法四依據(jù)的是長方體體積計算公式推導(dǎo)原理，將長方體收納盒的長、寬、高對應(yīng)正方體積木擺放的每行個數(shù)、行數(shù)、層數(shù)，由此理解方法三缺少三維立體構(gòu)建。

（2）建立放不滿的空間表象。

生：24里有12個2，長就可以放12個;12里有6個2，寬就可以放6個;9里有4個2，高只可以放4個，還余1厘米，放不下正方體積木了。

師：長方體收納盒里能放多少個正方體，就是看長方體的長、寬、高里面各有幾個這樣的棱長，所以總個數(shù)=每行個數(shù)×行數(shù)×層數(shù)。

教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦是否“放滿”，重點表達(dá)長÷2=每行個數(shù)，寬÷2=行數(shù)，高÷2=層數(shù)，幫助學(xué)生建立積木擺放的表象。

（二）聚焦難點，引發(fā)學(xué)生“認(rèn)知沖突”

數(shù)學(xué)理解的過程應(yīng)建立在學(xué)生已掌握的知識之上，在不同情境對比中聚焦難點，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)體驗中，領(lǐng)悟空間圖形與因數(shù)、倍數(shù)知識間的聯(lián)系。

【教學(xué)片段2】

（1）情境對比，直擊題意。

出示另一種情境：小紅家有很多完全相同的小正方體積木，這些小正方體積木的棱長是整厘米數(shù)。小紅把它們放入24×12×9這個長方體收納盒里，長、寬、高正好都放滿（無空隙），你能求出正方體積木的個數(shù)嗎？最少能放多少個正方體？

通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩題的相同點是收納盒大小一樣，問題都是求放入的小正方體積木的個數(shù);不同點是第一題已知小正方體的棱長，第二題只知道正方體棱長是整厘米數(shù)。第一題不知道有沒有放滿，第二題正好放滿。第一題求最多有多少個，第二題求最少放多少個。教師追問，都是求在收納盒里放入正方體積木的個數(shù)，為什么一個是最多，一個是最少。由此讓學(xué)生理解要求正好放滿，說明正方體棱長的厘米數(shù)是長方體長、寬、高的厘米數(shù)的公因數(shù)（1和3）。在收納盒中，正方體積木棱長越大，個數(shù)越少，當(dāng)正方體棱長是長、寬、高的厘米數(shù)的最大公因數(shù)時，個數(shù)最少。學(xué)生在比較中理解題意，體驗正方體積木的棱長從因數(shù)到公因數(shù)再到最大公因數(shù)的演變過程。

（2）方法對比，直擊沖突。

師：那收納盒中最少能放多少個小正方體積木呢？小正方體棱長是多少？請大家畫圖想一想。

生：當(dāng)正方體棱長是長、寬、高的厘米數(shù)的最大公因數(shù)時，個數(shù)最少。24，12，9的最大公因數(shù)是3，所以放的個數(shù)是（24÷3）×（12÷3）×（9÷3）=96（個）。

師：回到收納盒里的擺放，也就是沿著長放8個（每行個數(shù)），沿著寬放4個（行數(shù)），沿著高放3個（層數(shù)）。（PPT動態(tài)呈現(xiàn)）

師：看著直觀圖，你有不同的想法嗎？

生：長方體體積÷小正方體體積=（24×12×9）÷（3×3×3）=96（個）。

師：用大體積除以小體積可以嗎？

生：可以，結(jié)果一樣。因為這里小正方體棱長是長方體長、寬、高的公因數(shù)，剛好能放滿，所以可以用大體積除以小體積。

師：對比觀察這兩道題，想一想，你發(fā)現(xiàn)收納盒里有什么秘密？

（生交流，小結(jié)）

秘密一：當(dāng)小正方體棱長是長方體長、寬、高的因數(shù)時，正好放滿，可以得到：大體積÷小體積=正方體的個數(shù)。

秘密二：不管小正方體棱長是不是長方體長、寬、高的因數(shù)，是否放滿，都能得到：每行個數(shù)×行數(shù)×層數(shù)=正方體的個數(shù)。

面對不同的實際情況，學(xué)生會陷入“認(rèn)知沖突”：怎樣的情況，可以用“大體積÷小體積=個數(shù)”來解決？怎樣的情況不能用，要根據(jù)實際擺放情況來解決？“認(rèn)知沖突”激發(fā)了學(xué)生自主探究“真相”的動力，他們發(fā)現(xiàn)長方體長、寬、高的公因數(shù)與小正方體的棱長的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。教學(xué)中課件的直觀性支撐學(xué)生的思維，幫助空間想象有困難的學(xué)生實現(xiàn)“眼中有數(shù)，腦中有形”，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。

（三）空間想象，開放學(xué)生的“動態(tài)思維”

學(xué)生經(jīng)過對比學(xué)習(xí)，能結(jié)合長方體長、寬、高的數(shù)據(jù)特征想象出在不同情境下收納盒中正方體的擺放表象。為了讓學(xué)生理解得“深”一點，筆者設(shè)計了開放的情境，激勵學(xué)生進(jìn)行空間想象。

【教學(xué)片段3】

（1）開放探究，動手操作。

開放情境：小紅把若干個棱長是整厘米數(shù)，完全相同的小長方體積木放入收納盒，正好放滿。若讓你來設(shè)計這個小長方體積木，它的長、寬、高會是多少？這個收納盒里能放多少個小長方體積木呢？畫一畫，怎么擺放？完成學(xué)習(xí)任務(wù)單。

空間想象是空間觀念的要素，學(xué)生先根據(jù)長方體積木與長方體收納盒兩者的長、寬、高的數(shù)量關(guān)系，在頭腦中“發(fā)明創(chuàng)造”長方體積木擺放表象，再動手畫圖驗證，既從“數(shù)”上理解因數(shù)與倍數(shù)的特征，又在“形”上建立立體的三維表象，加深對長方體的空間感知，發(fā)展空間觀念。

（2）關(guān)系探索，數(shù)形結(jié)合。

師：你們組設(shè)計的小長方體都有什么特征呢？

生：小長方體積木的長、寬、高是大長方體收納盒的長、寬、高的因數(shù)（反之，是倍數(shù)關(guān)系），這樣就正好沿長、寬、高放滿相應(yīng)的個數(shù)。

師：此時積木的總個數(shù)是……

生：總個數(shù)=（24÷a）×（12÷b）×（9÷c）。

師：這里能用“大體積÷小體積=積木個數(shù)”嗎？

生計算后交流：放滿時，也可以直接用“大體積÷小體積”來解決問題。

學(xué)生經(jīng)過活動經(jīng)驗的積累，已經(jīng)能抽象出數(shù)與形的關(guān)系。

（3）變式深化，動態(tài)想象。

師：小紅設(shè)計的長方體是這樣的：a=9cm，b=8cm，c=6cm，能放嗎？

生：不能，因為它的長、寬、高不是收納盒長、寬、高的因數(shù)。

生：能，8是48的因數(shù)，6是12的因數(shù)，9是9的因數(shù)，剛好放滿。

師：（PPT動態(tài)演示）觀察積木長、寬、高數(shù)據(jù)的特征，看它是大長方體哪條棱的因數(shù)，就改變擺放的位置，找到它的對應(yīng)邊擺放，盡量放滿。

教師創(chuàng)設(shè)開放的情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，發(fā)揮學(xué)生的想象力，讓空間思維“動”起來。面對積木的長、寬、高與收納盒的長、寬、高不對應(yīng)的數(shù)據(jù)，學(xué)生從長方體長、寬、高三維角度想象物體的位置關(guān)系，是“動態(tài)思維”的表現(xiàn)。

（四）整體評估，監(jiān)測學(xué)生的“認(rèn)知層次”

筆者設(shè)計的評估任務(wù)旨在考查學(xué)生在開放、真實的情境下，能否達(dá)到：（1）用語言、算式、畫圖等不同方式表征問題的答案;（2）能明確表達(dá)解決問題的思維與策略;（3）能 “優(yōu)化策略”，并能用可理解的方式直觀表征。

【教學(xué)片段4】

小紅有若干個長、寬、高分別為5厘米，4厘米，3厘米的小長方體積木，超市里有三個尺寸不同的收納盒，價格相同，小紅選擇哪個收納盒更合適？（單位：厘米）

師：什么叫更合適？

生：放的積木的數(shù)量最多，正好放滿。

師：能正好放滿最好，如果不能放滿，我們要考慮誰的數(shù)量最多。那么，哪個收納盒放的積木最多呢？自己研究一下。

（生自主研究，小組交流，全班匯報）

（1）A收納箱。

（2）B收納箱。

因為23不是5的倍數(shù)，所以只能在20×12×6的空間放積木，可以放20×12×6÷（5×4×3）=24（個）。這時還有3×12×6的空間，但只能在3×12×5的空間放積木，可以放3×12×5÷（5×4×3）=3（個）。所以能裝20×12×6÷（5×4×3）+3×12×5÷（5×4×3）=27（個）。

（3）C收納箱。

因為正好放滿，所以直接用“大體積÷小體積=個數(shù)”，即24×10×6÷（5×4×3）=24（個）。

通過評估任務(wù)，教師能了解到學(xué)生的認(rèn)知層次：第一層次是看哪個收納盒正好放滿，于是會快速獲得C收納盒里的個數(shù)。第二層次是看放不滿的A、B收納盒中，通過總個數(shù)=（24÷a）×（12÷b）×（9÷c）的模型，分別獲得A、B收納盒里小長方體積木的個數(shù)。第三層次是學(xué)生發(fā)揮空間想象，探究數(shù)據(jù)間的關(guān)系，有意識地在不同的位置關(guān)系中轉(zhuǎn)換，不斷溝通數(shù)與形之間的關(guān)系，從而“優(yōu)化策略”。這三個認(rèn)知層次反映了學(xué)生不同的理解程度。

整個教學(xué)實踐過程，在評估數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了多次的認(rèn)知沖突與碰撞，使學(xué)生在對長方體中擺放小方塊的實際問題的思考上升了一個層次：從“長、寬、高”分別能放多少塊的角度來理解，用“沿長放幾個×沿寬放幾個×沿高放幾個”構(gòu)建了三維立體表象。

“數(shù)學(xué)理解”需要學(xué)生主動將新信息、新情境與已有的知識進(jìn)行聯(lián)系，教師也要轉(zhuǎn)變教學(xué)策略，多運用數(shù)形結(jié)合思想，有目的地進(jìn)行點撥、引導(dǎo)，讓學(xué)生在更高層級達(dá)到數(shù)學(xué)理解。

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（浙江省杭州市青藍(lán)青華實驗小學(xué)? ?310000）