李輝

【摘要】本文旨在深入剖析上確界定義所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，闡明該思想有利于使得把抽象概念具體化，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)起來(lái)通俗易懂。也就是用反證法思想在定義上確界。

【關(guān)鍵詞】反證法思想;上確界。

1上確界的定義：

設(shè)是中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿(mǎn)足：

對(duì)一切，有，即是的上界;

對(duì)任意的，存在，使得。

在上確界的定義中闡明了兩件事情：第一件就是上確界首先應(yīng)當(dāng)是上界，這個(gè)是大家不難理解的。其次就是上確界是最小的上界。這一點(diǎn)在第二條中給予充分的說(shuō)明，但對(duì)于第二點(diǎn)卻不好理解。其實(shí)在第二點(diǎn)中主要是在論證關(guān)鍵詞“最小”的含義。這里實(shí)質(zhì)上蘊(yùn)含了反證法思想，也就是在定義中用反證法去論述。

也就是假設(shè)（真實(shí)的上確界）并不是最小的上確界。但這里著重強(qiáng)調(diào)論證“最小”的含義。先唱個(gè)反調(diào)不是最?。∈裁唇胁皇亲钚∧?？就是有比還要小的上確界。是誰(shuí)呢？即（反證法假設(shè)的上確界）。就是假設(shè)現(xiàn)在是集合的上確界，并且也表達(dá)出比小一點(diǎn)點(diǎn)（即）的數(shù)的確切含義。

但當(dāng)（這個(gè)假想的上確界）充當(dāng)上確界時(shí)，矛盾產(chǎn)生了！因?yàn)槭紫壬洗_界是集合的上界，（也就是在集合內(nèi)部是老大）竟然在集合中跑出一個(gè)點(diǎn)超過(guò)那個(gè)假想的老大（即）。這就產(chǎn)生了矛盾。這說(shuō)明這個(gè)假想的上確界是不對(duì)的，即不能再讓數(shù)再小一點(diǎn)點(diǎn)，如圖（1）所示。

2從另一個(gè)角度看上確界的定義

如果僅僅看第（ii）條，而沒(méi)有第一句話(huà)能說(shuō)明什么？

應(yīng)該說(shuō)明了，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，這樣的有可能不存在，故;另外再結(jié)合第一句話(huà)看：有，這說(shuō)明是的上界，說(shuō)明了。把（1）式和（2）式結(jié)合起來(lái)看兩者之間是且的關(guān)系，故，如圖（2）所示。

3充說(shuō)其他方面的補(bǔ)明

對(duì)于下確界首先是下界，其次是最大下界，同理也是蘊(yùn)含了反證法思想，分析過(guò)程同上。另外上確界在集合內(nèi)部是老大，但在集合外部確是老幺;而下確界在集合內(nèi)部是老幺，在集合外部是老大。所以把上確界與最大值等同起來(lái)以及把下確界與最小值等同起來(lái)均是指在集合內(nèi)部而言的。

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