摘 要：導(dǎo)數(shù)是鏈接大學(xué)和高中的重要知識板塊，高考中導(dǎo)數(shù)題是區(qū)分考生的分界嶺.在2019年的高考試題中，三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯的知識，提高了解題的困難程度，三角函數(shù)周期性的函數(shù)性質(zhì)，讓解題極值點分類討論越發(fā)困難.本文通過近幾年的高考試題的研究，著重對此類問題的解題策略進行分析，希望能得到一些較好的解題啟發(fā).

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);三角函數(shù);含參;對稱直線;隱零點;不等式

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0038-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：張麗群，中學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、恒成立、存在性含參問題

此類題，是高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中較為常規(guī)的一種.分離參數(shù)后，加入一次導(dǎo)或者二次導(dǎo)的二次函數(shù)分類討論，轉(zhuǎn)化成去求新構(gòu)造函數(shù)最值的問題.類比，這種思路也適合與導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)結(jié)合的含參數(shù)的問題處理.在此類題中，若出現(xiàn)不定型的導(dǎo)函數(shù)，那我們還可以對一些層次較好的同學(xué)傳授一些大學(xué)中對于不定型導(dǎo)函數(shù)的處理方法，例如洛必達法則的應(yīng)用.當(dāng)然，最好進行分類討論，雖然運算較為繁冗.

例如下面這道題目：考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點等問題，和數(shù)形結(jié)合的思想方法，難度較大.

二、導(dǎo)數(shù)中“對稱直線”的妙用

對較復(fù)雜含參的函數(shù)，先分離參數(shù)，構(gòu)造一個新的函數(shù)，若運算量很大的話，那我們就要思考，能不能將問題等價轉(zhuǎn)化，并實施轉(zhuǎn)化分解變形.在考慮零點方面的問題，一般還要轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)來求交點的問題.而且，在導(dǎo)函數(shù)的小題壓軸題當(dāng)中，我們還會遇到，轉(zhuǎn)化后，兩個函數(shù)圖象是關(guān)于某一條直線對稱的，或者是某一條曲線的切線等情況.那這條直線的存在就為我們提供了非常好的幾何法方面的思路.我們試著找到這一條直線，然后將題目轉(zhuǎn)化成兩個差函數(shù)來求解，問題就很快地得到處理.

三、導(dǎo)數(shù)中的“隱零點”

導(dǎo)數(shù)中，最近熱門的話題，非隱零點不可了.圓錐篇章，我們就已經(jīng)接觸“設(shè)而不求”跟韋達定理的完美展示.那在導(dǎo)數(shù)這邊，更是把這種思想發(fā)揮得淋漓盡致.利用導(dǎo)函數(shù)的零點作為解題橋梁，設(shè)出零點，用零點來換元或者消元，從而轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的簡單函數(shù)來進行求解.比如以下這道題目：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求極值和單調(diào)區(qū)間，主要考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求值，同時考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查不等式恒成立問題的證明，屬于難題.

例題3 已知函數(shù)f（x）=eaxsinx（x∈[0，+∞）），a>0.記xn為f（x）的從小到大的第n（n∈N*）個極值點.

證明：若a≥1e2-1，則對一切n∈N*，xn<|f（xn）|恒成立.

思路分析 由sinφ=11+a2，可得對一切n∈N*，xn<|f（xn）|恒成立，即為nπ-φ<11+a2ea（nπ-φ）恒成立a2+1a0），求出導(dǎo)數(shù)，求得最小值，由恒成立思想即可得證.

四、導(dǎo)數(shù)中巧用不等式性質(zhì)

近幾年的高考中，壓軸題時常出現(xiàn)與不等式知識點交匯的題目.但是加入三角函數(shù)不等式的導(dǎo)數(shù)問題，還是比較新穎的，具有一定的解題難度.我們可以利用絕對值不等式、三角不等式等，來進行解題.比如以下這道題目：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)最值的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及換元法，轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強，難度較大.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2（A版）[M].北京：人民教育出版社，2001.

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