陸小莉

摘 要：高中數(shù)學(xué)在高中理科學(xué)科學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要的地位，直接影響其他學(xué)科的學(xué)習(xí)。對(duì)高中生來(lái)說(shuō)，排列組合在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一個(gè)重難點(diǎn)，因?yàn)榕帕薪M合十分考驗(yàn)抽象思維能力和邏輯能力。題目的靈活性很高，解題方法多種多樣，這不僅需要學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握充分還需要學(xué)生有良好的邏輯思維能力，對(duì)問(wèn)題有較高的分析能力。在教學(xué)中數(shù)學(xué)教師需要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，指導(dǎo)學(xué)生更好的掌握和理解排列組合中的各種方法，鞏固的過(guò)程中對(duì)題目進(jìn)行變型提高學(xué)生的應(yīng)變能力，從而提高學(xué)生的成績(jī)。

關(guān)鍵詞：排列組合;高中數(shù)學(xué);效率;情境;技巧;練習(xí)

數(shù)學(xué)中的排列組合問(wèn)題和我們的生活息息相關(guān)，而且排列組合要求學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力。題目類型千變?nèi)f化，靈活性很大，學(xué)生不容易掌握這部分知識(shí)點(diǎn)，自信心受到打擊，學(xué)習(xí)興趣也隨著下降。因此教師需要將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從生活中的事情入手，讓同學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)排列組合產(chǎn)生興趣，然后總結(jié)做題技巧，教會(huì)學(xué)生如何化繁為簡(jiǎn)，提高知識(shí)水平，最后是開展針對(duì)性練習(xí)，在基礎(chǔ)問(wèn)題上加以變型來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力。本文將從這三個(gè)方面進(jìn)行具體闡述。

一、設(shè)置問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

提及數(shù)學(xué)很多學(xué)生會(huì)感到枯燥，甚至談其色變，其實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)并非乏味，只是需要教師用心設(shè)計(jì)教學(xué)。排列組合和我們的生活密切相關(guān)，應(yīng)用于生活中很多方面。比如彩票中獎(jiǎng)概率問(wèn)題、密碼安全問(wèn)題、城市綠化建設(shè)過(guò)程中植被景觀的搭配問(wèn)題等等。我們學(xué)習(xí)排列組合也是為我們大學(xué)后概率論的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，排列組合問(wèn)題廣泛應(yīng)用于金融、計(jì)算機(jī)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域，可以說(shuō)排列組合的學(xué)習(xí)十分重要。

排列組合問(wèn)題的學(xué)習(xí)復(fù)雜且枯燥，同學(xué)們?nèi)菀滓驗(yàn)殡y度大而喪失學(xué)習(xí)興趣。教師應(yīng)該結(jié)合一些趣味性話題，在設(shè)置問(wèn)題情境中巧妙引入排列組合問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如教師可以通過(guò)彩票問(wèn)題切入，吸引學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合。比如刮刮樂(lè)中有一種是通過(guò)看面值來(lái)判定是否中獎(jiǎng)，那我買一張刮刮樂(lè)中獎(jiǎng)的概率有多少。又比如學(xué)生對(duì)計(jì)算機(jī)感興趣，教師也可以列舉編程小問(wèn)題吸引學(xué)生。

筆者在實(shí)踐教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，通過(guò)生活中的問(wèn)題來(lái)引入排列組合問(wèn)題，可以增加排列組合學(xué)習(xí)的趣味性，學(xué)生的好奇心和探索欲望有利于更好地提高課堂效率。

二、總結(jié)做題技巧，學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn)

排列組合問(wèn)題就是由排列和組合兩部分構(gòu)成。解題方法很多，需要學(xué)生根據(jù)題目進(jìn)行靈活選用，將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，學(xué)會(huì)剝絲抽繭，拆分問(wèn)題的細(xì)節(jié)，然后一步一步解決問(wèn)題，最后達(dá)到快速高效解決問(wèn)題的目的。在日常教學(xué)中教師應(yīng)該給學(xué)生總結(jié)一些常規(guī)的做題技巧，提高學(xué)生的思維能力。下面筆者介紹幾種常用的排列組合解題技巧。

1.捆綁法

捆綁法在排列組合問(wèn)題中是比較常用的一種方法，主要應(yīng)用于相鄰問(wèn)題的解決。我們先把規(guī)定的相鄰元素捆綁在一起參與排列，當(dāng)需要考慮元素的相對(duì)順序時(shí)，再進(jìn)行松綁。捆綁法常常和插空法結(jié)合起來(lái)使用。題目中常見(jiàn)的關(guān)鍵詞語(yǔ)有相鄰站位、相連、連續(xù)等。當(dāng)學(xué)生在題干中看到這些詞語(yǔ)的時(shí)候，要立馬想到用捆綁法。下面舉個(gè)例子詳細(xì)說(shuō)明一下。

書架上有8本書，6本英文書和2本數(shù)學(xué)書，將書排在一列，2本數(shù)學(xué)書排在一起的情況有多少種？首先抓住題目中的關(guān)鍵詞“相鄰”，兩本數(shù)學(xué)書要相鄰放置，腦海中浮現(xiàn)捆綁法，將2本數(shù)學(xué)書看成一個(gè)整體捆綁在一起，第一步是對(duì)沒(méi)有要求的元素進(jìn)行排序，也就是6本英語(yǔ)書隨意排序，有A（6，6）種方法，然然后將作為一個(gè)整體的兩本數(shù)學(xué)書插空到6本英語(yǔ)書的7個(gè)空中，有C（7，1）中方法，接下來(lái)是將數(shù)學(xué)書進(jìn)行解綁，兩本數(shù)學(xué)書不同，所以排列也不同，有A（2，2）種方法，至此，整件事情完成。這是一個(gè)分步做的事情，所以是應(yīng)用乘法原理，結(jié)果就是總共有A（6，6）×C（7，1）×A（2，2）=720×7×2=10080種方法。

2.插空法

插空法常用于解決“不相鄰元素”的問(wèn)題，先把題目中沒(méi)有要求的元素進(jìn)行排序，然后按照要求將不相鄰的元素插空到排好的元素的間隙或兩端的位置。運(yùn)用插空法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意不要遺忘“兩端空位”。解題過(guò)程是“先排列，再插空”。值得注意的是捆綁法雖然和插空法經(jīng)常一起使用，但是也存在差別，捆綁法主要解決相鄰問(wèn)題，而插空法對(duì)于不相鄰的問(wèn)題非常方便。學(xué)生需要仔細(xì)分析題目，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行分析。

例如某道路旁有10盞路燈，為節(jié)約用電，準(zhǔn)備關(guān)掉其中3盞。已知兩端的路燈不能關(guān)，并且關(guān)掉的燈不能相鄰，則有多少種不同的關(guān)燈方法？我們首先要讀懂題干邏輯，自己進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換，這道題目的意思就是說(shuō)10盞燈中要選擇關(guān)掉3盞，這3盞燈的位置要保證不相鄰且不在兩端，所以要排除使用捆綁法，轉(zhuǎn)而考慮插空法，并且3盞燈是插空在不同的位置。所以就是我們要將3盞燈插空插到7盞亮的燈中間，而且插空位置不能在兩端空位，那么就剩下6個(gè)空位來(lái)用來(lái)插空補(bǔ)充關(guān)掉的3盞燈，即有C（6，3）=20種方法。

3.平均分組除法

在排列組合中有很多都涉及到平均分配的問(wèn)題，學(xué)生需要掌握好這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，避免在解決問(wèn)題中重復(fù)計(jì)算?？偨Y(jié)平均分組除法問(wèn)題有利于幫助同學(xué)在遇到類似問(wèn)題的時(shí)候降低解題難度、提高解題效率。

整體平均分組問(wèn)題，比如說(shuō)將6本書平均分配成三份。我們可以簡(jiǎn)單的看出這個(gè)問(wèn)題在分配的時(shí)候是存在重復(fù)問(wèn)題的，6本書我先隨意抽出兩本書放在一個(gè)盒子里，再抽出兩本書放在一個(gè)盒子里，剩下的兩本書放在第三個(gè)盒子里，那么就是有C（6，2）×C（4，2）×C（2，2）種方法，但是我們是平均分成三份，就是說(shuō)這三個(gè)盒子之間是沒(méi)有差異的，我將第一份書放在第一個(gè)盒子里和將第一份書放在第二個(gè)盒子里是一個(gè)效果，那么我前面的方法中就有重復(fù)過(guò)程，所以我們還需要除以這個(gè)重復(fù)算法，即A（3，3）種方法，正確結(jié)果就是有種分法。這就是平均分法中的均分無(wú)分配對(duì)象問(wèn)題。平均分后的組因?yàn)橹g沒(méi)有差別，不管它們的順序如何都看成是一種情況。所以分組后要除以即m！，其中m表示組數(shù)。

分組問(wèn)題是一個(gè)很大問(wèn)題，如果上題中是將這6本書分給甲乙丙三個(gè)人，那么就相當(dāng)于是放進(jìn)三個(gè)不同的盒子里，將第一份書分給甲和將第一份書分給乙是有區(qū)別的，也就不存在重復(fù)算法。這些差別都需要學(xué)生在題目中感受并加以歸納總結(jié)。

三、開展針對(duì)性練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)變能力

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)因其學(xué)科特點(diǎn)，離不開練習(xí)環(huán)節(jié)。在講完相關(guān)解題技巧后，需要進(jìn)行大量針對(duì)性的問(wèn)題，進(jìn)行知識(shí)的鞏固和查漏補(bǔ)缺，讓同學(xué)在自己解決習(xí)題的過(guò)程中進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)幾種排列組合中的常用方法，同時(shí)也提高學(xué)生獨(dú)立分析題目的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力。比如插空法和捆綁法在有些習(xí)題中容易搞混，學(xué)生在沒(méi)有注意問(wèn)題細(xì)節(jié)的情況下錯(cuò)誤的使用方法最終得到錯(cuò)誤的答案。在前面的插空法當(dāng)中，如果將題目進(jìn)行變型，關(guān)掉的3盞燈的位置可以相鄰而且可以在兩端又該怎么解決，這就需要同學(xué)們熟練地掌握捆綁法和插空法，我們可以分類討論：3盞燈相鄰，2盞燈相鄰、剩下1盞燈不相鄰，3盞燈都不相鄰。然后分別算出這三種情況并累加?；蛘呶覀冞€可以從另一個(gè)角度靈活地看待這個(gè)問(wèn)題，我們將3盞要關(guān)掉的燈看做是沒(méi)有要求的元素，將7盞不關(guān)掉的燈中的每一盞燈都隨意插空到3盞燈的4個(gè)空位中，每盞燈都有4個(gè)空位選擇。

總結(jié)：排列組合問(wèn)題一直是課堂教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，解題方法很多，需要同學(xué)們對(duì)幾種常見(jiàn)方法牢牢掌握，然后做題的時(shí)候根據(jù)題意，選擇最適合自己的解決方法。當(dāng)然，在教學(xué)中需要數(shù)學(xué)教師不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，在設(shè)置問(wèn)題情境中可以用生活中常見(jiàn)的例子來(lái)提高同學(xué)對(duì)排列組合問(wèn)題的興趣，講解完相關(guān)解題技巧后還應(yīng)該注意開發(fā)同學(xué)的思維能力，對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活應(yīng)變。在注重知識(shí)傳授的同時(shí)也應(yīng)該注重因材施教，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全面發(fā)展。

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