摘? 要：2019年中考廣東卷第24題集幾何證明與幾何計算于一體，源于教材、梯度合理、知識綜合、表述簡潔，有效考查了學生的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，對一線教師的課堂教學具有很好的導向作用.

關鍵詞：源于教材;幾何直觀;核心素養(yǎng)

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2019年廣東卷）如圖1，在[△ABC]中，[AB=AC，] [⊙O]是[△ABC]的外接圓，過點C作[∠BCD=][∠ACB]交[⊙O]于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使[CF=AC，] 連接AF.

（1）求證：[ED=EC;]

（2）求證：AF是[⊙O]的切線;

（3）如圖2，若點G是[△ACD]的內心，[BC ? BE=25，]求BG的長.

二、試題特色

1. 巧妙對接地氣，源于教材改編

此題考查了等腰三角形的判定、平行四邊形的判定與性質、圓周角定理、圓的切線的判定和性質等相關知識點. 解答的關鍵是正確添加輔助線，完成幾何圖形的構建.

解決第（2）小題，需連接OA，OB，OC，構造出箏形，由箏形的性質（一條對角線平分對角，并且垂直平分另一條對角線）可知[BC⊥OA.] 而箏形源自人教版《義務教育教科書 · 數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）八年級上冊第十二章“全等三角形”數(shù)學活動中的活動2“用全等三角形研究箏形”.

第（3）小題源自教材九年級上冊第二十四章“圓”復習題24中的第13題：如圖3，點E是[△ABC]的內心，AE的延長線和[△ABC]的外接圓相交于點D，求證：[DE=DB.] [A][B][C][D][E][圖3]

此題的第（3）小題是將教材習題中的幾何證明改成了幾何計算，在解決問題的過程中用到的知識和方法大致相同，但需要學生發(fā)現(xiàn)[BA=BG]并證明，使得第（3）小題的思維含量進一步提升. 這種“源于教材，又高于教材”的命題原則，不僅體現(xiàn)了命題者對教材的尊重，也讓學生在緊張的考試中，因見到如此“接地氣”的試題，而使緊張的情緒有所緩解，并能引領教師在復習教學中回歸教材，認真研究和挖掘教材中例題和習題的深層次價值，啟示學生在日常的學習中以教材為本、重視教材、吃透教材，深刻領悟教材中例題和習題所蘊涵的思想與價值.

2. 指向核心素養(yǎng)，思維拾級而上

題目表述簡潔，三道小題層次分明、梯度明顯，思維水平拾級而上.

第（1）小題起點較低，立意基礎，學生容易解決，解答思路自然. 主要考查圓周角定理、等角對等邊等基礎知識，以及等量轉化思想. 具體證明過程如下.

證明：因為[AB=AC，]

所以[AB=AC.]

所以[∠ACB=∠D.]

又因為[∠BCD=∠ACB，]

所以[∠BCD=∠D.]

所以[ED=EC.]

第（2）小題難度適度提升. 通過多條輔助線的添加，完成箏形的構建. 此題考查圓的切線判定、平行四邊形的判定等核心知識，體現(xiàn)能力立意.

證明一條直線是圓的切線，通常有兩種方法：（1）作垂線、證半徑;（2）連半徑、證垂直. 其中，證垂直較常見的方法是平行線法（即證明[AF∥BC]和[OA⊥BC]）.

學生可借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)四邊形[ABCF]為平行四邊形或[AF∥BC，] 找到正確的思考路徑，逐步推導. 證明過程如下.

證明：因為[∠BAD=∠BCD，∠BCD=∠D，]

所以[∠BAD=][∠D.]

所以[AB∥DF.]

又因為[CF=AC，AC=AB，]

所以[AB=CF.]

所以四邊形[ABCF]為平行四邊形.

所以[AF∥BC.]

如圖4，連接[OA，OB，OC，] 得[OB=OC.]

因為[AB=AC，]

所以OA是線段BC的垂直平分線.

所以[OA⊥BC.] 所以[AF⊥OA.]

因為OA為[⊙O]的半徑，

所以AF是[⊙O]的切線.

第（3）小題屬于幾何計算題. 顯然，當幾何證明題具備了條件和結論，可以運用“兩頭湊”的思想方法來指導證明思路，而幾何計算題只給出條件，讓學生去推理計算，使得題目的思維含量進一步提升，突出了對數(shù)感、符號意識、幾何直觀、邏輯推理、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識等數(shù)學素養(yǎng)的考查.

首先，緣于數(shù)感，由[BC ? BE=25，] 猜想某條邊長的平方為25.

其次，基于數(shù)學建模，挖掘出[△ABE]和[△CBA]符合共邊共角的“母子型”相似模型. 因為[∠BAE=∠BCA，][∠ABE=][∠CBA，] 所以[△ABE∽△CBA.] 所以[BC ? BE=][AB2.] 易得[AB2=25]. 所以[AB=5.]

再次，緣于直觀，猜想[BG=BA，] 再細心求證. 如圖5，連接AG，因為點G是[△ACD]的內心，所以[∠EAG=∠CAG.] 所以[∠BAD+∠EAG=∠CAG+∠BCA，] 即[∠BAG=∠BGA.] 所以[BG=BA=5.]

符號意識、幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)一直貫穿其中. 解題時，先是利用合情推理、幾何直觀，逐步推導梳理有用的結論，找到正確的思考路徑，再用演繹推理來完成解答過程. 在這個過程中，使學生積累了解決問題的基本活動經驗，檢驗了學生是否有依據(jù)、有條理、有合乎邏輯的思維，不僅培養(yǎng)了學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識，也落實了對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.

3. 重視數(shù)學概念，關注數(shù)學理解

很多學生不能準確地對第（3）小題進行解答，其中就有對數(shù)學概念理解不到位的原因，甚至有很多學生分不清三角形的內心和外心. 關于圓的概念，教材指出：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合. 學生在讀題和審題時如果能夠深刻理解圓的概念的本質屬性，就可以想到[OB=OC，] 再進一步聯(lián)想到軸對稱的性質，構建箏形，就很容易發(fā)現(xiàn)[OA⊥BC.] 第（3）小題涉及了圓、相似三角形、三角形內心等重要數(shù)學概念，促使學生在審題和解題過程中，不斷理解和完善相關概念，不斷整合和系統(tǒng)化數(shù)學知識體系，從而正確而深入地理解數(shù)學概念. 因此，關于數(shù)學概念的教學尤為重要. 在日常教學中，教師只有熟悉教材、回歸教材、講透概念，才能以不變應萬變，幫助學生打下堅實的知識基礎，進而輕松應對各種知識遷移性題目.

三、教學導向

1. 回歸教材，把握價值取向

數(shù)學學科教育的價值主要體現(xiàn)在數(shù)學的核心知識和核心知識中蘊涵的數(shù)學思想和方法上.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）是教師把握課堂教學價值的依據(jù). 解決此題的過程中用到了平行四邊形、三角形、圓、弧、圓周角、內心、切線等相關概念，圓周角定理、圓的軸對稱性質、切線的判定、平行線的判定與性質等，從《標準》的要求來看，以上內容都屬于核心知識.

第（2）小題對于[OA⊥AF]的證明有另一種參考答案為：如圖6，連接OA，因為[AB=AC，] 所以[AB=AC.] 因為OA為半徑，所以[OA⊥BC.] 再結合[AF∥BC，] 所以[OA⊥AF.] 并介紹說這種方法運用的是垂徑定理及其推論.

關于垂徑定理及其推論，教材是這樣處理的. 先給出垂徑定理（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。俳o出推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧）. 顯然，這并不是上述證明的依據(jù).

垂徑定理反映的是圓的軸對稱性質，在證明圓是軸對稱圖形時順勢獲得了垂徑定理. 至于圓為什么是軸對稱圖形？為什么任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸？教學時不能把“折一折”就當作證明. 教師可以采用“在圓上任取一點，證明它關于直徑所在的直線（對稱軸）的對稱點也在圓上”的方法進行證明（詳見教材九年級上冊“24.1.2 垂直于弦的直徑”）. 教材中介紹的方法是證明一個圖形是軸對稱圖形的常用方法，需要讓學生掌握.

是什么原因讓一部分教師錯誤地認為，這里采用的依據(jù)是垂徑定理及其推論呢？原來，可以將垂徑定理及其推論概括為：若一條直線，① 過圓心;② 垂直于弦;③ 平分弦;④ 平分弦所對的優(yōu)弧;⑤ 平分弦所對的劣弧. 滿足其中任意的兩項，則必滿足其余三項. 垂徑定理即“① + ②[→]③④⑤”;推論即“① + ③[→]②④⑤”. 經這樣處理，“① + ⑤[→] ②③④”就也是其中的一條推論. 然而，這些性質被《標準》和教材刪減，其背后的原因值得細思. 在日常教學中，教師應引導學生體會和歸納教材例題和習題中的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生有效地利用數(shù)學思想方法解決相關問題的能力. 通過引導學生深入探究，享受數(shù)學之美，但是要避免出現(xiàn)解題方法和解題技巧的機械運用，以及技能化、假過程的現(xiàn)象，更不能出現(xiàn)“脫離教材搞教學”的現(xiàn)象. 我們有充分的理由相信，基于《標準》的評價所倡導的對學生情感態(tài)度、方法能力、高階思維等方面的培養(yǎng)將會讓學生受益終身.

由此可見，“教什么”反映了教師對教學內容的理解. 只有先確定教學內容的教學價值，才能研究如何教學. 因此，在日常教學中，教師應基于《標準》、回歸教材，把握好教材的編寫意圖和教學內容的教育價值，這樣才能在減輕學生過重負擔的基礎上提升課堂效率.

2. 回歸理性，落實核心素養(yǎng)

《標準》指出，教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，引導學生進行自主探索與合作交流，并關注對學生理性精神的培養(yǎng). 克萊因把數(shù)學看成是一種精神，一種理性精神. 齊民友說，每個論點都必須有根據(jù)，都必須持之以理. 因此，教師在講授數(shù)學定理、解決數(shù)學問題時，既要讓學生知道直觀感知、合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)、探索中的作用，也要讓學生感悟形式化演繹證明的力量，有意識地發(fā)展學生的理性思維能力，按照問題發(fā)展的一般規(guī)律來尋求解題思路，生成解題通法. 從感性認識回歸到理性認識，不但能讓學生達到從“知道正確的層面”到“崇尚理性需要證明”思想上的飛躍，還能培養(yǎng)學生的理性思維習慣，提升學生的理性思維能力，進而促使學生逐步養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度.

參考文獻：

[1]齊民友. 數(shù)學與文化[M]. 長沙：湖南教育出版社，1991.

收稿日期：2020-07-18

作者簡介：黃雙華（1983— ），男，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究.