摘 要：數(shù)列是高考試題中最?？嫉闹R點，本文通過列舉具體實例，深度剖析了數(shù)列的各個考點，并對各考點的解題方法進行了深度研究.

關鍵詞：等差數(shù)列;命題趨勢;科學備考;數(shù)學文化

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0043-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：余榮華（1981.1-），男，江西省奉新人，學士，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

數(shù)列的的考查是高考的必考點，也是熱點內(nèi)容，考查類型涵蓋選擇、填空及解答題.在復習備考時應熟練掌握并運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本公式和重要性質(zhì).只有這樣才能做到知彼知己，百戰(zhàn)百勝.本文主要就數(shù)列問題展開討論，通過例題展示，對各類考題破題方法進行總結(jié)，望能夠給讀者帶來幫助.

一、數(shù)列的基本運算

例1 （2019重慶期中）設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a3+a7=10，S7=14，則數(shù)列an的公差為（? ）.

A.1??? B.2??? C.3??? D.4

解析 設數(shù)列an的公差為d，因為a3+a7=10，S7=14，所以2a1+8d=10，7a1+7×62d=14，聯(lián)立解得a1=-7，d=3.，故選C.

點評 等差數(shù)列的基本運算方法

（1）等差數(shù)列的某一項可以根據(jù)首項a1和公差d來確定，因此等差數(shù)列的基本量問題可以圍繞著首項和公差來展開.

（2）對于等差數(shù)列問題，一般題目中會給出兩個以上條件，則可以利用方程思想，建立方程進行破解.

二、數(shù)列的性質(zhì)

例2 （2019·四川廣元模擬）已知等比數(shù)列an中，a3=2，a4a6=16，則a9-a11a5-a7=（? ）.

A.2?? B.4?? C.8?? D.16

解析 設等比數(shù)列an的公比為q，因為a3=2，a4a6=16，所以a1q2=2，a21q8=16，解得q4=4，則a9-a11a5-a7=a9（1-q2）a5（1-q2）=q4=4.

點評 對于數(shù)列的性質(zhì)問題，要做到熟記數(shù)列中相關的通項公式和前n項和公式，熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，另外還需要注意題目中的隱含條件，如“遞增數(shù)列”、“各項均為正”.

三、數(shù)列的證明

例3 （2019廣西省南寧市第二次適應性考試）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足an+1=Sn+n+1（n=1，2，3，…），a1=1.

（1）求證：{an+1}為等比數(shù)列;

（2）數(shù)列an中是否存在不同的三項，適當排列順序后構(gòu)成一個等差數(shù)列？并說明理由.

解析 （1）證明：

因為an+1=Sn+n+1（n=1，2，3，…），①

所以an=Sn-1+n（n≥2）.②

因為an=Sn-Sn-1（n≥2），所以①-②可得an+1-an=an+1，即an+1=2an+1.湊成an+1+1=2（an+1），

化為an+1+1an+1=2，故{an+1}為等比數(shù)列.

（2）不存在.

理由如下：由（2）得an=2n-1.

假設能得到一個等差數(shù)列，不妨設滿足條件的3項為ar，as，at，則2·（2s-1）=2r-1+2t-1，即2s+1=2r+2t.所以2r-s-1+2t-s-1=1，因為an是遞增數(shù)列，則r-s-1≥0，t-s-1≥0中必有一個成立.則2r-s-1+2t-s-1>1與2r-s-1+2t-s-1=1矛盾，所以數(shù)列an中不存在不同的三項，適當排列順序后構(gòu)成一個等差數(shù)列.

點評 等比數(shù)列的判定與證明

①定義法：

驗證：anan-1=q（n≥2且n∈N*）或an+1an=q（n∈N*）（q為非零常數(shù)）.

②中項法：

驗證：a2n=an+1an-1（an≠0）（n≥2且n∈N*）或a2n+1=an·an+2（n∈N*）.

③通項公式法：

驗證：an=abn（a≠0，b≠0）.

④前n項和公式法：

驗證：Sn=a·bn-a（a≠0，b≠0，b≠1）.

四、數(shù)列的求和問題

例4 （2019廣東一模）已知公差不為零的等差數(shù)列an滿足a1=5且a3，a6，a11成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列an的通項公式;

（2）設bn=an·3n-1，求數(shù)列bn的前n項和Sn.

解析 （1）設等差數(shù)列an的公差為d，因為a3，a6，a11成等比數(shù)列，

所以a26=a3a11，即（a1+5d）2=（a1+2d）（a1+10d）.化簡得：5d-2a1=0.又a1=5，所以d=2，從而an=2n+3.

（2）因為bn=（2n+3）·3n-1.所以Sn=5×30+7×31+9×32+…+（2n+1）·3n-2+（2n+3）·3n-1.所以3Sn=5×31+7×32+9×33+…+（2n+1）·3n-1+（2n+3）·3n以上兩個等式相減，得

-2Sn=5+2×（31+32+…+3n-1）-（2n+3）·3n=5+2×3×（3n-1-1）2-（2n+3）·3n.

化簡得：Sn=（n+1）3n-1.

點評 用錯位相減法求和的3個注意事項

（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形;

（2）在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式;

（3）在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

五、數(shù)列的綜合問題

例5 （2019·江西宜春期末）已知函數(shù)f（x）=x+12，x≤12，2x-1，12<x<1，x-1，x≥1，若數(shù)列an滿足a1=73，an+1=f（an）（n∈N*），則a2019=（? ）.

A.73?? B.43?? C.56&nbsp;? D.13

解析 因為函數(shù)f（x）=x+12，x≤12，2x-1，12<x<1，x-1，x≥1，數(shù)列an滿足a1=73，an+1=f（an），則a2=a1-1=43，a3=a2-1=13，a4=a3+12=56，a5=2a4-1=23，a6=2a5-1=13，a7=a6+12=56，則數(shù)列an滿足an+3=an（n≥3），即數(shù)列an從第三項開始，組成周期為3的數(shù)列，則a2019=a3+2016=a3=13.

點評 數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)而不是某個區(qū)間上的連續(xù)實數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點.若題中已知函數(shù)條件解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題;若已知數(shù)列條件解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的有關公式與求和技巧等.

六、數(shù)列中的數(shù)學文化

例6 朱世杰是中國歷史上偉大的數(shù)學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為（? ）.

A.9?? B.16?? C.18?? D.20

解析 根據(jù)題意設每天派出的人數(shù)組成數(shù)列an，分析可得數(shù)列an是首項a1=64，公差d=7的等差數(shù)列，設1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為n，則64n+n（n-1）2×7=1864，即n2+15n-496=0，由n為正整數(shù)，解得n=16，故選B.

點評 對于等差數(shù)列中的數(shù)學文化問題，首先要能夠?qū)㈩}目中所給的數(shù)學文化問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，再根據(jù)等差數(shù)列知識進行求解.另外，該類試題除直接給出古代數(shù)學文化問題進行命題的形式外，有時還會以古代數(shù)學思想為載體進行命題（如：以格點問題為背景）或根據(jù)世界名題進行命題（如：哥德巴赫猜想，角谷猜想，四色定理）.

參考文獻：

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[2]曹輝.高中數(shù)學數(shù)列試題的解題方法與技巧研究[J].數(shù)理化解題研究，2015（19）：2.

[3]鮑道斌.高中數(shù)學數(shù)列題的解題技巧探究[J].數(shù)學學習與研究，2019（08）：105.

[責任編輯：李 璟]