姬梁飛

摘? ?要? ?采用概念分析和比較研究的方法，解構函數概念的生成方式，剖析函數思想的內涵，提煉函數思想的個性意蘊，探索函數應用的通法。從而揭示了函數概念結構特征，闡釋了概念認知的動態(tài)過程，明晰了函數思想生成與應用形態(tài)，重構了概念思想性與應用性的科學價值。

關鍵詞? ?函數概念? 函數思想? 數學方法

數學思想是生成數學素養(yǎng)的重要途徑，是人們對數學知識經驗的體驗、反思、感悟及升華的思維成果，蘊含著深刻的智力價值、方法價值以及應用價值。函數思想是基本數學思想的重要組成部分，是數學思想中具有支架性、基礎性的思想方法。函數最早見于18世紀德國數學家萊布尼茨的著作中，20世紀初由西方率先將其引進中學數學課程。德國數學家F·克萊因曾多次強調函數在中學數學教學的重要性，主張中學數學應以函數為中心。他認為函數思想與空間觀察是數學能力的基礎，應以現代數學觀點改造、擴充傳統(tǒng)數學內容。在《高觀點下的初等數學》中，他提到了函數與微積分教學，主張把函數概念放在一個突出地位[1]。美國數學家M·克萊因認為函數是研究運動對象中的基本概念，它在長達兩百年內幾乎占據了所有數學工作的中心位置。他在《古今數學思想》一書中寫道，函數概念的采用，產生了微積分，這是全部數學中繼歐氏幾何后最大的創(chuàng)造[2]。在國內，有學者甚至提出“以函數觀念為數學教育的核心”的理念[3]。在《普通高中數學課程標準（2017版）》中，函數作為課程結構的四條主線之一，貫穿于整個高中數學的學習過程，作為現代數學中最基本的一個概念[4]。函數不僅教學地位突出，而且應用廣泛，它跟隨機變量、算法、方程、不等式、線性規(guī)劃等知識都有緊密聯系，它又作為微積分的研究對象，為學生后續(xù)學習高等數學打下基礎。函數思想內涵深刻豐富，思維價值深遠，應用領域廣泛，是人類解決問題的一種重要思想方法。因此，探索函數概念內涵之精義，闡釋思想之微妙，提煉個性之意蘊，明晰方法之特性，踐行應用之路徑，促進學生素質之養(yǎng)成。

一、概念結構：函數思想的認知基礎

從學科內容上看，數學主要由數學事實、數學概念、數學原理、數學結構等四部分組成。數學概念作為數學學科的基本元素，每個概念都是通過精確的語言予以定義，且形式規(guī)范嚴格。函數概念也不例外，它是在集合、對應、映射等概念基礎上的一種精確描述。

首先，現代函數概念的建立離不開三個構成要素。集合、變量、對應關系是函數概念結構中的三大元素，其中變量、集合論是函數的邏輯起點，對應關系或映射是函數的內核，符號語言、表達式是函數的數學化形式。函數正是建立在變量、映射、集合論的基礎上，采用現代數學語言來刻畫函數概念的內部邏輯關系和外部表達形式（見圖1）。

其次，函數概念內核是其對應關系（映射法則）。函數是一種特殊的映射。關于映射法則f：A→B需要特別說明：①“對應關系”強調數集B中對應元素的唯一性，可以是“一對一”“二對一”“三對一”，甚至是“全對一”，但沒有“一對二”的情況。②關于映射的理解。映射包含了雙射、單射非滿射、滿射非單射、非滿非單射等四種情形。函數是在兩個集合均是數集的前提下，數集A中可以存在多個元素在數集B中有相同的象，但數集B中不存在多個元素在A中有相同的原象，即多元對一元，不能一元對多元。由于數集A中任意元素在數集B中都有象且唯一，所以映射中集合A都有象，數集B有可能存在剩余元素在A中沒有原象，如此，函數值域是數集B的子集，而不是數集B。

最后，函數概念的多種定義方式?，F代數學概念強調用聯系和結構的觀點看問題，突出概念的本質特征。早期的函數概念被看成是變量和數學表達式的組合，或含有變量和常數的方程，沒有突出函數的本質特征?，F代數學定義函數概念的方式主要有“變量說”“映射說”“關系說”等三種方式[5]。呂世虎、王尚志等人更是認為映射說、變量說以及關系說是認識函數的三個維度[6]?！白兞空f”重形象直觀，“映射說”重變量間的依賴關系，“關系說”重數學化形式。它們之間既相互聯系，又有本質的區(qū)別，既是一種繼承，更是一種飛躍。例如，映射由最初的實數之間的對應，過渡到集合之間的對應，再飛躍到變量的對應，體現了數學抽象關系的螺旋式發(fā)展。

二、圖式理解：函數思想的數學表征

從數學思維角度看，數學學習包含了數學語言、數學思想、數學觀念等多個層面。思想方法的認知活動涉及了概念架構、組塊、模型、同化、圖式等心理組織系統(tǒng)，良好的概念圖式有助于思想方法的理解、應用及操作。數學對象在心理上的表示形態(tài)跟其概念性質、概念內部結構以及外部特征等要素密切相關（見圖2）。

布魯納將數學對象的表征方式分為符號性表征、圖象性表征、活動性表征等三種。符號性表征是抽象化的記號、代碼、字母、數字等，脫離了原事物的具體特征;圖象性表征利用數表、圖形、格式化程序、象征性幾何線條表示某些數學操作或運算;活動性表征是通過組織適當的活動，展現數學對象的發(fā)展順序或軌跡。按照信息加工形式，認知結構的形態(tài)主要有線性形態(tài)、樹形形態(tài)、網絡形態(tài)等三種形式，對函數概念及思想的信息處理則屬于網狀結構（見圖3）。

理解概念圖式、概念表象的操作程序，對于學習函數來說有著重要功效。深化函數概念的理解，需要建構新舊知識間的聯系和相關的基礎圖式。在基礎圖式中，一個字母符號、一個變化模型、一條曲線都會對認知的架構，對符號意義的理解，對概念的形成產生必不可少的依托作用。

函數思想的數學表征反映了函數的基本性質、外部特征以及應用功能。函數具有奇偶性、周期性、單調性、對稱性、凸凹性、有界性等基本性質。這些思想性質既是討論最值、變化規(guī)律、圖象直觀以及模型應用的重要依據，也是刻畫函數內涵、描述函數特性、應用函數模型的數學表征。函數思想的數學表征在解決許多數學問題中具有重要功用。既可以研究某類特殊函數（比如三角函數的周期性，對稱函數的奇偶性），也可以研究一般函數（比如單調性是函數最根本性質，幾乎適用一切函數）。

三、比較辨析：函數思想的個性意蘊

函數概念是認識函數性質、函數模型、函數思想的基礎和起點。函數思想又是對函數概念、函數性質、函數模型的凝結和升華。函數思想就是應用函數概念、函數性質、函數模型等方式方法去發(fā)現、分析、轉化、解決現實問題的數學方法。

從哲學視角看，函數思想是刻畫事物運動、變化發(fā)展的辯證思維工具，用定量方法研究事物之間的數量關系。比如，隨時間變化，摩天輪上的某處距離地面的高度變化，臭氧層空洞面積隨時代變遷的變化規(guī)律等。因此，函數是反映一種聯系與變化的哲學觀，描述定量與變量、靜止與運動之間的關系。從數學角度看，函數思想是反映一種思維方法的數學觀，一種應用定量和變化觀點思考問題的思維意識。在函數的萌芽階段，它僅建立在簡單的運算法則、表格方法、邏輯算法、對應規(guī)則等算術結構上，作為一種“算式”的形態(tài)。陳惠勇曾分析了算法思想和函數思想的內在關聯[7]。在函數創(chuàng)立的原始階段，它的雛形是“表達式”，此時仍是靜態(tài)形式。字母代數思想使數學研究對象從原來的常量空間逐漸過渡到變量空間，它是數學從靜止走向運動、特殊走向一般、算術走向代數的一種本質飛躍。除此之外，方程思想、符號思想、映射思想也為函數思想的創(chuàng)建奠定了夯實的基礎。在函數思想的成熟階段，它的學術形態(tài)在本質上是一種對應關系，這也突出了函數的本質特征，此時函數是一種動態(tài)、變化的過程。在函數思想的完備階段，由于現代集合論、序偶理論的發(fā)展，使得函數思想趨于完善，同構思想更是將函數的代數形式與幾何形式緊密結合起來，函數形態(tài)由解析式、圖象等多種表達形式走向融合與統(tǒng)一。函數思想的形成扎根于自身概念結構之中，并吸納了算術、代數、數理邏輯、概率統(tǒng)計等結構中的思想精華，彰顯了獨特的思想個性特征（見表1）。

四、應用分析：思想火花的美麗綻放

從函數概念的生成到函數思想的解析，既是為了明晰函數概念內涵，活躍訓練思維，開闊數學視野，更是出于解決實際問題的需要。函數思想應用涉及了幾何學（最值、曲線方程等）、代數學（方程近似解、方程根的判斷等）、運籌學（線性規(guī)劃與目標函數等）、概率論（概率密度函數、似然函數等）、數理統(tǒng)計學（回歸分析、用散點圖確定可能的函數形式）以及數學建模與探究活動等諸多領域。例如，在數學學科內部，利用函數思想證明某些算法的全局收斂性[8]。除此之外，函數思想也是解決物理、化學、醫(yī)學、經濟學等領域中問題的重要工具。例如，運用函數模型分解脈搏血流流量的波形[9]。應用函數思想解決實際問題的主要方法有建構函數模型和構造函數情境。建模和構造函數的主要工具是化歸，將實際問題轉化為函數問題，建構常規(guī)函數模型和關系式，利用導數、方程、不等式等工具來解決問題，尤其是導數，它是研究函數問題中最重要的工具。

函數思想貫穿于整個數學學習過程，它與方程、不等式、微積分等其他知識有著天然的聯系。應用函數思想離不開對實際問題和知識信息的深刻觀察比較和實驗操作，通過綜合分析和理性思維作出選擇和判斷，這也是培育數學眼光和思維的有效路徑。

綜上所述，函數是研究定量與變量、靜止與運動等數量關系的一種思維方法，蘊含著普遍聯系和運動變化的哲學觀點。函數思想是認識世界的一種思考方式，解決問題的一種思維方法。它是函數觀點的集中反映，是解決問題的一種基本思想方法。在其形成過程中，它吸納與凝結了多種數學思想方法，并展現了其獨特的思想個性魅力。函數思想的學習有助于邏輯思維能力的培育，數學建模意識的養(yǎng)成，解決問題能力的提升。應用函數思想方法，需要領悟函數本質，深化概念形成的認知過程，積累豐富鮮活的實踐經驗。

參考文獻

[1] 克萊因.高觀點下的初等數學[M].舒湘芹，陳義章，楊欽棟，譯.上海：復旦大學出版社，2008.

[2] 克萊因.古今數學思想[M].張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海：上?？茖W技術出版社，2014.

[3] 張孝達，陳宏伯，李琳.數學大師論數學教育[M].杭州：浙江教育出版社，2007.

[4] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[5] 錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京：北京師范大學出版社，2017.

[6] 呂世虎，王尚志.高中數學新課程中函數設計思路及其教學[J].課程·教材·教法，2008（02）.

[7] 陳惠勇.算法思想與函數思想[J].數學通報，2010（05）.

[8] 柳顏，賀素香.基于增廣Lagrange函數的約束優(yōu)化問題的一個信賴域方法[J].應用數學，2020（01）.

[9] 王璐，陳雪瑋，郝麗玲.基于Lognormal函數的脈搏波分解可行性研究[J].東北大學學報：自然科學版，2019（12）.

[作者：姬梁飛（1982-），男，河南信陽人，華中科技大學教育科學研究院，博士生。]

【責任編輯? 郭振玲】