杜宵豐 趙家鋒 周達 劉堅

摘? ?要? ?各個國家和地區(qū)的學(xué)校教育都面臨數(shù)學(xué)推理教學(xué)難的問題。本研究運用質(zhì)性研究方法，通過對一位初中數(shù)學(xué)教師的訪談，嘗試對其數(shù)學(xué)推理教與學(xué)的觀念進行深入探討和分析。研究表明，數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)應(yīng)讓學(xué)生體驗推理的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生的“反權(quán)威”意識，營造猜想-證明的課堂情境。

關(guān)鍵詞? ?推理? 觀念? 教師? 教學(xué)? 學(xué)習(xí)

一、研究背景

數(shù)學(xué)推理是“做”數(shù)學(xué)的核心。一方面推理的過程代表了通過舊知識獲得新知識的有效途徑，另一方面推理中所涉及的不同概念與原理之間的相互關(guān)系，發(fā)展了人們對數(shù)學(xué)知識的理解。近年來不同國家和地區(qū)的數(shù)學(xué)教育均重視數(shù)學(xué)推理的課程編排[1]。尤其是在美國，學(xué)校數(shù)學(xué)教育原則和標(biāo)準(zhǔn)以及州共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)布都顯著提升了推理在學(xué)校數(shù)學(xué)中的地位，將其作為K-12年級數(shù)學(xué)教育的一條學(xué)習(xí)主線[2-3]。盡管數(shù)學(xué)推理日益受到人們的重視，但來自不同國家和地區(qū)的研究表明，中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力存在諸多不足[4-6]，而教師卻普遍面臨數(shù)學(xué)推理難教的窘境[7]。因此需要更多的實證研究來提高推理在課堂中的作用，探索如何支持教師的教學(xué)工作才能有效發(fā)展學(xué)生的推理能力[8]。在我國，自1951年《中學(xué)數(shù)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)（草案）》首次提出“培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、判斷、推理等科學(xué)習(xí)慣”[9]，到2012年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確將推理能力作為數(shù)學(xué)課程的十個核心詞之一，并指出義務(wù)教育階段要引導(dǎo)學(xué)生積極參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動，注重學(xué)生思考的條理性，而不過分強調(diào)推理的形式[10]。半個多世紀(jì)的課程變革對推理內(nèi)容的要求不斷發(fā)展和完善，以往的數(shù)學(xué)推理教學(xué)觀念隨著課改的逐步深入正在被新的教學(xué)觀念所替代，那么當(dāng)下初中數(shù)學(xué)教師的推理教學(xué)觀念實際情況到底是怎樣的，引發(fā)了研究者的深入思考。

二、研究方法

本研究是一項個案研究，通過現(xiàn)場訪談收集了一位初中數(shù)學(xué)教師推理教學(xué)與學(xué)習(xí)觀念的質(zhì)性數(shù)據(jù)，嘗試揭示其在數(shù)學(xué)推理教學(xué)實踐上的潛在特質(zhì)。

1.研究對象的選擇

我國H市515名初中數(shù)學(xué)教師參與了北京師范大學(xué)區(qū)域監(jiān)測項目中有關(guān)數(shù)學(xué)推理知識的問卷調(diào)查，49 658名八年級學(xué)生參加了有關(guān)數(shù)學(xué)推理的能力測試。通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，H市W中學(xué)的學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力得分很高，并且該校教師的數(shù)學(xué)推理知識掌握扎實（已有研究指出教師的數(shù)學(xué)推理知識是影響其推理教學(xué)的一個關(guān)鍵因素[11]）。因此，研究者在地方教研員的幫助下，選擇了該校一位具有近20年教齡的數(shù)學(xué)女教師（簡稱L老師）作為深度訪談的對象。

2.資料收集

研究采用半結(jié)構(gòu)式訪談的方式來收集信息，因為半結(jié)構(gòu)式訪談比結(jié)構(gòu)式訪談能收集到更廣泛的資料。訪談前，研究者根據(jù)研究目的與已有研究中的訪談工具[12]，事先設(shè)計出訪談提綱作為訪談的提示。訪談依托于提綱，但又不局限于提綱，只要在本研究的主題范圍內(nèi)，研究者都會允許對方自由暢言。研究采用直接訪談的方式，也就是面對面訪談，地點選擇在L老師所在學(xué)校的會議室進行，以便錄音和現(xiàn)場記錄。

3.資料分析

首先，依據(jù)訪談問題中的推理教學(xué)與學(xué)習(xí)這兩個方面進行初步歸類，但在分析過程中，發(fā)現(xiàn)教師在談到教學(xué)時也會涉及學(xué)生學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容，二者混在一起，因此將教師教與學(xué)兩方面的觀念進行合并，統(tǒng)稱為教師的推理教學(xué)與學(xué)習(xí)觀念。其次，將原始材料按照不同的、有意義的主題切割成小的段落，即分析單位，再根據(jù)分析單位的前后順序以阿拉伯?dāng)?shù)字依次編號，比如編碼L-6表示L老師的第6個分析單位。最后，將材料編碼后，根據(jù)各分析單位中的核心字詞進行分類，經(jīng)過取舍和修改后逐漸形成分析主題，并最終完成數(shù)據(jù)分析。

三、結(jié)果與分析

關(guān)于L老師的數(shù)學(xué)推理教學(xué)與學(xué)習(xí)觀念，她首先強調(diào)了課上與課下學(xué)習(xí)相結(jié)合，以此拓展學(xué)生數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)機會。

“我每天布置的作業(yè)并不多，不想給學(xué)生造成太多的課業(yè)負擔(dān)，但我很重視學(xué)生課下學(xué)習(xí)的情況。課下學(xué)習(xí)不是讓學(xué)生死記硬背地去掌握一些解題技巧，而是調(diào)動學(xué)生去探索某種問題背后的思想方法，內(nèi)容本身不局限在已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容里，可能涉及新內(nèi)容，或一些生活素材，因此學(xué)生需要自己去查閱一些資料才能得出答案（L-3）?！蓖瑫r，“允許學(xué)生采用自己喜歡的方式去呈現(xiàn)探索的結(jié)果，可以采用紙筆畫圖、具體例子等多種表達形式（L-5）。這樣在課堂上學(xué)生也會有更多的時間進行小組或班級的互動與交流，因為課堂時間緊張一直是我們老師面對的一個老大難問題（L-6）?！?/p>

由上可以看出，L老師充分利用學(xué)生在課下的學(xué)習(xí)時間，以彌補課上學(xué)習(xí)時間的緊張。其中L老師提到了學(xué)生對推理的獨立探究，以及與大家互動交流這兩個重要的方面，所以研究者就這兩個方面對L老師進行了連續(xù)追問，發(fā)現(xiàn)L老師在推理教學(xué)上的兩個重要觀點。

一個觀點是L老師認為個體的獨立推斷至關(guān)重要，即學(xué)生通過自己的努力尋找證據(jù)，推理出所有的核心結(jié)論。

“在日常教學(xué)中，我通常呈現(xiàn)給學(xué)生正確未知的命題，在這種不確定的情況下，引導(dǎo)學(xué)生做出猜測，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的積極性（L-8）。我一般不會直接在黑板上板書完整的推理過程，不著急為學(xué)生提供標(biāo)準(zhǔn)答案，因為推理是靈活多變的，它沒有固定的解題套路，所以我覺得推理的學(xué)習(xí)不能以老師教為主，要讓學(xué)生自己主動去嘗試、去體會、去思考（L-10）。當(dāng)班里的學(xué)生從各自不同的角度摸索出推理思路時，我的任務(wù)就是及時‘扶正學(xué)生的思考方向，根據(jù)不同學(xué)生的表現(xiàn)點出他們合理的地方和不合理的地方，了解學(xué)生的真實想法，再進一步拓展他們的想法（L-15）。”

另一個觀點是L老師注重個體與個體間的合作推理，即多個學(xué)生通過討論與互動共同構(gòu)思推理的過程，在交互行為的作用下改善推理方案。

“面對比較難的推理題，學(xué)生往往出現(xiàn)思維混亂的情況，比如搞不清楚其中的因果關(guān)系（L-26）。根據(jù)條件可能會得到很多推論，但這些推論對解決問題不一定都有用，如何選出有用的推論，并將它們連貫地組織起來，這是教學(xué)難點（L-28）。在我的班上一般將學(xué)生分為4人左右的學(xué)習(xí)小組，由學(xué)習(xí)好的學(xué)生擔(dān)任小組長，對小組合作起到帶動作用（L-29）。有時我會提出小組討論的問題，有時是各小組提出討論問題（L-33）。通過小組互動的合作學(xué)習(xí)，學(xué)生的想法可能會受到他人影響，也可能會影響他人，學(xué)生之間相互交流和啟發(fā)，在合作解決問題中逐漸知道好的推理方法是什么，自己的思路又有哪些不足。久而久之，學(xué)生的語言表達和推理技巧都會得到提高（L-34）?！?/p>

顯然，L老師的推理教學(xué)表現(xiàn)出個體與社群的雙重性。但L老師進一步指出學(xué)生個體或小組在得到結(jié)果后，常常依賴教師等外部權(quán)威去確定推理的有效性，這與Harel和Sowder（1998）的研究發(fā)現(xiàn)一致，即學(xué)生會質(zhì)疑自己已經(jīng)證明出來的結(jié)論，直到有權(quán)威人士告訴他們推理是正確的，他們才能夠信服[13]。因此在課堂教學(xué)中，L老師著重強化了學(xué)生對數(shù)學(xué)推理的理解和批判，即重視對推理方法本身的辯護。

“我在班上時，經(jīng)常有學(xué)生找我確認他們的答案是否正確。在很多情況下，他們的解答完全沒有問題，在和他們的討論中，我發(fā)現(xiàn)他們明明做對了，但只有得到我的認可，他們才會結(jié)束這道題的思考，再去想其他題目（L-46）。為了改善這種情況，在課堂上當(dāng)有學(xué)生表述自己的思路時，我有時會要求學(xué)生在練習(xí)本上邊聽邊記下這個同學(xué)的主要想法，也會要求個別學(xué)生在黑板上寫，這是為了引導(dǎo)他們?nèi)ダ斫鈩e人的觀點。我自己也會非常仔細地去聽，發(fā)現(xiàn)其中暗含的一些思路，組織學(xué)生之間通過說理去反駁別人或堅持自己的主張，培養(yǎng)學(xué)生對‘為什么是這樣的求知欲（L-49）。逐步讓學(xué)生擺脫對外部力量的依賴，使得他們能夠靠自己的理性思考去看待各種觀點（L-50）。”

為了豐富學(xué)生的推理活動經(jīng)驗，L老師認為要同時兼顧形式化和非形式化兩種推理模式，更要注重提高學(xué)生推理的策略性知識。

“數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹性常常要求學(xué)生的推理要列式子寫符號，但干巴巴的符號往往會加重學(xué)生推理學(xué)習(xí)的負擔(dān)。推理本身就難學(xué)，如果再過分強調(diào)這些格式，會讓孩子徹底喪失推理學(xué)習(xí)的興趣（L-53）。適當(dāng)放寬嚴(yán)謹性的要求，允許學(xué)生使用圖像、日常語言等方式來表達推理。我覺得這很重要，因為這對于孩子來說往往更容易理解和接受（L-54）?！蓖瑫r，“作為老師，我在給學(xué)生講推理的時候也不都是符號和公式的，因為教材上已經(jīng)這樣呈現(xiàn)了，如果老師再這樣的話，容易使得學(xué)生養(yǎng)成只關(guān)注推理表面特征的習(xí)慣，卻忽視推理內(nèi)容本身，我更喜歡用一些通俗易懂的話解釋推理（L-59）?！辈⑶遥拔野l(fā)現(xiàn)有的學(xué)生在做題時喜歡參考課本上的例題，或者模仿我講課時用到的方法，如果你讓學(xué)生說出為什么要這樣推理，學(xué)生往往很難解釋清楚，一般都是回憶相似的題目使用了這種方法，所以感覺應(yīng)該使用這種方法（L-62）?！薄拔矣X得老師應(yīng)該多與學(xué)生交流自己構(gòu)思推理的心路歷程，讓學(xué)生了解為什么在做題時就用到了這樣的數(shù)學(xué)知識，根據(jù)怎樣的蛛絲馬跡完成了一步又一步的推理，這都是重要的做題經(jīng)驗（L-65）?！弊詈?，L老師還特別考慮了影響學(xué)生推理學(xué)習(xí)的心理因素。

“推理題的邏輯性一般很強，沒有固定的方法去遵循，因此不管是在考試還是在平時的作業(yè)里推理題都是最難把握的（L-71）。學(xué)生有兩級分化的現(xiàn)象，喜歡推理的學(xué)生對推理題越發(fā)感興趣，不喜歡推理的學(xué)生常常因此產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的害怕心理，如何提高學(xué)生這方面的心理承受力真的太重要了（L-73）。我覺得可以經(jīng)常的夸夸學(xué)生，鼓勵學(xué)生，努力發(fā)現(xiàn)學(xué)生的一些優(yōu)點（L-76）?！薄疤貏e是要注意推理學(xué)習(xí)由易到難的過度，比如在課堂上，可以通過實驗操作、畫圖的方式引出推理內(nèi)容，再比如我前面說到的不能把現(xiàn)成的推理結(jié)果告訴學(xué)生，少說這樣推，多說為什么這樣推，還有就是剛開始學(xué)習(xí)推理的時候，多讓學(xué)生做做簡單題，不要太強調(diào)推理技巧（L-79）?！?/p>

四、結(jié)論與討論

1.數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)應(yīng)讓學(xué)生體驗推理的生成過程

各個國家和地區(qū)的中學(xué)生在數(shù)學(xué)推理上面臨挑戰(zhàn)的一個關(guān)鍵因素就在于其缺乏足夠的推理知識，尤其是策略性知識[14]。比如很多學(xué)生不知道如何開始一個推理或者應(yīng)該選擇哪些定理或性質(zhì)進行推理[15]，甚至有學(xué)生認為檢驗幾個特殊例子就足以確定命題為真[16]。具有這些迷思概念的學(xué)生歸根結(jié)底是由于他們的推理知識不充分，沒有認清推理的本質(zhì)所造成的。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結(jié)果，L老師常常會通過生生互動或師生互動的方式精細化學(xué)生的推理方案。為了減少學(xué)生對形式化推理的過度記憶與模仿，她在課堂上采用解釋性的話語描述推理，并鼓勵學(xué)生使用圖像、日常語言等多種表征方式去解決問題，有助于規(guī)避學(xué)生僅關(guān)注推理表面特征的情況出現(xiàn)，使得他們能夠?qū)⒏嗟淖⒁饬性谕评韮?nèi)容本身。而且L老師習(xí)慣與學(xué)生交流推理的來龍去脈，這種向?qū)W生暴露思維過程的教學(xué)方式會展現(xiàn)思考中可能的彎路、嘗試性的失敗及修正的思考，體驗式的學(xué)習(xí)對深化學(xué)生對推理知識（尤其是策略性知識）的感性認識具有重要意義。此外，L老師將教學(xué)重心放在推理生成而不是結(jié)果導(dǎo)出的另一層重要意義在于，可進一步讓學(xué)生從內(nèi)心深處感受并相信，推理不是一揮而就的，即使是教師，在面對推理題時也不能馬上就步入解題的正軌，而需要不斷地嘗試與反思，從而增強學(xué)生數(shù)學(xué)推理的自信。

2.數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的“反權(quán)威”意識

已有研究發(fā)現(xiàn)，訴諸權(quán)威的推理模式是學(xué)生普遍持有的一種錯誤的推理方式[13]。它表現(xiàn)在很多方面，其中一種表現(xiàn)是學(xué)生依賴于被告知解題步驟去解決問題。當(dāng)進行推理時，學(xué)生期望被告知推理的思路而不是探索推理的過程。這種行為的潛在特征是將數(shù)學(xué)視為事實性結(jié)果的集合，不關(guān)注或很少關(guān)注結(jié)論真實性的來源。訴諸權(quán)威的第二種表現(xiàn)是學(xué)生在自己不認真解決問題的情況下或已經(jīng)正確解答的情況下尋求外部的幫助或確信。當(dāng)這種情況發(fā)生時，只需要與學(xué)生進行一個簡短的討論或明確告知他們的解答是無誤的，他們才會意識到自己實際上已經(jīng)具備獨立解決問題的能力。訴諸權(quán)威的第三種表現(xiàn)是“定理”在學(xué)生推理過程中的作用，一旦一個命題被視為定理，一些學(xué)生推理該命題的努力、意愿和能力就會大打折扣，“定理”對學(xué)生來說似乎是應(yīng)該遵守的而不是被推理或質(zhì)疑的。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結(jié)果，L老師提到的外部權(quán)威應(yīng)該屬于上述第二種表現(xiàn)。她為避免學(xué)生被動地依靠教師或教材等外部力量去接受推理，在授課時她注重強化學(xué)生對數(shù)學(xué)推理的評價能力，努力使學(xué)生學(xué)會理解他人的看法，并且能通過說理去說服或反駁別人，而非純粹的接受或記憶。這樣，學(xué)生雖然是從上（教師）至下的學(xué)習(xí)推理，但通過他們自己的探索活動和彼此的爭論反駁，確保了自身與外部權(quán)威之間的平等性。這無形中發(fā)展了他們“反權(quán)威”的意識，強化了學(xué)生的反思精神和理性思維能力。

3.數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)應(yīng)營造猜想-證明的課堂情境

很多學(xué)者指出，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家“做”推理的完整過程，包括探索數(shù)學(xué)關(guān)系以識別有意義的模式、使用模式來形成猜想、通過新的證據(jù)來檢驗猜想、修訂猜想以排除反例，以及提供一般論證來確定猜想等等[17]。由此營造猜想—證明的課堂情境十分有利于學(xué)生對推理的全面理解。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結(jié)果，L老師通常會在結(jié)論不確定的課堂情境中，引導(dǎo)學(xué)生進行探究和臆測，鼓勵學(xué)生敢于提問和質(zhì)疑，并進一步厘清自己的思路。學(xué)生有機會親身參與數(shù)學(xué)推理的獨立建構(gòu)，也有機會通過彼此合作共同解決有意義的問題，這使得學(xué)生不僅能夠自己“悟”推理，也能在互動交流中不斷精準(zhǔn)化自己的推理方案。因此，為了營造探索真知的課堂情境，教師應(yīng)為學(xué)生提供探究性的學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生自行構(gòu)建推理和品評他人推理，主動分享自己的看法，同時勇于回應(yīng)他人的疑惑，真正做到以“理”服人。當(dāng)下無論是在國內(nèi)還是國外，努力營造數(shù)學(xué)推理的課堂學(xué)習(xí)情境已經(jīng)得到學(xué)界的廣泛認可，但在實際操作層面還面臨很多挑戰(zhàn)。例如，教師需要知道如何運用恰當(dāng)?shù)姆栿w系去向?qū)W生表達推理并幫助學(xué)生學(xué)會這種表達方式。唯有把這些元素揉進數(shù)學(xué)教學(xué)，形成推理的課堂學(xué)習(xí)規(guī)范，方能切實改善學(xué)生的邏輯思維。

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