田玉菊

問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也就是解決數(shù)學(xué)問題的過程，所以說，以問題為核心展開數(shù)學(xué)教學(xué)一直是廣大教師的追求。近期觀摩了一節(jié)七年級數(shù)學(xué)課，教學(xué)的內(nèi)容為“平方差公式”，教師對問題導(dǎo)學(xué)的教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實踐過程的進(jìn)展以及取得的效果都得到了同行的贊許，值得我們借鑒和思考。

一、案例呈現(xiàn)

1.教學(xué)內(nèi)容：乘法公式——“平方差公式”

2.教學(xué)目標(biāo)：（1）會推導(dǎo)平方差公式，了解公式的幾何背景，并能運用公式進(jìn)行簡單的計算。（2）經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進(jìn)一步感悟數(shù)與形的關(guān)系，感悟數(shù)形結(jié)合的思想，知道使用符號可以進(jìn)行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。

3.導(dǎo)學(xué)流程：

（1）你能根據(jù)以前學(xué)習(xí)過的知識求出陰影部分的面積嗎？（情境創(chuàng)設(shè)）

題目：在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），這兩個圖形中陰影部分的面積相等嗎？請分別寫出它們的表達(dá)式。

學(xué)生紛紛討論，答案如下幾種：

根據(jù)圖甲，可以把陰影部分的面積看作兩個矩形面積之和，即a（a-b）+b（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2

根據(jù)圖乙，整合后的陰影部分矩形的長與寬分別為（a+b）和（a-b），則陰影部分面積就為（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2（實際上這個同學(xué)已經(jīng)運用乘法分配律的方法了，但此時還沒有完全理解它的含義）。

還有的同學(xué)直接表達(dá)出圖甲的陰影面積為大的正方形面積減去小正方形面積，即a2-b2，而圖乙表達(dá)式則為（a+b）（a-b），根據(jù)陰影部分面積相等得出：（a+b）（a-b）=a2-b2。

（2）請同學(xué)們再運用乘法分配律計算一下（a+b）（a-b），即（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2請你們結(jié)合你們的計算結(jié)果，看看它們是一種巧合嗎？能得出什么樣的結(jié)論？

結(jié)論：（a+b）（a-b）=a2-b2。

那么，你們發(fā)現(xiàn)以上的等式有什么樣的特征呢？能用語言描述嗎？（探究新知）

總結(jié)出平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差。（剛才學(xué)生的探究與計算的過程恰恰為平方差公式的推導(dǎo)過程。）

（3）請問下列算式能否用平方差公式計算？如果能請計算一下。（知識鞏固）

（4）請大家仔細(xì)觀察，以下兩個題目是否可以運用平方差公式進(jìn)行計算？如果能請嘗試計算一下。（知識拓展）

（5）總結(jié)與評價

二、過程性分析

從以上的案例教學(xué)看，首先教師以設(shè)置一定的情境開始，利用學(xué)生對幾何面積的已有知識，解決面積計算問題，通過幾何面積各種計算方法，然后因勢利導(dǎo)，再結(jié)合已知經(jīng)驗乘法分配律，引導(dǎo)學(xué)生觀察與分析它的特點，并嘗試運用語言描述出來，即本節(jié)課的新知——平方差公式。緊接著教師呈現(xiàn)出4個鞏固知識的小題目和2個拓展性問題，無疑再次調(diào)動學(xué)生的思維，促使學(xué)生重新回到平方差公式的特點中去，在比較中思考，在思考中比較，這不僅是鞏固和提高的問題，而是知識、能力、思維進(jìn)一步拓展的過程。

縱觀整個教學(xué)流程，教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點設(shè)計相關(guān)問題，然后緊緊以問題呈現(xiàn)、問題分析、問題實踐、問題解決為核心，逐步展開導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)思、導(dǎo)練的教學(xué)過程。問題導(dǎo)向中的問題設(shè)計充分考慮到學(xué)生已有知識的利用，新舊知識的聯(lián)系，以及新知獲得與運用等，還體現(xiàn)出問題思路的階梯狀和層次性，且問題之間相互“照應(yīng)”，教學(xué)效果明顯。

三、教學(xué)效果性思考

首先，問題導(dǎo)向教學(xué)促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)意識和能力發(fā)展，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力具有很強(qiáng)的效果。問題導(dǎo)向功能體現(xiàn)在對學(xué)生學(xué)習(xí)的“導(dǎo)”，學(xué)生能根據(jù)教師設(shè)計的導(dǎo)學(xué)問題逐漸展開學(xué)習(xí)，并能根據(jù)各自的學(xué)習(xí)特點運用多種學(xué)習(xí)方法逐步解決問題，獲得一定的成就感。

其次，問題導(dǎo)向教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。而從教學(xué)過程來看，問題導(dǎo)學(xué)既有已有知識經(jīng)驗的運用，也有對新知識的驗證，同時也是實踐的探索，新舊知識之間的聯(lián)系縱橫交錯，學(xué)生的思維在舊知與新知的切換中不斷被調(diào)動著、激活著。

再次，問題導(dǎo)向教學(xué)有效激發(fā)了學(xué)生合作學(xué)習(xí)的意識。導(dǎo)學(xué)問題設(shè)計目標(biāo)明確，思路清晰，導(dǎo)學(xué)流程層層遞進(jìn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)一直處于發(fā)現(xiàn)問題、感知問題、分析問題和解決問題的過程，而且在這個過程中并不是一個人的獨立思考，還需要教師的點撥，同伴的互助，因而學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間相對拓寬，合作學(xué)習(xí)得到體現(xiàn)。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在思維激發(fā)，而問題是思維開啟的基礎(chǔ)，正所謂“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，所以說，解決好數(shù)學(xué)的“心臟”問題，也就為數(shù)學(xué)思維的開啟提供足夠的動力。數(shù)學(xué)問題是辯證的，存在于矛盾和聯(lián)系之中，也正是如此，數(shù)學(xué)問題的教學(xué)應(yīng)始終在問題的辯證分析中展開，這樣學(xué)生不僅獲得解決問題的能力，同時數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也得到發(fā)展。

（作者單位：江蘇省南京市華電中學(xué)）