楊威 高淑萍 陳懷琛 李兵斌

摘? 要：以國家精品在線開放課程《實(shí)用大眾線性代數(shù)》為例，根據(jù)新工科背景下人才培養(yǎng)的成果導(dǎo)向理念，對(duì)線性代數(shù)教學(xué)進(jìn)行改革，通過課程體系簡(jiǎn)潔化、教學(xué)內(nèi)容形象化、應(yīng)用實(shí)例多樣化、MATLAB深入化及信息技術(shù)全面化等教學(xué)理念的應(yīng)用，使得線性代數(shù)學(xué)以致用，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：新工科;成果導(dǎo)向;線性代數(shù);MATLAB;MOOC

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2096-000X（2020）05-0008-05

Abstract： Taking "Applied Popular Linear Algebra with MATLAB" of the national quality MOOCs as an example. According to the OBE concept of personnel training under the background of emerging engineering education， the teaching of linear algebra is reformed. By using the teaching methods of concise curriculum system， visualization of teaching content， diversification of application examples， deepening of MATLAB and comprehensiveness of information technology， it is trained ability to solve practical problems by using theoretical knowledge.

Keywords： emerging engineering education（3E）; outcome based education（OBE）; linear algebra; MATLAB; MOOCs

一、新工科背景下人才培養(yǎng)新理念

隨著我國經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型、國家戰(zhàn)略的實(shí)現(xiàn)及新經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，對(duì)新型工科人才需求增加，2016年，新工科概念首次提出，2017年初正式拉開了全國范圍工程教育改革的帷幕。新工科的人才培養(yǎng)理念是用成果導(dǎo)向替代學(xué)科導(dǎo)向，成果導(dǎo)向又由以學(xué)生為中心、反向設(shè)計(jì)和持續(xù)改進(jìn)三個(gè)理念組成。以學(xué)生為中心的教學(xué)內(nèi)容主要取決于學(xué)生學(xué)什么，教學(xué)方法主要取決于學(xué)生怎么學(xué)，教學(xué)評(píng)價(jià)主要取決于學(xué)生學(xué)得怎么樣。教學(xué)本質(zhì)就是“教學(xué)生學(xué)”，教學(xué)生“樂學(xué)”、“會(huì)學(xué)”、“學(xué)會(huì)”。教學(xué)目的是：“教為不教，學(xué)為會(huì)學(xué)”。反向設(shè)計(jì)理念是針對(duì)傳統(tǒng)的正向設(shè)計(jì)而言的，反向設(shè)計(jì)是從需求開始，由需求決定培養(yǎng)目標(biāo)，再由培養(yǎng)目標(biāo)決定畢業(yè)要求，再由畢業(yè)要求決定課程體系。成果導(dǎo)向是反向設(shè)計(jì)、正向?qū)嵤?，這時(shí)“需求”既是起點(diǎn)又是終點(diǎn)，從而最大程度上保證教育目標(biāo)與結(jié)果的一致性[1]。

二、新工科背景下線性代數(shù)教學(xué)存在的問題

線性代數(shù)是所有高校工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，同時(shí)它也是工程數(shù)學(xué)中最重要的組成部分，它還是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的前提和工具。隨著新技術(shù)的高速發(fā)展，線性代數(shù)也滲透到工程、經(jīng)濟(jì)、信息、社會(huì)等各個(gè)領(lǐng)域。在新工科的教育改革中，很多高校對(duì)公共基礎(chǔ)課程都進(jìn)行了壓縮。以西安電子科技大學(xué)為例，線性代數(shù)課程從原來的56學(xué)時(shí)壓縮到40學(xué)時(shí)，課時(shí)減少了近1/4。然而線性代數(shù)具有高度抽象、邏輯嚴(yán)密、符號(hào)獨(dú)特等特點(diǎn)，因此很多初學(xué)者覺得這門課難理解;另一方面，新工科的人才培養(yǎng)新理念要求培養(yǎng)適應(yīng)未來工程發(fā)展需求的具有可持續(xù)性競(jìng)爭(zhēng)力的應(yīng)用型工程人才[1]。線性代數(shù)內(nèi)容抽象、課時(shí)又減少，而對(duì)人才培養(yǎng)又提出了新的要求，在這樣的新工科背景下，線性代數(shù)課程的教學(xué)改革就顯得非常重要。

目前，大多國內(nèi)高校數(shù)學(xué)類課程教學(xué)模式落后，以教師為中心的現(xiàn)象仍然普遍存在，課堂填鴨式教學(xué)讓學(xué)生苦不堪言。教學(xué)內(nèi)容陳舊，缺乏應(yīng)用案例，沒有把MATLAB與線性代數(shù)相結(jié)合。教學(xué)評(píng)價(jià)單一，僅僅通過期中和期末考試來評(píng)定學(xué)生成績(jī)。這些都嚴(yán)重影響了學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

三、新工科背景下線性代數(shù)教學(xué)改革

美國在1990年對(duì)線性代數(shù)課程改革提出以下建議：1.教學(xué)大綱必須響應(yīng)其他學(xué)科的需求，在學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中能感受到線性代數(shù)的作用。2.線性代數(shù)應(yīng)從具體實(shí)際例子出發(fā)引出概念和理論。3.計(jì)算機(jī)技術(shù)必須應(yīng)用在線性代數(shù)教學(xué)中[2]。

從2005年開始，西安電子科技大學(xué)對(duì)線性代數(shù)課程進(jìn)行了長期、持續(xù)的改革與探索，教育部“使用信息技術(shù)工具改造課程項(xiàng)目”——用MATLAB和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)子項(xiàng)目帶動(dòng)了全國19所大學(xué)進(jìn)行改革試點(diǎn)，其改革成果得到教育部數(shù)學(xué)教指委的高度認(rèn)可，首批國家精品在線開放課程《實(shí)用大眾線性代數(shù)》就是持續(xù)改革的成果之一[3]。

（一）課程體系簡(jiǎn)潔化

根據(jù)新工科人才培養(yǎng)的成果導(dǎo)向理念，課程體系的制定要從人才培養(yǎng)的需求入手，而新工科背景下，需要大量的可持續(xù)競(jìng)爭(zhēng)力的應(yīng)用型工程人才?！秾?shí)用大眾線性代數(shù)》以方程組為主線，從方程組出發(fā)，引出矩陣的定義、矩陣運(yùn)算及應(yīng)用、行列式、向量空間及特征值特征向量。表1給出了它與同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)》（第六版）在課程體系上的差異[4][5]。該課程刪減了一些工程中不常用的復(fù)雜概念，增加了一些工程應(yīng)用內(nèi)容，降低了課程難度和理論門檻，減少了課時(shí)量，使大一學(xué)生及工作多年的工程技術(shù)人員都能容易掌握。課程體系的建立與新工科背景下人才培養(yǎng)理念相吻合。

（二）教學(xué)內(nèi)容形象化

新工科人才培養(yǎng)強(qiáng)調(diào)了以學(xué)生為中心，教師考慮的最重要的問題是“學(xué)生怎樣能學(xué)好”，這就要求發(fā)揮教師的主觀能動(dòng)性，把線性代數(shù)抽象概念形象化是教師的首要任務(wù)。

1. 幾何概念全方位引入

線性代數(shù)與幾何緊密相關(guān)，線性代數(shù)許多概念、公式和定理都可以得到幾何意義的解釋，另一方面，線性代數(shù)理論也為幾何問題提供了有效的解決方法。所以把幾何含義融入線性代數(shù)教學(xué)中，首先可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生了解相關(guān)概念的背景;其次可以把抽象問題形象化，使學(xué)生在形和數(shù)的統(tǒng)一中進(jìn)一步體會(huì)到抽象概念的內(nèi)涵，從而培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維能力和解決實(shí)際問題的能力[6]。

《實(shí)用大眾線性代數(shù)》課程全方位地把幾何概念引入到課程各章中，表2給出課程涉及的部分幾何含義[4]。

2. 類比思想的應(yīng)用

適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比思想可以讓學(xué)生的思維從熟悉的知識(shí)向新知識(shí)轉(zhuǎn)移，從而更容易掌握新知識(shí)[7]。在線性代數(shù)的教學(xué)中類比思想分為兩類。一類是線性代數(shù)本身內(nèi)容之間的類比，比如用低階行列式類比高階行列式，用低維向量類比高維向量等，這種類比實(shí)質(zhì)上就是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的思想方法。另一類是其他知識(shí)和線性代數(shù)知識(shí)間的類比，表3給出了幾個(gè)類比的典型實(shí)例。

3. 分類方法的應(yīng)用

分類是一種很好的形象化教學(xué)方法。通過分類，學(xué)生可以更好地理解和記憶線性代數(shù)繁多概念和公式，也更容易從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解決問題的方法。表4對(duì)線性代數(shù)的一些概念進(jìn)行了分類[8]。

4. 列表與概念圖的應(yīng)用

列表和概念圖是形象化教學(xué)的又一方法。從心理學(xué)角度出發(fā)，人對(duì)圖表的記憶力會(huì)比單純的文字強(qiáng)很多，圖表可以將細(xì)碎的知識(shí)以簡(jiǎn)單的形式有組織有次序的表達(dá)出來。一個(gè)有效的列表或概念圖能夠把人腦中隱性知識(shí)顯性化、可視化，可以開發(fā)學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。圖1給出了矩陣可對(duì)角化的判斷定理框圖，圖2給出了矩陣等價(jià)、相似與合同之間的邏輯關(guān)系框圖。

5. 突破思維慣性

新工科人才培養(yǎng)強(qiáng)調(diào)了以學(xué)生為中心，教師就必需充分了解學(xué)生，學(xué)生“學(xué)會(huì)了”、“會(huì)學(xué)了”才是好的教學(xué)效果。對(duì)于剛進(jìn)大學(xué)的學(xué)生而言，必須突破原有的數(shù)學(xué)思維慣性，才能很好的掌握線性代數(shù)知識(shí)。突破思維慣性最好的方法之一就是“錯(cuò)講教學(xué)法”和“錯(cuò)例解析法”?！板e(cuò)講教學(xué)法”是教師課堂設(shè)計(jì)一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，讓學(xué)生分析討論;“錯(cuò)例解析法”是把學(xué)生出錯(cuò)題目作為例題講解討論。表5給出矩陣運(yùn)算中最容易出錯(cuò)的問題[8]。

（三）應(yīng)用實(shí)例多樣化

新工科成果導(dǎo)向理念的核心之一就是反向設(shè)計(jì)，從人才“需求”出發(fā)來制定教學(xué)環(huán)節(jié)，在新工科背景下，需要大量的工程實(shí)用人才，所以線性代數(shù)的應(yīng)用就顯得極為重要。

1. 從應(yīng)用實(shí)例出發(fā)引出線性代數(shù)概念

教師應(yīng)該廣泛地聯(lián)系生活場(chǎng)景及其他相關(guān)學(xué)科，從學(xué)生熟悉和感興趣的問題出發(fā)，引出線性代數(shù)概念[9]。比如，可以從一些生活場(chǎng)景實(shí)例引出矩陣加法和乘法運(yùn)算概念;可以從力對(duì)物體做功的物理知識(shí)引出向量的內(nèi)積運(yùn)算;可以從0沒有倒數(shù)引出奇異矩陣的概念。

2. 制作后續(xù)課程相關(guān)應(yīng)用實(shí)例

線性代數(shù)是很多后續(xù)課程的基礎(chǔ)和工具，學(xué)生通過了解線性代數(shù)在后續(xù)課程的應(yīng)用，不僅可以提高學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，同時(shí)也為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)?！秾?shí)用大眾線性代數(shù)》課程針對(duì)：電路、力學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理、空間解析幾何、測(cè)量學(xué)、動(dòng)漫技術(shù)、自動(dòng)控制系統(tǒng)、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)、文獻(xiàn)管理及經(jīng)濟(jì)管理等后續(xù)課程給出了相關(guān)應(yīng)用實(shí)例[4]。

3. 制作不同專業(yè)背景的應(yīng)用實(shí)例

根據(jù)不同學(xué)科和專業(yè)的學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生提出和學(xué)科專業(yè)相關(guān)的實(shí)際問題，分析并討論用線性代數(shù)來解決問題的方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維能力[6]。例如可以為經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)學(xué)生講解生產(chǎn)成本、管理決策的例子;為信息工程專業(yè)學(xué)生講解信息編碼的例子;為計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生講解動(dòng)漫技術(shù)的例子等。

《實(shí)用大眾線性代數(shù)》課程給出了大量工科后續(xù)課程和不同專業(yè)的應(yīng)用實(shí)例29個(gè)，視頻總時(shí)長300余分鐘，其比例占到課程總內(nèi)容的1/3[3]。

（四）MATLAB應(yīng)用深入化

線性代數(shù)存在繁瑣的矩陣運(yùn)算，隨著矩陣階數(shù)的增加其運(yùn)算量急劇增加，尤其在解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模過程中，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用就勢(shì)在必行。目前，MATLAB軟件已經(jīng)流行于線性代數(shù)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，幾個(gè)簡(jiǎn)單的MATLAB命令就能實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)的各種運(yùn)算。學(xué)生可以利用MATLAB實(shí)現(xiàn)矩陣模型的建立和求解，同時(shí)解決實(shí)際問題的能力也得到了提高[10]。

另一方面，MATLAB還有很好的繪圖顯示功能，教師可以利用MATLAB編寫課件和動(dòng)畫，使線性代數(shù)教學(xué)變得更加生動(dòng)，不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且加深了對(duì)概念的理解，同時(shí)也提高了學(xué)生的理解能力和思維能力[6]。

以下分別給出三個(gè)利用MATLAB軟件計(jì)算并繪制圖形的實(shí)例，圖形非常形象地反映出線性代數(shù)概念的幾何含義。圖3給出一個(gè)二元非齊次線性方程組無解的示意圖，并用最小二乘法求得一個(gè)近似解（用“*”表示）;圖4給出一個(gè)三元非齊次方程組有唯一解的示意圖;圖5給出四個(gè)二次型對(duì)應(yīng)的二次曲面，從圖5中可以非常形象的理解正定、負(fù)定、半正定及不定的概念[10]。

《實(shí)用大眾線性代數(shù)》課程把MATLAB軟件深入應(yīng)用到整個(gè)課程的應(yīng)用實(shí)例中，針對(duì)每一個(gè)應(yīng)用實(shí)例，都給出了用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)運(yùn)算的程序，這大大地提高了學(xué)員數(shù)學(xué)建模的能力[4]。

（五）信息技術(shù)全面化

新工科背景下的教育教學(xué)改革內(nèi)容之一就是信息技術(shù)與課程深度融合。所謂信息技術(shù)與課程整合，是在移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)、數(shù)字技術(shù)和人工智能技術(shù)等新一代信息技術(shù)支持下，將新技術(shù)創(chuàng)造性集成融合于課程和教學(xué)，以追求學(xué)生自主、合作、探究和高效學(xué)習(xí)為目的的教育信息化過程。信息技術(shù)與課程的融合從初級(jí)到高級(jí)分別為：動(dòng)態(tài)的課堂演示、單機(jī)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和全交互的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)。慕課（MOOC）、微課（SPOC）等在線課程形態(tài)的出現(xiàn)，顛覆了傳統(tǒng)的教育觀、教學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀，引發(fā)了教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的深度變革。作為教師，應(yīng)該把各種信息化技術(shù)應(yīng)用到線性代數(shù)的教學(xué)中，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

《實(shí)用大眾線性代數(shù)》MOOC提供了：視頻、圖片、課件、動(dòng)畫、論文、程序、作業(yè)及試題等各種了教學(xué)資源，并且從內(nèi)容上和難易程度上都進(jìn)行了分類，學(xué)員可以自由選擇，提高了學(xué)習(xí)效率和效果。其次，學(xué)員可以根據(jù)自身情況安排學(xué)習(xí)計(jì)劃，使慕課學(xué)習(xí)與平時(shí)的學(xué)習(xí)和工作并行不悖。慕課的開放性對(duì)學(xué)員也有很強(qiáng)的吸引力，學(xué)員可以快速、靈活、高效、免費(fèi)地學(xué)好線性代數(shù)知識(shí)。

四、結(jié)束語

根據(jù)新工科的人才培養(yǎng)理念，線性代數(shù)的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該根據(jù)學(xué)生在后續(xù)課程和今后工作與研究中的需要來制定，所以課程體系簡(jiǎn)潔化、應(yīng)用實(shí)例多樣化及MATLAB深入化就成為線性代數(shù)教學(xué)改革的重點(diǎn)。教學(xué)方法和教學(xué)手段要以學(xué)生為中心展開，所以教學(xué)內(nèi)容形象化、信息技術(shù)全面化不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。

《實(shí)用大眾線性代數(shù)》于2017年12月獲國家首批精品在線開放課程。從2016年10月至今已經(jīng)在中國大學(xué)MOOC平臺(tái)連續(xù)播放六期，學(xué)員總數(shù)達(dá)七萬余人。根據(jù)新工科成果導(dǎo)向新理念，教學(xué)效果的評(píng)價(jià)是由學(xué)生來決定，以下給出了該MOOC的部分學(xué)員評(píng)價(jià)。

“我覺得應(yīng)用才是大學(xué)里每一門課程的教育目的，同時(shí)也覺得中國的大學(xué)教育真的應(yīng)該改革了，希望以后更多人能在這門課程上受益?！?/p>

“線性代數(shù)有了MATLAB才真正把理論和計(jì)算相融合，這門課合適工程應(yīng)用的人群。”

“我一直認(rèn)為數(shù)學(xué)必須結(jié)合計(jì)算機(jī)才是最正確的學(xué)習(xí)和教學(xué)方法，這樣才更能將抽象的地方形象的表現(xiàn)出來。”

“工程數(shù)學(xué)立足實(shí)踐，讓人會(huì)用才是根本。毫不夸張的說，這門課為我開啟了一個(gè)新世界?！?/p>

“相逢恨晚！之前從未聽過如此實(shí)用接地氣的線性代數(shù)，作為機(jī)械工程從業(yè)者對(duì)老師表示感謝”。

以上評(píng)價(jià)說明本MOOC真正做到了學(xué)以致用，提高了學(xué)生運(yùn)用理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，為培養(yǎng)可持續(xù)性競(jìng)爭(zhēng)力的應(yīng)用型工程人才奠定了基礎(chǔ)。

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