吳潔瑜

【摘 要】 APOS理論旨在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中使學(xué)生建立起適當(dāng)?shù)男睦斫Y(jié)構(gòu)，與其他相關(guān)概念形成綜合圖式。本文主要從“活動(dòng)”“過(guò)程”“對(duì)象”“圖式”四個(gè)階段，以“黃金分割”為例，分析和探討APOS理論在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 APOS理論;初中數(shù)學(xué);概念教學(xué);黃金分割

一、APOS理論概述

APOS理論最開始是美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出的，他認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不僅可以建立在具體存在的對(duì)象上，也可以建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和能力水平上，將新概念與舊知融合，從而建構(gòu)更高層次的心理結(jié)構(gòu)。這一建構(gòu)的基本模型經(jīng)歷4個(gè)階段：A——Action（活動(dòng)）、P——Process（過(guò)程）、O——Object（對(duì)象）、S——Schema（圖式）。該理論認(rèn)為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中若經(jīng)過(guò)了前三個(gè)階段，一般就能夠在思考、建構(gòu)的基礎(chǔ)上形成綜合心理圖式，進(jìn)而將問(wèn)題順利解決。

杜賓斯基還認(rèn)為，活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象也可看作是數(shù)學(xué)知識(shí)的三種狀態(tài)，而圖式則是由這三種知識(shí)構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)。雖然這四者具有先后順序，但實(shí)際上學(xué)生對(duì)某一數(shù)學(xué)概念的理解并不只是線性的，還可以是循環(huán)的。

新課標(biāo)一直倡導(dǎo)，學(xué)生是課堂活動(dòng)的主體，而教師則是活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。這和APOS學(xué)習(xí)理論是一致的。在初中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，也應(yīng)該做到讓學(xué)生在做中學(xué)，將抽象的概念內(nèi)化到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，而不是由教師將抽象概念灌輸給學(xué)生。根據(jù)筆者近四年的初中數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為有必要將APOS學(xué)習(xí)理論應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)，現(xiàn)結(jié)合九年級(jí)下“黃金分割”一課談?wù)凙POS理論在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

二、概念教學(xué)

1.概念的引入——活動(dòng)（Action）階段

這里的活動(dòng)是指學(xué)生通過(guò)教師預(yù)先設(shè)置的問(wèn)題進(jìn)行外部刺激，一步一步地通過(guò)引導(dǎo)性指令去感受一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)其實(shí)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，經(jīng)歷一系列的操作活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為。學(xué)生可以感受數(shù)學(xué)家探索實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的整個(gè)過(guò)程，通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐來(lái)獲得經(jīng)驗(yàn)、概念。其實(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程除了像生物、化學(xué)等學(xué)科中的觀察實(shí)驗(yàn)以外，還需要合情推理、演繹推理、運(yùn)算實(shí)驗(yàn)。沒(méi)有行為操作和心理操作，數(shù)學(xué)概念也就沒(méi)有了心臟，而教師則要扮演好課堂活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者的身份。

例如，筆者在“黃金分割”概念教學(xué)中，先是給出一組照片（如圖3），讓學(xué)生感受哪一張圖片第一眼的視覺效果更好看，學(xué)生基本上都會(huì)認(rèn)為中間一張更好看。這一環(huán)節(jié)的設(shè)置從外部刺激學(xué)生探究新知概念的興趣。也就是為什么大家都會(huì)有這種視覺的感受。緊接著將照片對(duì)象抽象為線段上的點(diǎn)（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生探究為什么照片對(duì)象在這樣的位置會(huì)看起來(lái)更好看。學(xué)生開始嘗試用“度量”的方法得到線段AB、BC和AC的長(zhǎng)度，教師引導(dǎo)：這三條線段之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系或比例關(guān)系？學(xué)生通過(guò)計(jì)算，得出≈0.618的黃金比。教師再引導(dǎo)：0.618具體是什么數(shù)？假設(shè)線段AC為單位1，會(huì)得出什么結(jié)論？學(xué)生嘗試?yán)梅匠趟枷?，設(shè)BC=x，由得到，解得。整個(gè)概念引入過(guò)程讓學(xué)生從操作、運(yùn)算等實(shí)踐活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)家的認(rèn)知過(guò)程，使學(xué)生深入地理解黃金分割點(diǎn)和黃金比概念的由來(lái)，而不單單是0.618或者是等生硬的數(shù)字。

2.概念的歸納——過(guò)程（Process）階段

經(jīng)過(guò)活動(dòng)的不斷重復(fù)，行為操作就可以內(nèi)化為一種叫作“過(guò)程（process）”的心理操作，但活動(dòng)不是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，一節(jié)課就40分鐘，如果放任活動(dòng)，教學(xué)效果也不會(huì)理想。因此就需要教師的引導(dǎo)者作用，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)過(guò)思維的內(nèi)化，從而歸納出特定概念所特有的性質(zhì)。學(xué)生一旦經(jīng)歷了這一“過(guò)程”，就有了之前活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)和思維，不需要再通過(guò)外部指令的刺激也能獲得概念。也就是說(shuō)，學(xué)生有了活動(dòng)階段形成的經(jīng)驗(yàn)和思維并可以自然地應(yīng)用，甚至還能夠?qū)⑦@些經(jīng)驗(yàn)和思維重新排列和組合，形成新的經(jīng)驗(yàn)思維。

例如，學(xué)生在第一環(huán)節(jié)歸納出了黃金分割點(diǎn)和黃金比的概念，而不必再進(jìn)行具體的運(yùn)算，并且能從單位1延伸到n的表達(dá)，也就是說(shuō)，當(dāng)已知點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)（AB>BC），當(dāng)AC=n，學(xué)生就能得到AB≈0.618n，那么他就已經(jīng)完成了這種“過(guò)程”模式的建構(gòu)，接下來(lái)教師可以繼續(xù)引導(dǎo)：“一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？”在這一階段，教師可以借助信息技術(shù)和多媒體手段輔助教學(xué)，這樣能更好地展示概念的內(nèi)涵和外延。

3.概念的鞏固——對(duì)象（Object）階段

當(dāng)學(xué)生能把內(nèi)化概念的“過(guò)程”進(jìn)行新一輪的實(shí)踐和轉(zhuǎn)化的時(shí)候，這一“過(guò)程”就轉(zhuǎn)化為學(xué)生心理內(nèi)部的一種獨(dú)立“對(duì)象”，也就是學(xué)生通過(guò)前面的活動(dòng)了解到了概念的形成過(guò)程，并對(duì)概念給出了具體的定義、數(shù)學(xué)符號(hào)以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使得概念更加具體和精致，并壓縮為一個(gè)具體的對(duì)象。這個(gè)“對(duì)象”的過(guò)程也就是對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行進(jìn)一步加工，使學(xué)生更新和建構(gòu)新的心理結(jié)構(gòu)，建立更清晰的概念表象。概念進(jìn)入“對(duì)象”階段時(shí)，建構(gòu)的結(jié)構(gòu)關(guān)系也就相對(duì)穩(wěn)定。

這一階段，教師可以設(shè)計(jì)2～3個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中鞏固概念，同時(shí)，教師注重剖析表達(dá)式中精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)所表示的含義，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中分析概念所適用的條件和范圍?！皩?duì)象”既是概括的結(jié)果，又是新的概括的起點(diǎn)。例如，在“黃金分割”一課中，筆者在問(wèn)題解決的過(guò)程中又提出了一個(gè)新的問(wèn)題：如圖5，下面的矩形中哪一個(gè)更好看？大部分同學(xué)都會(huì)選擇③號(hào)矩形。此時(shí)再次引導(dǎo)學(xué)生探究：為什么這樣的矩形更好看？這個(gè)矩形的寬和長(zhǎng)的比有什么特點(diǎn)？學(xué)生會(huì)在前面建立的思維引導(dǎo)下，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)寬與長(zhǎng)的比值就是黃金比。在這一過(guò)程中，筆者利用多媒體動(dòng)態(tài)演示，將矩形的寬BC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使得BC與長(zhǎng)AB共線，讓學(xué)生更加直觀地感受到點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，如圖6。

這一環(huán)節(jié)建立在學(xué)生已有的“黃金分割點(diǎn)”和“黃金比”的概念基礎(chǔ)上，又繼續(xù)探索研究生成的“黃金矩形”的概念。再次活動(dòng)探究，筆者又通過(guò)幾何畫板演示黃金曲線的生成過(guò)程，幫助學(xué)生內(nèi)化黃金矩形與黃金曲線概念的生成以及概念與概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。 在這個(gè)基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)黃金分割點(diǎn)進(jìn)行尺規(guī)作圖，并讓學(xué)生探討此種做法的科學(xué)性（如圖7）。通過(guò)新一輪的內(nèi)化、壓縮、解壓如此循環(huán)之后，學(xué)生最終形成完整的黃金分割概念這一“對(duì)象”。

4.概念的模型生成——圖式（Schema）階段

數(shù)學(xué)概念的“圖式”階段是經(jīng)歷了“活動(dòng)”“過(guò)程”“對(duì)象”包括已有的數(shù)學(xué)概念，和其他“圖式”一起進(jìn)行新的排列組合所形成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)。那么經(jīng)過(guò)上述三個(gè)階段的上升學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生已經(jīng)形成了關(guān)于黃金分割的概念，并且會(huì)更新和構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，它可用于解決與這個(gè)概念相關(guān)的問(wèn)題。那么黃金分割在實(shí)際生活中有哪些運(yùn)用？此時(shí)可以布置作業(yè)，讓學(xué)生利用書籍和網(wǎng)絡(luò)搜集有關(guān)黃金分割在建筑、音樂(lè)、美術(shù)、體育、生物等各個(gè)領(lǐng)域中運(yùn)用的實(shí)例，再進(jìn)行一次班級(jí)分享交流，使學(xué)生建立黃金分割與其他相關(guān)概念的綜合圖式。

APOS理論認(rèn)為概念的生成來(lái)源于學(xué)習(xí)者的反復(fù)操作和不斷反思，從而形成靜態(tài)結(jié)構(gòu)，也就是對(duì)象階段。初中階段的數(shù)學(xué)概念基本都涉及操作（活動(dòng)）、對(duì)象和過(guò)程，需要教師進(jìn)行組織、引導(dǎo)和協(xié)調(diào)，幫助學(xué)生構(gòu)建一個(gè)又一個(gè)連貫的概念框架，也就是APOS理論中所說(shuō)的綜合圖式，這種圖式可以幫助學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候靈活運(yùn)用所需的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)、動(dòng)手實(shí)踐、合作探索和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也對(duì)教師的綜合素養(yǎng)提出了更高的要求。

【參考文獻(xiàn)】

[1]曾玉祥.APOS理論在高等數(shù)學(xué)概念探究式教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育探索，2013（5）：42-43.

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