【源起】

筆者觀摩了一節(jié)以初中數(shù)學(xué)課本(浙教版)八上2.2 等腰三角形的性質(zhì)的課內(nèi)練習(xí)2 為引，在九年級上的一節(jié)探究性復(fù)習(xí)課。A教師立足課本，關(guān)注探究再拓展，但學(xué)生對問題的解答暴露以下教學(xué)設(shè)計的問題。

一、缺少學(xué)生需要的基本圖形意識和轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)

在例題與練習(xí)都是以等腰三角形為條件的情況下，但最后的練習(xí)題出現(xiàn)了等腰梯形，九年級的學(xué)生怎么也想不到把等腰梯形轉(zhuǎn)化為等腰三角形。

二、探究結(jié)論多，沒有找出各縱論之間的共性，探究價值沒有體現(xiàn)

【設(shè)計修改】

筆者以基本圖形為主線對本課的例題練習(xí)重新編排，設(shè)計問題串，在八年級基礎(chǔ)比較一般的平行班作為等腰三角形的一節(jié)復(fù)習(xí)探究課重新講了一次，獲得了很好的效果。

環(huán)節(jié)一(初探，生成結(jié)論，形成問題解決的基本方法)

例1.如圖1 在等腰三角形ABC中，AB=AC，P為BC的中點，則點P到AB，AC的距離相等，請說明理由。

圖1

圖2

追問1：點P到兩腰的距離與等腰三角形腰上的高有什么數(shù)量關(guān)系？

追問2：如圖2 若將底邊上的中點變?yōu)榈走吷先我庖稽c，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？

猜想并證明結(jié)論1：等腰三角形底邊上的點到兩腰的距離之和等于腰上的高。

環(huán)節(jié)二(練習(xí)鞏固，提升基本圖形的化歸能力與識別)

練習(xí)1：如圖3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點P在底邊BC上，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，BG⊥DC于G。證明：PE+PF=BG

圖3

圖4

圖5

教師引導(dǎo)：點P的情況及問題沒有變，但圖形變了，那么怎么辦呢？

(引導(dǎo)學(xué)生把等腰梯形化為等腰三角形直接應(yīng)用結(jié)論)

練習(xí)2：如圖4，已知正方形ABCD的邊長2，E是對角線BD上一點，BE=BC，P是EC上任意一點，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM+PN的值。

練習(xí)3：如圖5，在Rt△ABC中，∠A=900，D為AB上一點，AD：BD=1：3，BD=DC，P為BC上一點，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，若BC=4，求PE+PF的長。

環(huán)節(jié)三(例題再探)

教師：前面例1 中的點P位置還可以在哪里？(學(xué)生進行大膽討論，分類畫圖)

例2.如圖6，在例1 的條件下，若將等腰三角形的底邊上任意一點變?yōu)榈走呇娱L線上任意一點，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？

圖6

圖7

圖8

圖9

猜想并證明結(jié)論2：等腰三角形底邊延長線上任一點與兩腰的距離之差等于一腰上的高。

例3.已知等邊?ABC和點P，設(shè)點P到?ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，?ABC的高為h，若點P在一邊BC上(圖7，此時h3=0，可得h1+h2+h3=h，請你探索以下問題：當(dāng)P點在?ABC內(nèi)(圖8）和點P在?ABC外(圖9)這兩種情況時，h1，h2，h3與h之間有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想并簡要說明理由。

猜想并證明結(jié)論3：P點在等邊?ABC內(nèi)，有h1+h2+h3=h；點P在等邊?ABC外，有h1+h2-h3=h

【設(shè)計總結(jié)】

筆者認為幾何探究復(fù)習(xí)課的設(shè)計要考慮以下幾個方面。

一、明確基本圖形——教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，培養(yǎng)圖形意識

由本節(jié)引例來源確定基本圖形就是“等腰三角形”。

二、確保整節(jié)課探究過程的完整性，思維的延續(xù)性

本課探究的基本過程設(shè)計可以歸納為是：

環(huán)節(jié)一：原基本圖形中，某一要素①在特殊情況下的結(jié)論證明；②在一般情況下的結(jié)論猜想；③在一般情況下的結(jié)論證明；④一般性結(jié)論的應(yīng)用。

環(huán)節(jié)二：原基本圖形特殊化后，同一要素在一般情況下的結(jié)論猜想與證明。

三、以基本圖形為主線，保證圖形變化的有序性

本課以等腰三角形底邊上的點的位置變化為主線，初探與再探時從點P在等腰三角形底邊中點，到點P在底邊上再到點P在底邊的延長線上，后繼點P在等邊三角形內(nèi)，點P在等邊三角形外。從特殊到一般，再從一般到推廣的發(fā)展過程。

四、從探究問題的結(jié)論上要體現(xiàn)共性

本課先是基本圖形為等腰三角形時的和關(guān)系，然后是差關(guān)系，再到基本圖形特殊化為等邊三角形后的和與差的關(guān)系。不但讓學(xué)生能夠真正了解問題探究的一般過程，同時讓原來的五個不同結(jié)論在整體上統(tǒng)一成都是研究“一點到邊的距離與一邊上的高線之間的數(shù)量關(guān)系”。