李建國 劉梁華

【摘 要】 由“一核”“四層”“四翼”組成的中國高考評價體系，解決了高考“為什么考、考什么、怎么考”的問題，給出了高考命題的理論指引和方法指導(dǎo). 本文通過分析2020年的一道高考立體幾何試題，意在探尋高考數(shù)學(xué)學(xué)科命題中如何遵循這一指導(dǎo)方案.

【關(guān)鍵詞】 高考;立體幾何試題;一核、四層、四翼

2019年教育部考試中心制定《中國高考評價體系》，在高考“為什么考、考什么、怎么考”的問題上給出了明確的理論指引和方法指導(dǎo). 該體系包括了高考的核心功能、考查內(nèi)容和考查要求，即“一核：立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué);四層：核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識;四翼：基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.”[1] 2020年全國新高考Ⅰ卷（山東卷）數(shù)學(xué)試題就充分體現(xiàn)了該文件的指示精神，本文以卷中的一道立體幾何試題為例闡釋一二.

1 試題呈現(xiàn)

根據(jù)題目條件，四棱錐PABCD是一個棱長為1的正方體內(nèi)的四棱錐，如圖5（略去圖中的無關(guān)線段），直線l是棱A1P所在直線，平面QCD即為平面CDQR.

易知平面BCC1B1⊥平面CDQR，過點B作BH⊥RC，垂足為點H，則BH⊥平面CDQR，連接OH，∠BOH即為PB與平面QCD（平面CDQR）所成的角，設(shè)∠BOH=θ. 后面的解法同解法3.

上述兩種解法都需要學(xué)生在復(fù)雜的條件下綜合運用圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系獲得點B（或點P）到平面QCD的距離，并通過相互關(guān)聯(lián)的情境確定線段BO（或PO）的長度，計算出線面角的正弦值，獲得數(shù)學(xué)模型，并加以優(yōu)化，最終解決問題，達到直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的水平二的要求，甚至接近直觀想象素養(yǎng)水平三的要求 [3]. 對于解法1，學(xué)生需要根據(jù)日常學(xué)習(xí)的“基本圖形”并結(jié)合圖形中保持不變的量，通過創(chuàng)造性的思維方法獲得解題思路，過程中不僅需要有高水平的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)水平，更需要綜合運用直覺、形象、有邏輯的理性思維，提出新視角、新方法，創(chuàng)造性地解決問題，是創(chuàng)新思維的能力的具體體現(xiàn).

在關(guān)鍵能力層面，試題第（2）問不同的解題方法，展現(xiàn)不同層次的能力水平. 創(chuàng)新性的解法1是在探索研究了圖形中變與不變的關(guān)鍵量之后得出的解答方法，是高水平的創(chuàng)新實踐能力、空間想象能力、問題分析能力、推理論證能力的整合. 解法2（向量法）是立體幾何最為常規(guī)的解題思路，在得出函數(shù)模型以后，對模型的變形、分析、求解要求學(xué)生有很高層次的運算求解能力和問題分析能力. 解法3和4展現(xiàn)了學(xué)生高層次的空間想象能力、推理論證能力和函數(shù)模型的求解能力.

在必備知識層面，立體幾何的主干知識包括基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系兩部分. 具體構(gòu)成如下圖：

試題以四棱錐為載體，考查了線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)與判定，線面角、三棱錐的體積的計算和空間向量坐標、向量的夾角、向量的數(shù)量積、向量的模的運算. 囊括了立體幾何絕大部分的主干知識.

2.3 基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的試題四維設(shè)計理念

“四翼”立足于素質(zhì)教育的基本要求，呈現(xiàn)出高考命題需要把握的四個維度，是貫穿“四層”內(nèi)容的四條紐帶，通過對高考試題“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的命題要求，實現(xiàn)對學(xué)生學(xué)業(yè)水平達成度的科學(xué)評價和試題命制的難度、區(qū)分度、效度的有效調(diào)控.

在“基礎(chǔ)性”緯度上，試題利用立體幾何基本圖形四棱錐作為條件的載體，第（1）問是學(xué)生熟悉的證明線面垂直，第（2）問直接利用題目中原有的線線關(guān)系就可以建立空間直角坐標系，增加了條件“PD=AD=1”后，四棱錐可以補充為一個正方體，這些條件、所求、解題方法都在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本能力和基本素養(yǎng)，所以說試題注重情境的典型性、條件的基本性和解題方法的通用性，是“四翼”之基礎(chǔ)性特征的顯現(xiàn). 在“綜合性”緯度上，本題的第一個綜合點是在直線l的畫法上，題目沒有在已知的圖形上給出直線l，而是通過文字語言“設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l”描繪出直線的屬性，要求學(xué)生在只有一個公共點的圖形中作出直線l，綜合考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)水平;第二個綜合點是第（2）問的探索與解答，難點表現(xiàn)在兩方面，一是線面角的圖難畫，難以找到斜線的射影，二是最值的尋找，需要綜合運用幾何、三角、代數(shù)三方面知識解決問題，考查學(xué)生靈活調(diào)用所學(xué)知識，采用科學(xué)有效方法解決問題的能力水平，呈現(xiàn)出命題人高超的“綜合性”設(shè)計水平. 本題運用空間向量知識和函數(shù)知識來解決立體幾何問題，屬于“應(yīng)用性”緯度的展現(xiàn). 在“創(chuàng)新性”維度上，試題一改往年“一問證明，二問計算”的傳統(tǒng)套路，展現(xiàn)了一個探究最值的新面孔，體現(xiàn)了試題創(chuàng)新性的特點，而創(chuàng)新性的解法1，也體現(xiàn)出命題人對考生創(chuàng)新性解答的期待.

高考試題是一面鏡子也是一盞燈，它反映著考生的能力層次和素養(yǎng)水平，也給下一屆學(xué)生備考提供了努力的方向.在備考時，要關(guān)注立德樹人方面對數(shù)學(xué)學(xué)科的具體要求，把價值觀的引領(lǐng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升結(jié)合起來，讓學(xué)生積極思考主動探究，充分發(fā)揮學(xué)生理想信念和科學(xué)精神的引領(lǐng)作用;要關(guān)注核心價值、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識的研究與探索，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);要關(guān)注試題命制的特點，抓基礎(chǔ)、促綜合，注重數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.

參考文獻

[1] 教育部考試中心制定. 中國高考評價體系[S]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2] 祁平，任子朝，趙軒. 指明改革方向繪就培養(yǎng)藍圖[J]. 數(shù)學(xué)通報，2020，4（01）.

[3] 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

作者簡介 李建國（1969—），男，山東沂南人，中學(xué)高級教師，山東省臨沂市教育科學(xué)研究與發(fā)展中心數(shù)學(xué)教研員，山東省骨干教師. 近年在省級以上刊物發(fā)表論文10余篇.