◎ 金振華

2014 年，教育部出臺的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中，首次提出了“核心素養(yǎng)體系”這個概念，并且將核心素養(yǎng)定義為“適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力”。對于數(shù)學學科核心素養(yǎng)，許多專家也有相應的解釋，目前認可度最高的是三個方面：①用數(shù)學的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)；②用數(shù)學的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)；③用數(shù)學的語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)。落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)是必要的也是自然的，有的教師覺得，現(xiàn)有應試的壓力使得教學的絕大多數(shù)時間都花在解題上，很少有時間和機會去關注和培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。其實不然，對于學生的數(shù)學素養(yǎng)，只要教師加以重視，用探究的眼光去選取合適的教學方法，在日常數(shù)學教學活動中潛移默化、逐步滲透，不用額外增加學生的學習負擔，也能夠達成落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目標。

在日常教學中培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的方式（方法）有很多，其中HPM（History and Pedagogy of Mathematics，即數(shù)學史與數(shù)學教育）視角下的教學方式經(jīng)常被提及。根據(jù)教學目的和教學進程的需要，教師將數(shù)學史有機地融入教學過程中，促進學生掌握數(shù)學概念、方法和思想。然而數(shù)學史和教學結合的方式（方法）是否只是教師簡單地在課堂上講幾個數(shù)學歷史故事，介紹一下數(shù)學家的貢獻，為了課堂呈現(xiàn)活躍的效果而把數(shù)學史放在教學環(huán)節(jié)中？答案當然是否定的。每一個數(shù)學定理或者概念的產(chǎn)生和發(fā)展歷史處處體現(xiàn)著人類的智慧結晶，更融合了數(shù)學家們在數(shù)學思維方式上的能力和不斷進步的素養(yǎng)。接下來，筆者以“橢圓標準方程”一課為例，圍繞“教學流程”“概念引入”“概念探究”“概念應用”這四個課堂教學要素，來介紹數(shù)學史和數(shù)學教學的融合方式，以及探討數(shù)學史與數(shù)學教學融合對于發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的作用。

一、基于重演法則的教學流程

重演法則意味著人類學習數(shù)學的過程，在某種程度上就是要重演古人數(shù)學思考和探索的過程。［1］法國數(shù)學家龐加萊甚至這樣說過：“教育工作者的任務，就是要使兒童思想的發(fā)展踏過前人的足跡，迅速地走過某些階段，科學史應當是這項工作的指南?！?/p>

例如，在解析幾何的概念教學上就可以生動地運用重演法則。幾何學的歷史分為三個階段：無意識的幾何學、科學的幾何學、論證的幾何學。在具體的教學過程中，教師也可以模擬這三個階段進行教學。筆者在本節(jié)課的開篇引入、中期的公式推導和后期的問題解決這三個部分，模擬了人類對于橢圓認識的三個歷史階段。

（1）無意識的幾何認知。因為人類對于橢圓的初始認知是從直觀觀察開始的，所以教師通過生活中的實例引入，讓學生在無意識中認識橢圓，讓學生在這些感性知識的基礎上建立雖然最簡單但是科學的橢圓初始定義。

（2）科學地研究橢圓。在了解橢圓的基本形狀后，教師介紹早期橢圓的定義：橢圓上任意一點M向直徑AB引垂線，垂足為Q，則為常數(shù)。［2］然而這個定義較為復雜，因此這時學生可以再通過實驗（如使用折紙，直尺和線、橢圓規(guī)作圖，簡單的模型等）發(fā)現(xiàn)一系列橢圓更簡單的性質(zhì)。

具體實施的教學過程為：首先通過作圖和折紙歸納總結出橢圓的定義，即平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a（2a＞｜F1F2｜）的動點的軌跡叫橢圓，然后通過學生的作圖，探究以下四個問題：①2a＞2c＞0；②如果2a=｜F1F2｜，2a＜｜F1F2｜，動點M軌跡又是如何？③a，c的幾何呈現(xiàn)，焦點、焦距的定義；④抽象出｜MF1｜+｜MF2｜=2a（2a＞｜F1F2｜）。得到完善后的橢圓定義，同時也完成數(shù)和形的對比。通過對認識新事物的重演，從簡單到復雜、從表象到本質(zhì)的過程，學生的數(shù)學抽象、直觀想象等數(shù)學素養(yǎng)得到很好的鍛煉。

（3）論證幾何學。當學生們對于橢圓的表象認識已經(jīng)開始完善時，教師再以論證和演繹的形式向?qū)W生講授系統(tǒng)的橢圓方程，完成橢圓方程的證明。

具體實施的教學過程為：首先介紹解析幾何的發(fā)展史，公元前4 世紀，一直到17 世紀，笛卡兒的“幾何學”誕生了，開始用方程研究幾何圖形，就有數(shù)學家推導計算出橢圓的方程，接著模擬數(shù)學家當時對于橢圓標準方程的推導。

接著教師引導學生利用直角坐標系建系設標，進而利用橢圓定義列式，計算并化簡得到橢圓的標準方程，推演出焦點在不同位置時對應不同的曲線方程。在這一系列的運算過程中，學生的數(shù)學計算能力得到很大程度的提高，同時也體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想方法。

利用數(shù)學史進行重演的概念課并沒有過多地占用額外的課堂教學時間，教學效果明顯更好。在這一過程中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學教學越是真實地演化數(shù)學知識演進的過程，學生對之理解得越深刻。

二、基于直敘數(shù)學史的概念引入的課堂教學策略

由于數(shù)學概念往往比較抽象，所以概念的獲得往往需要從具體的實例出發(fā)，在教學活動中為學生提供一些具體的問題，或者能反映概念本質(zhì)屬性的典型實例作為引入。而這些實例就可以從大量的數(shù)學史料中去尋找，讓學生從真實的、可操作的實例中，通過類比、歸納、想象，找出共性結論，這樣還原了數(shù)學概念生成的自然性，而且學生在學習過程中思維保持活躍，思維能力得到訓練。

首先，筆者沒有僅僅只是介紹橢圓的形態(tài)，而是通過歷史上梅內(nèi)克繆斯發(fā)現(xiàn)橢圓的一個并不是很簡潔的性質(zhì)（利用正圓錐，得到橢圓上任意一點M向直徑AB引垂線，垂足為Q，則為常數(shù)）過渡到阿波羅尼茨得到的橢圓的定義，引導學生利用折紙、橢圓規(guī)作圖等手段，通過歸納、猜想，總結發(fā)現(xiàn)橢圓更加簡潔的性質(zhì)，用精確的數(shù)學語言得出橢圓的定義。接著，筆者通過插入雙球模型的介紹，總結回顧橢圓概念。這樣的教學過程設計，筆者考慮了兩個因素：①學生在歷史介紹過程中，經(jīng)歷了一個數(shù)學概念形成的一段濃縮的數(shù)學發(fā)展史，體會數(shù)學概念生成的曲折，感受數(shù)學家對數(shù)學的追求和思維方式，這也正是用數(shù)學的眼光看世界，用數(shù)學建模的思維體系去解決問題的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的體現(xiàn)；②學生在操作過程中，經(jīng)歷體會“數(shù)學抽象”過程，也正是發(fā)展核心素養(yǎng)的需要。

三、基于創(chuàng)生知識的概念探究的課堂教學策略

和重演法則不同的是，創(chuàng)生并不是簡單地引導學生通過重演學習數(shù)學，并不是把知識所謂一個既定的結果讓學生去“納入”，而是通過完成自己的“有限”經(jīng)歷，體會知識的來龍去脈，發(fā)現(xiàn)概念，主動獲得知識，就好像知識是學生自身創(chuàng)生出來一樣。［1］然而課堂時間有限，這意味著在學生的學習中，教師不應當讓他們重復過去的無數(shù)個錯誤，而是引導學生去踏準那些關鍵性的步調(diào)。

比如在這節(jié)概念課中，將推導橢圓的標準方程這個步驟安排在笛卡兒創(chuàng)立解析幾何這段歷史介紹之后。人類對于橢圓的認識順序也是如此，想要研究橢圓更多的性質(zhì)，只是單純地了解橢圓的定義是不夠的，因此在這里引入直角坐標系，讓學生用發(fā)展的眼光看數(shù)學，同時一步一步引導學生自己完成橢圓的建系、列式并化簡，從而最終得到橢圓標準方程。將一段枯燥的數(shù)學公式的推演，安排在特定的歷史環(huán)境和特定的需求下去完成。教師不去講述數(shù)學家在推導中遇到怎樣的困難，而是讓學生自己動手推演公式，在這個過程中體會計算的魅力，培養(yǎng)數(shù)學計算的核心素養(yǎng)。這里如果沒有數(shù)學史料的引入，只是簡單的灌輸，也能讓學生得到一定的思維訓練，然而這樣的訓練不如讓學生親歷人類數(shù)學發(fā)展過程中的曲折經(jīng)歷，通過自己的智慧創(chuàng)生新的技巧方法，來得更加有血有肉。教師應當充分發(fā)揮自身的教學智慧，合理營造數(shù)學史的育人環(huán)境，讓數(shù)學史在培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)中發(fā)揮應有的作用。

四、基于建構思維體系的概念應用的課堂教學策略

建構主義強調(diào)學生在建構過程中的主動積極性，以及建構過程中現(xiàn)實場域和人際互動的作用。這些思想認為所有的知識，都是學生已有的經(jīng)驗和新的知識交互作用的結果，數(shù)學學習并非是一個被動的吸收過程，而是一個以主體已有的知識和經(jīng)驗為基礎的、在特定的場景中主動建構的過程。

課末，筆者提出一個問題：如何應用本節(jié)課新學習的橢圓方程解決數(shù)學史中梅內(nèi)克繆斯所提出的問題？

對于這個問題的解決，當時古希臘數(shù)學家沒有解析幾何的基礎，因此解題非常困難和繁瑣。通過教師的啟發(fā)，學生利用解析幾何設點M（x，y），用x，y表示結果通過計算發(fā)現(xiàn)得到常數(shù)。學生在這個環(huán)節(jié)的過程中，完成對知識的建構，將橢圓的性質(zhì)和概念統(tǒng)一、系統(tǒng)化。用新知識去解決舊問題，用新技巧去考察舊定理，在這個思維習慣中，發(fā)展他們的數(shù)學數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。利用所學的技巧方法，去解決數(shù)學史上曾經(jīng)的問題，思考問題不僵化。無形中，學生的數(shù)學思維品質(zhì)得到鍛煉，同時也可迅速提升學習的成就感和獲得感。基于一定的數(shù)學史背景下進行數(shù)學建構教學，在信息豐富而又具有數(shù)學針對性的研究資源下，學生建構得最為成功。

首先，通過教師對數(shù)學發(fā)現(xiàn)的歷史的講述，重新復現(xiàn)了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的典型場景，對于學生數(shù)學知識的建構是最為有利的；其次，學生對數(shù)學知識的建構，均需建立在原有知識的基礎上，需要通過一步一步的階梯來達到高層次的水平，數(shù)學史將數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程按邏輯呈現(xiàn)出來，給學生提供了“階梯”；最后，數(shù)學知識的建構，也是學生自我經(jīng)驗和先人智慧“視界融合”的過程，古人通過數(shù)學史，更充分地“表達”了自己的觀念，因此能夠讓學生獲得更好的建構。

五、結論

必須承認，數(shù)學史引入課堂只是一種輔助的教學手段，不可能完全代替純粹的數(shù)學教學。然而這類補充方式，并不是可有可無的形式，也不只是簡單的數(shù)學歷史的普及，它至少有以下三個方面的優(yōu)點：①用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的發(fā)展史幫助學生更好地理解數(shù)學；②用數(shù)學的思維分析世界，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣；③用數(shù)學的語言表達世界，培養(yǎng)學生的人文素養(yǎng)，幫助學生了解數(shù)學的應用價值和文化價值，從而增強學生學習數(shù)學的動力。張奠宙教授認為，數(shù)學人才的培養(yǎng)需要有才、學、識這三個方面素質(zhì)。其中“識”即見識，是引導知識和能力走向何方的根本性問題，其背后是學生對于知識融會貫通之后的個人理解，體現(xiàn)了個人對人生觀和價值觀的感悟，而數(shù)學史恰恰在這其中起到很重要的作用。