周薛雪，蔚 濤

（四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610065）

一、引言

線性代數(shù)應(yīng)用十分廣泛，是各大高校非數(shù)學(xué)理工科專業(yè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，同時也是經(jīng)濟、管理以及部分醫(yī)學(xué)專業(yè)的一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程[1-3]。該課程的教學(xué)質(zhì)量對提高各相關(guān)專業(yè)本科教學(xué)質(zhì)量具有重要意義。近幾年來，國內(nèi)高校對線性代數(shù)教材進行了一些改革，在描述線性代數(shù)概念時注重將其同幾何解釋相結(jié)合，使得定義、定理更加形象，更容易被學(xué)生理解[4-6]。在實踐教學(xué)中適時地引入和其專業(yè)相關(guān)或和其生活中經(jīng)常接觸到的科學(xué)技術(shù)相關(guān)的例子，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以使得線性代數(shù)和其專業(yè)后續(xù)課程更好地結(jié)合起來。本文將以線性代數(shù)中的重要內(nèi)容——特征值、特征向量為例，設(shè)計兩個線性代數(shù)在我們生活中經(jīng)常接觸的技術(shù)領(lǐng)域和目前熱門技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用案例。希望通過這兩個應(yīng)用案例的講解，能夠讓學(xué)生對線性代數(shù)的廣泛應(yīng)用有初步認識，提高他們學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)他們進一步思考和探究線性代數(shù)在各專業(yè)的應(yīng)用。

二、特征值與特征向量在Google搜索引擎中的應(yīng)用案例

搜索引擎是大家?guī)缀趺刻於紩玫降墓ぞ?，其中對搜索結(jié)果進行排序的算法是所有搜索引擎的關(guān)鍵技術(shù)。Google搜索利用PageRank向量對搜索結(jié)果進行排序，其中值越大的分量對應(yīng)的網(wǎng)頁就被認為越重要，越應(yīng)被排在前面。PageRank向量建立的原理簡單描述就是：根據(jù)網(wǎng)頁之間的鏈接對網(wǎng)頁進行打分，從而確定搜索結(jié)果中網(wǎng)頁的排序。Markov鏈是數(shù)據(jù)預(yù)測和估計的重要工具，是計算機、電子信息、經(jīng)濟等專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)中都會涉及的內(nèi)容。希望通過舉例教學(xué)可以引發(fā)學(xué)生進一步探究線性代數(shù)在日常生活經(jīng)常接觸的科學(xué)技術(shù)中，或者他們各自的專業(yè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，提高他們學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，培養(yǎng)其分析問題、解決問題的能力。

三、特征值與特征向量在大數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用案例

大數(shù)據(jù)分析是現(xiàn)在的研究熱點之一，對大數(shù)據(jù)進行處理時，為了降低處理難度，通常需要對樣本數(shù)據(jù)進行降維，主成分分析法就是一種在盡可能少損失信息的前提下利用線性變換將高維數(shù)據(jù)投影到低維空間的方法。例如，我們對不同的汽車進行觀測，測量它們的座位數(shù)、輪胎數(shù)、車門數(shù)、車窗數(shù)、輪胎數(shù)、氣缸大小等，這些指標有的具有很強的相關(guān)性，在數(shù)據(jù)處理的時候需要刪除這種冗余信息。比如說家用轎車和商務(wù)車的輪胎數(shù)都是4個，因此輪胎數(shù)這個指標就并不能區(qū)別以上幾類車型，而這兩類車在尺寸上顯然差別較大，因此車的尺寸可以作為區(qū)別這兩類車的一個指標。所以，主成分分析法認為方差大的指標能更好地進行類的區(qū)別是合理的。PCA是大數(shù)據(jù)分析和機器學(xué)習(xí)常用的算法之一，是計算機、電子信息、經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)等專業(yè)的學(xué)習(xí)中會涉及的算法。這個例子里除了用到了線性代數(shù)中特征值和特征向量的內(nèi)容，還涉及了方陣對角化、坐標變換等內(nèi)容。特征值和特征向量是矩陣的重要屬性，除了在以上例子中的應(yīng)用外，它在力學(xué)、控制論、統(tǒng)計學(xué)等方面都有重要應(yīng)用。如果能結(jié)合上課學(xué)生的專業(yè)設(shè)計應(yīng)用案例，相信對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性將有很大幫助。

四、線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用案例設(shè)計的幾點思考

適時地在教學(xué)中添加與學(xué)生所學(xué)或所用密切相關(guān)的應(yīng)用案例，有以下幾點好處。

1.提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主觀能動性。從教學(xué)實踐看來，適時地在教學(xué)中添加和學(xué)生日常生活、專業(yè)學(xué)習(xí)相關(guān)的應(yīng)用案例，能夠極大地活躍課堂學(xué)習(xí)氛圍，引發(fā)學(xué)生間的討論和自主思考。

2.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。通過應(yīng)用案例的講解，一層層揭示待解決問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，然后思考這種問題在數(shù)學(xué)上的解決方法，學(xué)生還有機會體會到一個在實際中很復(fù)雜的問題，通過分析發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)上可能就是一個比較簡單的數(shù)學(xué)問題，增強解決問題的自信心，激發(fā)對于科學(xué)研究的興趣。

3.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力和歸納總結(jié)的能力。在通過應(yīng)用案例揭示問題數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想日常生活中遇到的其他問題，本質(zhì)上其實是同一個，可以用同樣的方法去解決；更進一步，對問題稍微拓展一下，本質(zhì)可能就是數(shù)學(xué)上這種問題的另一種情況，可以用相應(yīng)的方法去解決。通過這些例子，一步步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力和歸納總結(jié)的能力。

在選取應(yīng)用案例時，我們可能會遇到一些問題。

1.由于課時有限，因此在課堂上并沒有太多時間講很多案例，這時可以參考以下兩點解決這個問題：（1）詳講、略講和學(xué)生自主思考相結(jié)合，案例的引入最重要的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因此并不需要每個案例都詳細講解，這就需要對所設(shè)計的案例進行分類；（2）充分利用互聯(lián)網(wǎng)，線上教學(xué)和線下教學(xué)相結(jié)合，鼓勵和啟發(fā)學(xué)生自己尋找線性代數(shù)在所學(xué)專業(yè)中和日常生活中的應(yīng)用，并將想法通過郵件等線上交流方式反饋給老師，既在有限的課時中開闊了學(xué)生的眼界，了解所學(xué)知識在專業(yè)中或日常生活中的應(yīng)用，又刺激了學(xué)生的主觀能動性。

2.在設(shè)計案例時，為了避免煩瑣的數(shù)值計算，常常會引入MATLAB軟件輔助計算，這就需要學(xué)生有一定的MATLAB基礎(chǔ)。由于MATLAB屬于“傻瓜式”編程語言，對初學(xué)者非常友好；線性代數(shù)只用得到MATLAB編程語言中比較簡單的部分；現(xiàn)在很多線性代數(shù)教材后面都附有MATLAB在線性代數(shù)中的應(yīng)用。因此，花較少的課時（1—2課時）就可以讓同學(xué)對MATLAB有簡單的了解，并學(xué)會其在線性代數(shù)中的一些簡單運用。同時運用MATLAB進行畫圖，還可以讓學(xué)生對一些概念有比較直觀的幾何理解。

五、結(jié)束語

線性代數(shù)是現(xiàn)今高校大部分專業(yè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，但由于內(nèi)容抽象，很多學(xué)生覺得這門課就是一些關(guān)于符號和數(shù)字的數(shù)學(xué)游戲，學(xué)習(xí)的積極性和主動性都比較低。針對這種情況，在線性代數(shù)教學(xué)時，需要注重將概念同幾何解釋相結(jié)合，使得定義、定理更加形象，更容易被學(xué)生理解；在此基礎(chǔ)上，在教學(xué)中適時地引入和其專業(yè)相關(guān)、和生活中經(jīng)常接觸的科學(xué)技術(shù)相關(guān)、和當前熱點技術(shù)相關(guān)的例子，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和歸納總結(jié)的能力，也可以使得線性代數(shù)和其專業(yè)后續(xù)課程更好地結(jié)合起來，對提高教學(xué)質(zhì)量能夠起到十分積極的作用。