江蘇省鎮(zhèn)江市宜城中學(xué)(212028) 張 潔

1 問題的提出

省視當(dāng)下,尺規(guī)作圖復(fù)習(xí)題與中考題都會(huì)考查經(jīng)典的尺規(guī)作圖問題,結(jié)合復(fù)習(xí)課,目前面臨著以下問題: 尺規(guī)作圖基本概念掌握不牢固、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂單向傳輸、尺規(guī)作圖到直尺作圖創(chuàng)新轉(zhuǎn)化困難. 這些問題使尺規(guī)作圖復(fù)習(xí)課堂效率不高,有必要在教學(xué)方式上進(jìn)行創(chuàng)新,下文擬從“情境”與“問題串”的視角作一些探討.

2 情境教學(xué)課堂演示案例

2.1 示例1

(2019年浙江· 嘉興卷· 改編) 在6×6 的方格紙中, 點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,按要求畫圖:

問題1: 在圖1 中找一個(gè)格點(diǎn)D,使以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

圖1

圖2

師: 我們學(xué)習(xí)過尺規(guī)作圖和網(wǎng)格作圖,你能找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎,你是如何找到呢?

生: 如圖2,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),對(duì)邊平行且相等,數(shù)格子可以找到對(duì)應(yīng)的D1,D2,D3.

問題2: 在圖3 中僅用無刻度的直尺,把線段AB三等分(保留畫圖痕跡,不寫畫法).

圖3

圖4

師: 根據(jù)我們復(fù)習(xí)的尺規(guī)作圖、直尺作圖的內(nèi)容,你會(huì)畫什么平分線呢?

生: 垂直平分線.

師: 雖然沒有復(fù)習(xí)過三等分點(diǎn)的畫法,你能借助直尺與網(wǎng)格以及圖形的性質(zhì)找出三等分點(diǎn)嗎?

生: 可以,如圖4,我們可以找到格點(diǎn)D、E、M、N,連接DE、MN,與AB交于O1,O2,所以AO1:AO2= 1 : 2,同理得出O1,O2是三等分點(diǎn).

問題3: (改編題) 在圖5 中僅用無刻度的直尺, 畫出∠APD的角平分線(保留畫圖痕跡,不寫畫法).

圖5

圖6

師: 三等分點(diǎn)我們運(yùn)用了相似三角形的知識(shí),而圖5 出現(xiàn)了非格點(diǎn),你會(huì)利用什么工具解決呢?

生: 直尺和圓規(guī).

師: 但是問題3 給出的限定條件是: 僅用無刻度的直尺.你有解決辦法嗎?

生: 我們探討發(fā)現(xiàn),D是問題1 中的D2點(diǎn),我們可以利用問題1 中的平行四邊形的性質(zhì),連接CD、AD、BD,AD與BC交于O,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),連接PO并延長,即PO為角平分線.

評(píng)析: 在蘇科版八年級(jí)上冊(cè)課本中,提到垂直平分線的尺規(guī)作圖. 本題三等分點(diǎn)難度較大,借助九年級(jí)已學(xué)相似三角形的有關(guān)知識(shí),從垂直平分線引出三等分點(diǎn)的問題串. 由問題改編加入問題3,因?yàn)樵谥背咦鲌D的情境問題串的條件下,無法用圓規(guī)作圖,只能利用直尺,所以本題又回到八年級(jí)等腰三角形的基本性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)上,問題迎刃而解. 問題3的加入,可以讓學(xué)生充分利用問題1 與2 的結(jié)論思考并解決問題,從“造境”到“串問”,環(huán)環(huán)相扣,讓學(xué)生變得靈動(dòng).

2.2 示例2

(2019年天津卷· 改編) 邊長為1 的正方形網(wǎng)格中, ΔABC的定點(diǎn)A是格點(diǎn),B是中點(diǎn), ∠ABC= 50°,∠BAC=30°,經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓,圓心在AC上.

問題1:AB=____;

師: 如圖7,如何利用網(wǎng)格計(jì)算線段長度?

生: 根據(jù)勾股定理知:AB=

問題2: (改編題)用無刻度的直尺,找出圓心O;

師: 在復(fù)習(xí)過示例1 的前提下,你會(huì)利用直尺作圖嗎? 你能說出理由嗎?

生: 如圖8,找到格點(diǎn)E、F,連接EF,與AC的交點(diǎn)即為圓心O.

問題3: 請(qǐng)你在給定的網(wǎng)格中, 用無刻度的直尺, 在ΔABC的內(nèi)部畫P,使其滿足∠PAC= ∠PBC= ∠PCB,并簡要說明P的位置是如何找到的(不要求證明)_______.

圖7

圖8

圖9

師: 畫角相等你會(huì)用什么方法呢?

生: 尺規(guī)作圖畫一個(gè)角等于已知角.

師: 問題3 的限定條件仍然是直尺作圖,你是用什么基本知識(shí)解決的呢?

生: 如圖9, 設(shè)AB與格子交于D點(diǎn), 連接DO并延長交于Q, 因?yàn)镈是AB的中點(diǎn), 所以O(shè)D⊥AB,易 知ΔQOC∽= ΔBOC, 所 以QC=BC, ∠QCO=∠OCB= 100°, 所以得∠PCB= ∠PBC= 20°, 由此得ΔAOP∽= ΔQOP,即∠PAC=∠PCB=∠PBC=20°.

評(píng)析: 本題難點(diǎn)在于問題,大部分學(xué)生不明所以. 本題根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì),改編加入問題2,造境、串問并讓學(xué)生感到題目不再陌生. 結(jié)合三角形全等的性質(zhì)得出推導(dǎo)過程,重現(xiàn)本題的重難點(diǎn),讓學(xué)生讀透問題串,掌握問題三角形全等與圓有關(guān)性質(zhì)的本質(zhì),讓課堂變得如此靈動(dòng).

2.3 基礎(chǔ)知識(shí)的回歸——追根溯源

仔細(xì)閱讀上述3 道中考題及改編題,可以看出,題目中的情境問題串已經(jīng)指向課本中的三角形、平行四邊形、圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),但學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中很難看透問題中的知識(shí)點(diǎn).此時(shí),需要教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)書本知識(shí),系統(tǒng)整理課本關(guān)聯(lián)知識(shí),找到其知識(shí)本源,回歸課本知識(shí),以不變應(yīng)萬變.

3 尺規(guī)作圖情境教學(xué)探討

3.1 引導(dǎo)——從單一到系統(tǒng)

由已學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)未知問題的解決,需要對(duì)知識(shí)的整理、消化. 中考復(fù)習(xí)課,教師可以根據(jù)中考真題加入情境以及問題串, 作好知識(shí)鋪墊, 引導(dǎo)學(xué)生不斷探討, 提高學(xué)習(xí)興趣.以上文中“直尺作圖”為例, 由2 道中考題引申到n個(gè)知識(shí)點(diǎn),舉一反三. 九年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣已經(jīng)養(yǎng)成,可以在教師的引導(dǎo)下, 改變過去單純由教師講解知識(shí)點(diǎn)的傳統(tǒng)教學(xué)模式,通過題串讓學(xué)生動(dòng)起來,把自主權(quán)交給學(xué)生.

3.2 設(shè)問——從單向到互動(dòng)

九年級(jí)學(xué)生在掌握了3年的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上,復(fù)習(xí)時(shí)間較長,難度較大,部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感到厭倦. 新題型的情境問題串引入,可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力,也使教學(xué)不再枯燥無趣. 上文的中考題都是以情境問題串為核心內(nèi)容,以“直尺作圖”作為切入點(diǎn),以情境問題作為探討的線索,循序漸進(jìn)地貫徹到中考題的每一個(gè)問題中. 改編題型以課本的知識(shí)為情境,圍繞三角形、平行四邊形、圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行情境層層設(shè)問,自然過渡到已經(jīng)復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn). 為此,教師在復(fù)習(xí)過程中,需要肯定學(xué)生的創(chuàng)造性,引導(dǎo)其透過表象看本質(zhì),提高復(fù)習(xí)效率,促進(jìn)核心素養(yǎng)提升.

3.3 引申——從舊知到新知

從2019年尺規(guī)作圖的題型可以看出,“直尺作圖”并不是書本上提到的內(nèi)容,學(xué)生遇到新題型感到束手無策,其主要原因在于對(duì)書本知識(shí)掌握不夠牢固. 嘉興題則是從平行四邊形入手,問題串“直尺作圖”的切入點(diǎn)則是相似三角形的基本性質(zhì)、等腰三角形的三線合一基本性質(zhì);天津題則是從圓的相關(guān)知識(shí)作為切入點(diǎn),問題串的解決是結(jié)合三角形全等的基本判定定理. 這些知識(shí)是我們中考復(fù)習(xí)中書本的基礎(chǔ)知識(shí),也是復(fù)習(xí)重點(diǎn). 直尺作圖雖然是新題型,但是教師復(fù)習(xí)時(shí)加入題串可以讓學(xué)生自然地過渡到新知.

4 結(jié)語

中考復(fù)習(xí)中,教師要根據(jù)新課標(biāo)的要求,引導(dǎo)學(xué)生從中考題看基礎(chǔ)知識(shí),也就是說,要促使學(xué)生在原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上,思考數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程. 中考復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重,要在有限的時(shí)間內(nèi)提高復(fù)習(xí)效率,就要系統(tǒng)地復(fù)習(xí)書本基礎(chǔ)知識(shí),回歸課本. 教師在中考復(fù)習(xí)中根據(jù)真題設(shè)置情境問題串,引導(dǎo)學(xué)生牢固掌握舊知,并結(jié)合情境的引導(dǎo),讓學(xué)生不斷從舊知引申出新知,理解、掌握新知,有效提高考試成績.