高潔 顧群

摘? 要：通過對一道幾何壓軸題的解法分析，獲得了重視基本圖形、基本方法、一題多解、多解歸一等教學(xué)啟示. 通過對一道題目的深層次探索，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識框架，逐步培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度.

關(guān)鍵詞：聚焦思維;一題多解;分類討論;幾何綜合

幾何綜合題一直以來是很多學(xué)生不易突破的難點(diǎn)，它是以幾何知識和幾何圖形為背景，又與代數(shù)中的函數(shù)、方程等知識相結(jié)合所構(gòu)成的一類綜合問題. 要解決這類問題，既要求學(xué)生全面掌握基礎(chǔ)知識，又要特別關(guān)注解決問題的一些基本方法. 例如，如何求函數(shù)解析式？為什么要進(jìn)行分類討論？按怎樣的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論？等等. 整道題目由問題串的形式組成，要求學(xué)生既要明確各小題的解題思路，也應(yīng)感受到問題探索過程中各小題之間的關(guān)聯(lián). 在解題教學(xué)過程中，教師應(yīng)精選題目，從學(xué)生的困難處著手，注重分析與解決問題的過程與方法的引導(dǎo). 聚焦思維，一題多解，逐步培養(yǎng)學(xué)生思維的深度與廣度. 基于以上考慮，筆者聯(lián)合命題專家，以2021年上海市楊浦區(qū)一模考試第25題這道幾何壓軸題為例，分析和探究多樣解法，與大家分享.

一、題目呈現(xiàn)

題目? 如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4，點(diǎn)D為邊BC上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，∠EDB = ∠ADC，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)G，交射線AC于點(diǎn)F.

（1）如果點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求∠DAB的正切值;

（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)，設(shè)CD = x，CF = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;

（3）連接DF，如果△CDF與△AGE相似，求線段CD的長.

這道題目的靈感來源于八年級的一道幾何題，命題者以源知識為起點(diǎn)，將其放在九年級的背景下與大家見面，題目線條簡潔、內(nèi)涵豐富，涉及的知識點(diǎn)有全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角比、解直角三角形及三角形一邊的平行線性質(zhì)等. 學(xué)生觀察的角度不同，選擇的切入點(diǎn)和構(gòu)圖方式就會不同，因此產(chǎn)生了很多精彩的解法. 此題無論是從對學(xué)生解題方法的檢驗(yàn)還是思維能力的考查上來看，都是一道不可多得的好題.

二、總體分析及困難診斷

1. 讀題析圖

此題是一道以等腰直角三角形為背景的綜合題. 在讀完題目后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對題目條件和圖形有一個總體的把握. 在基本圖形方面，由∠C = ∠AGF = 90°，發(fā)現(xiàn)△AFG ∽△ADC，∠AFG = ∠ADC. 結(jié)合題目條件∠EDB = ∠ADC，得∠AFG = ∠EDB. 再結(jié)合等腰直角三角形ABC中∠CAB = ∠B，不難發(fā)現(xiàn)△AFE ∽△BDE. 但考試后了解發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生沒有順利求出第（2）小題解析式，是由于讀題析圖、分析基本圖形的準(zhǔn)備工作沒有做到位，導(dǎo)致并沒有發(fā)現(xiàn)圖中的這組相似. 因此，在做題之前，結(jié)合題目條件對圖形進(jìn)行簡單地分析必不可少.

2. 關(guān)注各小題之間的關(guān)聯(lián)

第（1）小題中，要求在點(diǎn)D為BC中點(diǎn)的特殊前提下，求∠DAB的正切值. 在解題教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生意識到，當(dāng)點(diǎn)D不是特殊點(diǎn)，而是邊BC上一個動點(diǎn)時(shí)，如第（2）小題，CD = x，仍可以用解第（1）小題同樣的方法，將∠DAB的正切值用含有x的代數(shù)式表示. 這體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法，也為第（3）小題的解答埋下伏筆. 很多在第（3）小題的求解中走彎路的學(xué)生，就是沒有意識到可以將兩三角形相似進(jìn)行討論，轉(zhuǎn)化為討論兩個銳角相等，且在△AGE中∠GAE的正切值是可求的.

3. 關(guān)注題目中有關(guān)動點(diǎn)的關(guān)鍵語句

在主題干中，點(diǎn)D為邊BC上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），點(diǎn)D的運(yùn)動導(dǎo)致點(diǎn)E，F(xiàn)，G的位置也隨之發(fā)生變化. E為邊AB上一點(diǎn)，∠EDB = ∠ADC，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)G，交射線AC于點(diǎn)F.

注意，這里要求“交射線AC于點(diǎn)F”. 在第（2）小題中，限定了當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)這種情形，而在第（3）小題，沒有了這種限定.

因此，在第（3）小題中，應(yīng)從圖形運(yùn)動的角度，對點(diǎn)D的運(yùn)動導(dǎo)致點(diǎn)F的位置變化進(jìn)行分類討論，如圖2 ～ 4所示. 其中，圖3是點(diǎn)F與點(diǎn)C重合的一個極端位置，這種情形也為第（2）小題函數(shù)定義域的求解埋下伏筆.

三、關(guān)于第（2）小題求解的思路探究

思路1：如果在讀題析圖環(huán)節(jié)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了△AFE∽△BDE，而在第（2）小題的條件下，其中一組相似比[AFDB]已經(jīng)可以用[4-y4-x]表示，因此只需再表示出一組相似比，就可以用相似提供的比例式列方程，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系. 因此，將目標(biāo)鎖定為表示出[AEEB].

方法1：如圖5，從構(gòu)造基本圖形的角度考慮，可以嘗試過點(diǎn)E作EP∥AC交CB于點(diǎn)P，由EP∥AC，可得[BEAB=EPAC].

將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為用含有x或y的代數(shù)式表示EP.

關(guān)于第（2）小題中的定義域，關(guān)注到主題干中的條件“D為邊BC上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合）”及第（2）小題的小前提“當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)”，當(dāng)點(diǎn)D從極端位置點(diǎn)C開始向右運(yùn)動的過程中，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，如圖3所示. 若點(diǎn)D繼續(xù)向右運(yùn)動，點(diǎn)F會交在AC的延長線上，如圖4所示. 因此，第（2）小題函數(shù)的定義域應(yīng)為0 < x ≤ 2. 當(dāng)然，我們也可以結(jié)合求得的函數(shù)解析式獲得定義域.

四、關(guān)于第（3）小題的思路探究

在最初的總體分析中，筆者已經(jīng)提到，在閱讀主題干的過程中應(yīng)當(dāng)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，第（2）小題限定了當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)這種情形，而在第（3）小題中，沒有了這種限定. 因此，在第（3）小題中，應(yīng)從圖形運(yùn)動的角度，對點(diǎn)D的運(yùn)動導(dǎo)致的點(diǎn)F的位置變化進(jìn)行分類討論，即：① 當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上;② 當(dāng)點(diǎn)F在線段AC的延長線上. 在這兩種情況下，由于要討論的△CDF和△AGE均為直角三角形，已經(jīng)有∠FCD = ∠AGE = 90°，因此，在每種情況下，我們只要再針對銳角的對應(yīng)情況，分別按兩小類進(jìn)一步進(jìn)行分類，即∠DAE =∠FDC，或∠DAE = ∠DFC.

明確了此題的分類標(biāo)準(zhǔn)，有學(xué)生又陷入了另一個難點(diǎn). 在△FCD中，F(xiàn)C = y，CD = x，[FD=x2+y2]. 但△AGE的三條邊均未表示出來，因此有同學(xué)花費(fèi)了很大的精力，試圖表示△AGE的某兩條邊，想利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式，結(jié)合y與x的函數(shù)關(guān)系，求解出x的值，即CD的長.

上述做法耗時(shí)長且運(yùn)算量大. 但如果我們在審題階段就能關(guān)注到各小題之間的關(guān)聯(lián)，將第（1）小題點(diǎn)D為邊BC中點(diǎn)的特殊情形推廣到一般，當(dāng)CD = x時(shí)，仍可以用求解第（1）小題同樣的方法，將∠DAB的正切值用含有x的代數(shù)式表示. 這體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法.

五、教學(xué)反思

1. 聚焦思維，注重分析與解決問題的過程與方法

身為教師，在講解題目前，應(yīng)當(dāng)首先感悟出題者的意圖，從多個角度切入研究可能的解題思路，并與所學(xué)知識相關(guān)聯(lián). 在自身對題目有了全面深刻的認(rèn)識后，還應(yīng)弄清楚學(xué)生的困惑和可能走的彎路，這樣才能更有針對性、啟發(fā)性地進(jìn)行解題教學(xué).

（1）讀題析圖，關(guān)注基本圖形的把握.

對于這道題目而言，讀完題目，首先應(yīng)發(fā)現(xiàn)的是△AFG與△ADC這組相似三角形，然后結(jié)合題目給定的∠EDB = ∠ADC，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)△AFE ∽△BDE.

（2）一題多解，多解歸一.

對于第（2）小題的求解，發(fā)現(xiàn)了△AFE ∽△BDE，可以很自然地將問題轉(zhuǎn)化為求[AEEB]. 思路1中提供的四種方法，有的是將[AEEB]作為整體，嘗試的各種構(gòu)圖;也可以通過適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，將AE與EB分別表示. 將這類解法放在一起，既能讓學(xué)生感受“一題多解”，又可以體會到“多解歸一”，從而感悟歸納出一套求線段比的常見方法.

（3）總結(jié)構(gòu)圖方法，提升思維品質(zhì).

如此題第（3）小題思路4的切入點(diǎn)，其實(shí)是利用∠EDB與∠ADC這組相等的角，從對稱性的角度考慮進(jìn)行構(gòu)圖的. 從物理作圖的角度來看，如果我們將AD和DE分別看作“入射光線”和“反射光線”，方法8是添加了“法線”，而方法9則是找到了“像點(diǎn)”. 事實(shí)上，對于含有此類對稱性角相等的題目，很多時(shí)候都可以嘗試這樣的構(gòu)圖方式.

2. 關(guān)注各小題之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行解題規(guī)律的總結(jié)

（1）關(guān)注特殊，推廣一般.

如此題第（1）小題中，求在點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時(shí)∠DAB的正切值，推廣至一般，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動時(shí)，CD = x，同樣可以將∠DAB的正切值用含有x的代數(shù)式表示. 這一意識對求解第（3）小題有著至關(guān)重要的作用.

（2）合理化歸，優(yōu)化方案.

在第（3）小題中，將對兩個直角三角形相似的討論轉(zhuǎn)化為兩銳角相等的討論，而這兩個相等銳角的三角比又可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化到能夠方便我們使用的直角三角形中進(jìn)行計(jì)算. 能夠利用化歸思想，不斷轉(zhuǎn)化問題，從而優(yōu)化解題過程，是學(xué)生思維靈活性的體現(xiàn).

（3）分類討論，遷移運(yùn)用.

在審題過程中，關(guān)注到第（2）（3）兩小題中，交點(diǎn)F位置限定的不同，是第（3）小題分類討論的切入點(diǎn). 當(dāng)點(diǎn)F在AC延長線上時(shí)，雖然第（2）小題求得的函數(shù)解析式不再適用，但研究和解決問題的方法是通用的. 只要能將此方法進(jìn)行類比、遷移，點(diǎn)F在AC延長線上時(shí)的函數(shù)解析式就會迎刃而解.

3. 構(gòu)建知識框架，化“新”為“舊”

此題利用到的圖形框架和正方形、等腰直角三角形有緊密的聯(lián)系，思路2和思路3中的構(gòu)圖，都是以之前的某個小的知識點(diǎn)或基本圖形為切入點(diǎn)打開突破口的. 如果我們能夠在解題教學(xué)的過程中喚醒學(xué)生的舊知，幫助學(xué)生構(gòu)建起知識框架，不再是孤立地去看一道新題，而是將其不斷納入已有的框架體系，長此以往，學(xué)生的解題能力會逐漸提升，思維的深度和廣度都會得到鍛煉.

參考文獻(xiàn)：

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