李芳

摘 要：數(shù)學(xué)概念具有對象和過程的兩重性，它既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過程[1]。因而，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)，也應(yīng)該讓學(xué)生體驗到概念的形成過程。本節(jié)課以APOS理論為載體進行教學(xué)設(shè)計，符合當(dāng)前的教學(xué)趨勢，能夠為概念教學(xué)提供一些借鑒。

關(guān)鍵詞：概念; APOS理論; 教學(xué)設(shè)計

中圖分類號：G623.5 ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1006-3315（2021）1-100-002

一、APOS理論概述

APOS理論是美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基基于皮亞杰的建構(gòu)主義而提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，指出學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時會主動地進行心理建構(gòu)。這里的心理建構(gòu)過程包含操作階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）、圖式階段（Schema）四個階段，APOS則是由這四個階段的英文單詞首字母組成。該理論認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果引導(dǎo)學(xué)習(xí)者經(jīng)過活動操作、思維過程和形成對象三個階段后，個體一般就能經(jīng)過建構(gòu)、反思把它們組成綜合的圖式從而厘清問題情境、順利解決問題[2]。這四階段對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)來說缺一不可，忽略任何一個階段都會影響學(xué)生對概念的掌握，所以在具體教學(xué)活動中要遵循概念學(xué)習(xí)過程的整體性以實現(xiàn)概念的完整建構(gòu)。

APOS理論主要是針對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)而提出的。理論強調(diào)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，首先要有一定的現(xiàn)實背景，并在此基礎(chǔ)上進行活動，從而獲得一定的知識和經(jīng)驗，在自我反思的基礎(chǔ)上對概念的現(xiàn)實背景和形式定義進行綜合，建構(gòu)起數(shù)學(xué)概念[3]。這四個階段都有著各自的內(nèi)容和含義，也可以說每一階段的概念教學(xué)，教師都有相對應(yīng)的教學(xué)任務(wù)。在活動階段，教學(xué)活動可以從實際的動手操作或者內(nèi)在的思維操作兩個方面入手，讓學(xué)生建立初步的認(rèn)知;在過程階段，教師可以適當(dāng)延長對此部分的教學(xué)，耗時多一點，可以有助于學(xué)生掌握住這個概念的核心內(nèi)涵;在對象階段，可以通過設(shè)置練習(xí)，讓學(xué)生形成完整的知識鏈，進行更高層次的操作;最后的圖式階段，教師則應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生自主建立圖式，完成對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。

二、APOS理論指導(dǎo)下《比的認(rèn)識》概念教學(xué)的前期分析

（一）運用APOS理論進行比的認(rèn)識的可行性

1.學(xué)生學(xué)習(xí)“比”的困難分析。比的知識可以幫助學(xué)生解決生活中廣泛應(yīng)用的按比分配的實際問題，比例又有助于人們更好地認(rèn)識現(xiàn)實世界、預(yù)測未來。小學(xué)六年級是學(xué)生首次接觸比的概念，雖然有的學(xué)生在生活中已經(jīng)接觸或使用過比，并且有與之相關(guān)的活動經(jīng)驗，但是學(xué)生對比的理解僅僅停留在形式上，學(xué)生理解起比的意義比較困難。

在“比的認(rèn)識”的初步認(rèn)識教學(xué)中，學(xué)生感到困難的地方在于要經(jīng)歷從具體的情境中抽象出比的意義的過程。例如，學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中“長方形的長和寬之間的比”“正方形周長與邊長的比”“斜坡的比”等是不夠豐富抽象出概念的，可以結(jié)合現(xiàn)實背景運用“路程、時間、速度”和“總量、單價、數(shù)量”這兩個非常重要的模型，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)量關(guān)系的理解，豐富對比的認(rèn)識。

2.APOS理論的自身優(yōu)越性。APOS理論的活動階段讓學(xué)生在反復(fù)的操作中形成對數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力;程序階段注重學(xué)生自身的心理建構(gòu)，在不斷反思抽象過程中有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力與反思意識;對象階段需要將數(shù)學(xué)概念壓縮成具體的對象去實施運算，培養(yǎng)六年級學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用意識、應(yīng)用能力;圖式階段學(xué)生通過對數(shù)學(xué)概念的整理、歸納，刺激學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，并且在不斷建構(gòu)數(shù)學(xué)概念體系過程能夠提升六年級學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識的能力。在比的概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生首先通過現(xiàn)實情境或者操作感知比的概念，在頭腦中建立起對“比”的初步的表象，接著用語言去歸納總結(jié)出比的概念，并進一步理解比的意義，在此基礎(chǔ)上進行應(yīng)用。由此可以看出，APOS理論適用于比的認(rèn)識的概念教學(xué)。

（二）教學(xué)內(nèi)容分析

《比的認(rèn)識》是北師大版數(shù)學(xué)六年級下冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這部分是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)的除法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。由于剛一接觸“比”，學(xué)生真正理解并記住比的概念會非常的困難，因而教材中密切聯(lián)系了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，設(shè)置了相關(guān)系列情境，引發(fā)了學(xué)生的討論與思考，并在此基礎(chǔ)上抽象出比的概念，使學(xué)生體會引入比的重要性以及在現(xiàn)實生活之中比的廣泛存在。這一系列情境的設(shè)置由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生在獨立思考、實際操作以及合作交流中，體會生活中存在兩個數(shù)量之間“比”的關(guān)系，并且逐步理解“比”產(chǎn)生的背景，理解“比”的意義。掌握比的概念和意義，為以后進一步學(xué)習(xí)圓周率、百分?jǐn)?shù)、統(tǒng)計以及比例奠定基礎(chǔ)。掌握比的概念需要進一步發(fā)展學(xué)生對分?jǐn)?shù)和除法的認(rèn)識，溝通起來知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生把相關(guān)知識發(fā)展梳理成連貫的脈絡(luò)。

（三）教學(xué)目標(biāo)分析

在進行教學(xué)設(shè)計之前，首先要明確一個問題：學(xué)習(xí)者能夠通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)學(xué)會什么？教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置能夠很好地回答這一問題。教學(xué)目標(biāo)既是教學(xué)設(shè)計的目的，也是前提條件。因此我們需要對研究對象的教學(xué)目標(biāo)有一個清晰的把握。

知識與技能目標(biāo)：經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程，理解比的意義，能正確讀寫比，會求比值;過程與方法目標(biāo)：學(xué)生經(jīng)歷探索比與分?jǐn)?shù)、除法關(guān)系的過程，理解比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系;情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：學(xué)生在活動中培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括的能力，在解決實際問題中體會比在生活中的廣泛應(yīng)用，感受比的價值。

（四）教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：比的概念理解

教學(xué)難點：理解比的意義以及比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系

三、APOS理論下《比的認(rèn)識》的教學(xué)設(shè)計

（一）活動階段

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣。師：一天，笑笑到王阿姨家做客，王阿姨用蜂蜜和水調(diào)了一杯蜂蜜水給她喝，甜味適中，非常美味。幾天后，笑笑家來了幾位好朋友，她也想調(diào)制蜂蜜水用來招待客人。可是，蜂蜜水應(yīng)該怎么泡呢？她打電話給王阿姨，王阿姨說：“我是把10毫升蜂蜜倒入90毫升的水里，上下?lián)u晃均勻，就可以了?！?/p>

2.聯(lián)系舊知，引入概念。師：這一杯甜度適中的蜂蜜水是怎樣調(diào)制的呢？最重要的是什么呢？

師：大家找到調(diào)制蜂蜜水的方法這么多，蜂蜜的量在變，水量也在變，為什么調(diào)制出的蜂蜜水依舊“甜味適中剛剛好”呢？

【設(shè)計意圖】活動階段，個體通過一步一步的外顯性指令去改變一個客觀的數(shù)學(xué)對象。教師通過具體的生活情境引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生真實的感受到“比”在生活中的真實存在。本環(huán)節(jié)一方面使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，達(dá)到更好的教學(xué)效果;另一方面又能聯(lián)系以前學(xué)過的知識表示兩個量之間的關(guān)系，同時也為新知“比”也可以表示兩個量之間的關(guān)系做了鋪墊。

（二）過程階段

1.動手操作，加深理解。師：用圖示表示“1[∶]9”深化理解。分一分，涂一涂表示出這個比。從這幅圖中你還能想到誰和誰的比是1[∶]9？

2.類比聯(lián)結(jié)，內(nèi)化概念。師：從剛才的探究中，我們確實可以看出，比就是表示倍數(shù)關(guān)系。同時呀，只要是兩個數(shù)是相除的關(guān)系都可以用比來表示?；仡櫸覀冎八鶎W(xué)過的知識，你能想到那些可以用比來表示的例子呢？

師：總價÷數(shù)量=單價，路程÷速度=時間等這些都可以用比來表示。具體來說，例如總價÷數(shù)量=單價，總價是18元，數(shù)量是4個，這時我們說總價和數(shù)量的比是9[∶]2。

師：每一個比值又分別表示什么？比有時表示倍數(shù)關(guān)系，有時又可以表示一種具體的量。

【設(shè)計意圖】過程階段，當(dāng)活動經(jīng)過多次的反復(fù)訓(xùn)練，進而被學(xué)習(xí)者所熟知，可以內(nèi)化為一種稱為“程序”或“過程”的心理操作。在這個階段，我們要設(shè)置由淺到深的問題，不斷的引導(dǎo)學(xué)生進行思考，通過對比聯(lián)結(jié)，使學(xué)生進一步完善對比的認(rèn)識。在概括比的意義時，重點強調(diào)了比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，使學(xué)生對比的意義的本質(zhì)有所理解。一方面引導(dǎo)學(xué)生自己的語言來概括自己對“比”的理解，另一方面類比聯(lián)結(jié)使學(xué)生對“比”的本質(zhì)進一步內(nèi)化。

（三）對象階段

1.概念總結(jié)，鞏固練習(xí)。師：剛剛我們一起研究了“比”的相關(guān)知識，你能用自己的話來說一說你是怎么理解“比”的嗎？同學(xué)們說了這么多自己的想法，有很多相同點。老師已經(jīng)呈現(xiàn)在黑板上了，誰能結(jié)合板書的內(nèi)容，用數(shù)學(xué)語言來描述你認(rèn)識的“比”？生活中也有豐富的“比”，你發(fā)現(xiàn)了嗎？可以嘗試舉例嗎？

師：找生活中的比，例如，人民幣與美元的匯率是6.7150，國旗的長與寬的比是3[∶]2，嬰兒的頭長與身高的比大約是1[∶]4。生活中的比是廣泛存在的。

【設(shè)計意圖】對象階段，將基礎(chǔ)概念或概念組按嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系連接詞，組成目標(biāo)概念出現(xiàn)在學(xué)習(xí)者頭腦中，并對其實施各種心理操作的過程。設(shè)置突出概念本質(zhì)的變式訓(xùn)練以及解決實際問題的綜合練習(xí)，有助于幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課的所學(xué)，將孤立的知識點串接起來形成知識鏈。

（四）圖式階段

師：同學(xué)們，一節(jié)課就要結(jié)束了，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你們都收獲了什么呢？生活中有豐富的數(shù)學(xué)，希望同學(xué)們都能夠用心地去發(fā)現(xiàn)去探索。

【設(shè)計意圖】圖式階段，是概念教學(xué)的最后一個環(huán)節(jié)，也是學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進行總結(jié)和提升的環(huán)節(jié)。此時學(xué)生對概念進行高級的加工和心理表征，形成了對“比”的知識圖式，建構(gòu)起完整的知識鏈。通過總結(jié)，幫助學(xué)生從多種角度理解“比”，鞏固所學(xué)的知識，建立知識間的聯(lián)系。

四、教學(xué)設(shè)計反思

本次選取的《比的認(rèn)識》第一課時的教學(xué)設(shè)計安排遵循了APOS理論從活動到過程、到對象，最后到圖式的概念建構(gòu)步驟。首先創(chuàng)設(shè)具體的情境，通過情境激發(fā)學(xué)生的興趣，初步引入概念，使學(xué)生形成初步的感性認(rèn)識。接著教師引導(dǎo)學(xué)生將操作活動轉(zhuǎn)化了內(nèi)隱的心理活動，提煉成數(shù)學(xué)語言。通過對操作活動的反思，學(xué)生可以嘗試著將頭腦中內(nèi)隱的活動過程表達(dá)出來，理解“比”的本質(zhì)及意義。再通過概念總結(jié)，設(shè)置解決實際的問題，鞏固所學(xué)。最后由教師帶領(lǐng)學(xué)生進行知識梳理，幫助同學(xué)由感性認(rèn)識逐步上升到理性認(rèn)識，形成自我對比的認(rèn)識的心理圖式。

APOS理論適用于小學(xué)概念的教學(xué)，應(yīng)用范圍是有限制的，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該仔細(xì)研讀教材，選擇合適的內(nèi)容進行APOS理論下的教學(xué)設(shè)計。其具體的應(yīng)用不僅要體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計的教學(xué)環(huán)節(jié)，還要深入到各階段教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)方法上，不應(yīng)該死板的按照四個階段;同時，APOS理論不能割裂開來，應(yīng)利用教學(xué)目標(biāo)指導(dǎo)教學(xué)步驟的設(shè)計，內(nèi)在也要體現(xiàn)APOS的內(nèi)涵。

參考文獻(xiàn)：

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