胡存宏

[摘? 要] 小數(shù)可以看成是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的特殊形式，它的意義非常抽象。對(duì)于學(xué)生來講，小數(shù)既熟悉也陌生。熟悉的是小數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)存在，也就是對(duì)小數(shù)的事實(shí)性理解;而陌生的是小數(shù)究竟表示什么意義，與十進(jìn)分?jǐn)?shù)又有著怎樣千絲萬縷的聯(lián)系。部分學(xué)生不是真正的理解與掌握，遠(yuǎn)沒有達(dá)到概念性理解的程度。如何才能幫助學(xué)生更好地理解小數(shù)，讓他們對(duì)小數(shù)的本質(zhì)有深刻的認(rèn)識(shí)，最關(guān)鍵的就是要真正了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)掌握了多少，他們最感困惑的地方又在哪里。文章經(jīng)過精心設(shè)計(jì)問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測，基于前測統(tǒng)計(jì)結(jié)果，中肯地提出教學(xué)建議，值得一線教師借鑒。

[關(guān)鍵詞] 前測;十進(jìn)分?jǐn)?shù);事實(shí)性理解;概念性理解;意義建構(gòu)

一、究竟什么是小數(shù)

小數(shù)，微數(shù)也。

“微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)……”這是劉微在《九章算術(shù)》中對(duì)小數(shù)的論述，也是世界上最早的關(guān)于小數(shù)的記載文字。

而《辭?！分袑?duì)小數(shù)的解釋是：小數(shù)，分母是10、100、1000……的真分?jǐn)?shù)，可以改寫成不帶分母的形式，這種形式的數(shù)，稱之為“十進(jìn)位小數(shù)”，簡稱“小數(shù)”。

以上闡釋不難看出，二者是同出一轍的，從中可以發(fā)掘小數(shù)最為本源的意義所在。

由此，讓學(xué)生了解小數(shù)與1之間有著怎樣千絲萬縷的聯(lián)系，尤其是怎樣通過具體的情境創(chuàng)設(shè)豐富的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物操作到小數(shù)意義抽象概括的全部過程，借此溝通小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間廣泛而豐富的正向認(rèn)知聯(lián)系（本節(jié)課內(nèi)容是一位小數(shù)與十分之幾之間的聯(lián)系），感知小數(shù)的來龍去脈，這才是學(xué)生在正式認(rèn)識(shí)小數(shù)的第一階段學(xué)習(xí)中最需要也是必須掌握的地方。

二、學(xué)生已有的認(rèn)知

“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”是蘇教版三年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生第一次正式認(rèn)識(shí)小數(shù)，那么這一學(xué)段的學(xué)生對(duì)于小數(shù)會(huì)有哪些了解呢？按照我們的預(yù)設(shè)，應(yīng)該會(huì)有下面幾種認(rèn)識(shí)途徑。

途徑1：商場、超市里面的商品價(jià)格標(biāo)簽，學(xué)生耳熟能詳。

途徑2：體育課上的身高測量、車站里面的身高標(biāo)識(shí)牌，與每個(gè)學(xué)生密切相關(guān)。

途徑3：從小學(xué)一年級(jí)就開始與學(xué)生形影不離的考試成績，也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)小數(shù)，比如92.5分、89.5分等。

……

上述的認(rèn)識(shí)只能說明，到了三年級(jí)，學(xué)生對(duì)于小數(shù)應(yīng)該會(huì)有直觀的感知，頭腦中有了小數(shù)的模型，小數(shù)作為事實(shí)的存在已經(jīng)在學(xué)生的頭腦中留下了印記。因此，我們知道學(xué)生對(duì)于小數(shù)有了印象，但這可能只是孤單且零碎的存在，對(duì)于什么是小數(shù)，它與整數(shù)、分?jǐn)?shù)等之間究竟有著怎樣的聯(lián)系，可能還需要我們進(jìn)一步去調(diào)查與了解。

三、前測的意圖以及測試題

從上述的分析來看，對(duì)于小數(shù)，學(xué)生有著較為豐富的直觀感知以及一定的認(rèn)知儲(chǔ)備;但是就每個(gè)學(xué)生理解的程度而言，小數(shù)的認(rèn)識(shí)是否都達(dá)到了整齊劃一的高度？這與我們教師的認(rèn)識(shí)之間有著怎樣的鴻溝？為了更好地幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義，我們希望通過前測了解學(xué)生真正的知識(shí)基礎(chǔ)，這也是我們后續(xù)教學(xué)最為可靠的依據(jù)。

在前測中，我們?cè)噲D從以下三個(gè)方面去打開發(fā)現(xiàn)之門，并精心設(shè)計(jì)與之配套、相對(duì)應(yīng)的前測習(xí)題（見表1）。

首先，生活中有哪些小數(shù)是學(xué)生印象最深刻的？（對(duì)應(yīng)“前測題1”）

其次，他們對(duì)這些本已熟知的小數(shù)表示的意義有著怎樣的解釋與說明？（對(duì)應(yīng)“前測題2”）

再次，身處既熟悉又陌生的現(xiàn)實(shí)情境中，對(duì)于教師提供的小數(shù)，他們又是怎樣理解的呢？（對(duì)應(yīng)“前測題3”中的3個(gè)小題）

四、測試結(jié)果的統(tǒng)計(jì)與分析

（1）你印象最深的一個(gè)小數(shù)是什么？

當(dāng)今社會(huì)，信息高度發(fā)達(dá)的情況下，我們有理由相信學(xué)生已經(jīng)不是一張知識(shí)白紙。他們?cè)趯W(xué)習(xí)本單元教材之前，對(duì)小數(shù)已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，有悖于我們常理的是，對(duì)于他們來講，印象最深的除了公認(rèn)的商品價(jià)格標(biāo)簽以及長度單位外，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)的89.5分、92.5分和94.5分等成績對(duì)他們也顯得尤為重要，也是認(rèn)識(shí)小數(shù)的一個(gè)很重要的途徑。筆者猜想，正是這個(gè)考試成績中看似不起眼的0.5分，也就是“半分”中的“半”字，深深地影響著學(xué)生后面了解“0.5拃”表示的結(jié)果。

（2）你知道上題中所寫的小數(shù)表示什么意義嗎？你是怎么知道的？（回答的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3）

很明顯，從表格數(shù)據(jù)中可以看到學(xué)生在接受新知的過程中，家長及校外的教師起了很大的作用，接近80%的學(xué)生在假期對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行了預(yù)習(xí)，其中接近一半的學(xué)生是通過家長對(duì)小數(shù)的意義有了初步的認(rèn)識(shí)，但“沒有學(xué)習(xí)過”的22%是一個(gè)不容忽視的數(shù)據(jù)。

了解不等于理解。對(duì)于每位學(xué)生自己所寫出來的小數(shù)的意義，全班能夠理解（包括部分理解）的僅占22%，即五分之一左右。統(tǒng)計(jì)顯示，更多的學(xué)生在表示小數(shù)的意義時(shí)，特別是對(duì)“考試成績的89.5分”，都認(rèn)為是考試中的題目只做對(duì)了一半，所以是89.5分，在此將“半分”與“半題”很清晰地畫上了等號(hào)，這是我們始料不及的，也是必須高度重視的地方。

（3）①下面最長線段的長度是1米，你能表示出0.4米嗎？（回答的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表4）

對(duì)于教材的例題，學(xué)生掌握的程度更好一些，理解得更加透徹一些。對(duì)于這一題，我們可以看出正確率是出奇的高，達(dá)到了78%;如果加上數(shù)錯(cuò)的3名學(xué)生，這一題的正確率將超過80%。這是我們教師一直堅(jiān)定地認(rèn)為學(xué)生對(duì)小數(shù)已經(jīng)有所了解的根源所在。究其原因，是這一題中已經(jīng)很明確地將1米進(jìn)行了平均分，并且正好是10份，無形中已經(jīng)將小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)畫上了等號(hào)。正如學(xué)生即將爬坡的時(shí)候，從上面伸下來一個(gè)扶梯，學(xué)生何樂而不為呢？這樣也就大大降低了解題的難度，學(xué)生做對(duì)就是理所當(dāng)然的事情。

倒是統(tǒng)計(jì)結(jié)果中有3名學(xué)生將1米重新平均分成了4份，然后再取出其中的一份，這非常耐人尋味。在一些學(xué)生的心目中以為，平均分成多少份就是表示零點(diǎn)幾，這種思路在這一題中得到了驗(yàn)證。這也是我們教師一直以為的學(xué)生對(duì)于小數(shù)的理解只是一種事實(shí)的存在而沒有深入地進(jìn)行理解與認(rèn)識(shí)的依據(jù)。依葫蘆畫瓢，讓小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)在此完全脫節(jié)了。

②這是老師一拃的長度，你能表示出0.5拃嗎？（回答的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表5）

原以為這題與前面一題同出一轍，正確率應(yīng)該不相上下;但是數(shù)據(jù)是最真實(shí)的，從前一題的正確率78%下降到這題的46%，不得不引起我們的思考。最重要的可能是這里將“0.4米”換成了“0.5拃”的緣故?？梢钥吹剑还灿?名學(xué)生在表示“0.5拃”的時(shí)候很小心謹(jǐn)慎地取了“半份”。為什么？實(shí)際上前面已經(jīng)講到，因?yàn)榭荚嚦煽冊(cè)趯W(xué)生的心目中是根深蒂固的印象——“0.5分”表示的就是“半分”，所以這里的“0.5拃”表示“半份”無疑是正確的，也是有著必然的聯(lián)系的——因此才有不少學(xué)生認(rèn)為這里的“0.5拃”就是相當(dāng)于圖中的半小格（與此相對(duì)應(yīng)的，他們可能也會(huì)把“1小格”代表為考試成績中的“1分”），并與此直接無縫對(duì)接。這種現(xiàn)象，教學(xué)中理當(dāng)引起教師的高度重視，看似不符合常理，實(shí)際上就是學(xué)生認(rèn)識(shí)中真實(shí)的存在。

③如果下面的長方形表示1元，你能表示0.3元嗎？（回答的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表6）

統(tǒng)計(jì)這一題一共出現(xiàn)了4種不同的結(jié)果，每個(gè)結(jié)果都占到了四分之一左右，緣由在哪里？我們暫且不去看正確的結(jié)果（占調(diào)查學(xué)生人數(shù)的32%），先關(guān)注一下不正確中前面的兩個(gè)結(jié)果：數(shù)據(jù)很明確地告訴我們，對(duì)于學(xué)生來講，有相當(dāng)一部分的學(xué)生（占調(diào)查學(xué)生人數(shù)的24%）將其理解成了“零點(diǎn)幾就是表示平均分成幾份”，與我們期待的“平均分成10份后再數(shù)出其中的幾份”完全不在一個(gè)軌道上面;還有相當(dāng)一些學(xué)生（占調(diào)查學(xué)生人數(shù)的22%）認(rèn)為“零點(diǎn)幾就是表示有幾份”，至于是不是平均分成了10份，對(duì)他們來講似乎并沒有任何關(guān)系。這就是學(xué)生對(duì)于小數(shù)的認(rèn)識(shí)完全沒有達(dá)到概念的關(guān)鍵之所在。

事后，筆者臨時(shí)又增加了一題：“這條線段的長度正好是1分米（如圖1），請(qǐng)你表示0.1分米、0.2分米和0.3分米。”讓全班的學(xué)生進(jìn)行了第二次測試。

果然不出所料，統(tǒng)計(jì)之后，發(fā)現(xiàn)全班50名學(xué)生中有18名（占到全班人數(shù)的36%）學(xué)生是下面的這兩種結(jié)果（如圖2）。

山還是那座山。對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生來講，盡管我們千方百計(jì)地將小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)講授了有效的正向聯(lián)系，但是他們中仍有不少人對(duì)小數(shù)的確沒有深入地認(rèn)識(shí)，只是浮于表面接觸的直觀感知，這正是我們需要在課堂上精心準(zhǔn)備的地方。

五、教學(xué)建議

（1）找準(zhǔn)認(rèn)知起點(diǎn)生長知識(shí)。這是一節(jié)建構(gòu)意義的教學(xué)內(nèi)容，必須建立在充分理解的基礎(chǔ)上，僅僅依靠不斷地識(shí)記是解決不了問題的。不少教師認(rèn)為，只要讓學(xué)生把教材中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行多次識(shí)記就可以了，所以在很多課堂上，我們都不情愿地看到不少教師反復(fù)地帶領(lǐng)學(xué)生朗讀：4分米是1米的■，也就是■米，米寫成小數(shù)是0.4米。這樣的識(shí)記解決不了任何問題。對(duì)于教師來講，要基于學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)起點(diǎn)，弄清楚已經(jīng)走到了哪里;要充分地暴露學(xué)生對(duì)小數(shù)最原生態(tài)的理解，即起點(diǎn)在哪里，然后再精準(zhǔn)設(shè)計(jì)教學(xué);讓他們靜靜地去思考課堂上出現(xiàn)的每個(gè)小數(shù)，然后帶著問題去討論、交流并碰撞，最終抽象概念的本質(zhì)。這樣的課堂才真正具有生長性元素。

（2）基于多元表征深化理解。課堂教學(xué)中，小數(shù)的意義非常抽象，幾何直觀則是最合適的載體之一，可以讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從具體情境到抽象意義的過程。課堂上，一定要反復(fù)通過動(dòng)手操作，基于本質(zhì)大膽想象，將小數(shù)進(jìn)行多元表征，逐步抽象、概括，從而深刻理解小數(shù)的本質(zhì)含義。教師可以提供不同的素材，比如線段、長方形、圓等，與學(xué)生一起研究，運(yùn)用多種不同的方法表征所呈現(xiàn)的小數(shù)的真正含義。在這樣的表征過程中，透過這些不同具象的圖形，自然能夠抽象出背后真正的本源，即小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間的最本質(zhì)的勾連。經(jīng)歷這樣一個(gè)完整的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生才能夠真正領(lǐng)悟到，小數(shù)其實(shí)不僅僅是用來讀的，每個(gè)小數(shù)后面都有著豐富的內(nèi)涵，這個(gè)內(nèi)涵就是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。同時(shí)，在教學(xué)過程中，還要不斷地進(jìn)行變式練習(xí)，加強(qiáng)對(duì)比，突出十進(jìn)分?jǐn)?shù)與一般分?jǐn)?shù)的本質(zhì)區(qū)別，借此豐富學(xué)生的認(rèn)知。更重要的是，通過這樣的訓(xùn)練打破學(xué)生的思維定式，“并不是平均分成幾份就是表示零點(diǎn)幾”，也不是“取了幾份就是表示零點(diǎn)幾”，一切都要回到原點(diǎn)，即所提供的分?jǐn)?shù)是不是分母為10。這樣的學(xué)習(xí)不僅僅學(xué)習(xí)到了知識(shí)，而且數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然得到了充分的體現(xiàn)。

（3）特殊的小數(shù)要引起重視。一些特殊的小數(shù)如0.5等，要引起我們每位教師的高度重視。學(xué)生的理解與我們教師的固有思維之間有出入，這里一定要通過對(duì)比強(qiáng)調(diào)“是10份中的5份，而非半份”。我們可以多重對(duì)比，比如0.5分米、0.5元、0.5千克等，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題之所在，實(shí)際上這也是生活與數(shù)學(xué)之間的一個(gè)交集。出現(xiàn)這樣的問題不必慌張，源頭找到了，剩下的就是讓學(xué)生將自己真實(shí)的想法表達(dá)出來，表達(dá)的過程也就是一個(gè)更好的消化與吸收知識(shí)的過程。能消化、善吸收，加以教師的適時(shí)點(diǎn)撥，知識(shí)的建構(gòu)也就不成問題了。

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