雒甜 李瑩

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，反映的是數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著核心地位. 文章以“單位圓與任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)”為例，以層層遞進(jìn)的“問題串”來組織教學(xué)過程，能有效地引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、積極求知，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 問題串;概念教學(xué);任意角;正弦函數(shù);余弦函數(shù)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，清晰的數(shù)學(xué)概念是學(xué)生思維發(fā)展的基礎(chǔ)，能幫助學(xué)生進(jìn)一步推理、判斷[1]. 傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)概念課常采用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式灌輸概念，容易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念“只知其然而不知其所以然”. “問題串”是指在教學(xué)過程中，教師將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)換為一連串層次鮮明、環(huán)環(huán)緊扣的問題，以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，積極探索新知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]. 利用“問題串”組織教學(xué)過程，既能加強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂的邏輯性，又能增加學(xué)生的求知欲，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延. 下面以“單位圓與任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)”為例，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)概念課如何應(yīng)用“問題串”組織教學(xué).

教學(xué)分析

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是描述事物周期性的重要數(shù)學(xué)模型，是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)基本性質(zhì)、公式推導(dǎo)、圖像變換、求值計(jì)算及正弦定理、余弦定理等內(nèi)容的基礎(chǔ). 本節(jié)課蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等重要的數(shù)學(xué)思想和方法，深入挖掘這些思想和方法有助于培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本節(jié)課的授課對(duì)象為高一學(xué)生，學(xué)生在初中已經(jīng)借助直角三角形學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，掌握了利用直角三角形的三邊長度計(jì)算直角三角形中銳角的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的方法;在高中必修一的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)了解了研究一類函數(shù)的基本過程，明確了任意角和弧度制的概念，具備學(xué)習(xí)和研究新函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)的能力. 本節(jié)課的重點(diǎn)是任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義及其應(yīng)用，難點(diǎn)是理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).

教學(xué)目標(biāo)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的[3]. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開課堂教學(xué)，本節(jié)課設(shè)置了以下三個(gè)教學(xué)目標(biāo)，旨在培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（1）掌握任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)并能應(yīng)用，培養(yǎng)和提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

（2）會(huì)求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域及函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào);對(duì)于給定角或角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，能計(jì)算出角的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值，并能針對(duì)運(yùn)算問題合理選擇運(yùn)算方法，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（3）經(jīng)歷把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)和提升學(xué)生觀察、分析、探索、歸納、類比及解決問題的能力，提升學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象兩個(gè)方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

情境導(dǎo)入：小明同學(xué)周末去游樂場(chǎng)坐摩天輪玩，如圖1所示，已知摩天輪的半徑為r，摩天輪繞其中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).假設(shè)小明的起始位置在P處，隨著時(shí)間t的變化，小明的位置P也在不斷變化.

設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中事物周期變化的重要模型，而坐摩天輪是生活中常見的周期運(yùn)動(dòng)，用學(xué)生了解和熟悉的運(yùn)動(dòng)情境導(dǎo)入新課比較自然，學(xué)生容易接受，能增加學(xué)生后續(xù)探究的興趣，也便于學(xué)生在后期把三角函數(shù)與周期運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來.

問題1：小明的位置P的變化具有什么特點(diǎn)？

問題2：我們?cè)撊绾慰坍嬓∶髟诿恳凰查g的位置P呢？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1能引導(dǎo)學(xué)生回憶前面第一節(jié)學(xué)習(xí)的運(yùn)動(dòng)周期性，再一次感受周期運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn);問題2能引導(dǎo)學(xué)生將摩天輪抽象為圓，將小明抽象為點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 如圖2所示，此時(shí)小明在摩天輪上的旋轉(zhuǎn)就可以抽象為點(diǎn)P在圓周上的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)刻畫小明在摩天輪上的位置就轉(zhuǎn)化為刻畫點(diǎn)P在圓周上的位置，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生自然地引出平面直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生嘗試自己建立直角坐標(biāo)系并體會(huì)直角坐標(biāo)系的工具性價(jià)值.

問題3：除了用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）來刻畫點(diǎn)P的具體位置，試想能否用（r，α）表示點(diǎn)P的位置？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生很容易想到建立直角坐標(biāo)系表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，但對(duì)于用旋轉(zhuǎn)角度和距離來刻畫點(diǎn)P的位置并不熟悉，也不容易想到. 此時(shí)教師可直接告訴學(xué)生，用點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離（即半徑r）和射線OP旋轉(zhuǎn)的角度α來刻畫點(diǎn)P的位置，可以將其表示為（r，α）（表示點(diǎn)P在以x軸非負(fù)半軸為始邊、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為α的射線OP上，距離O點(diǎn)r個(gè)單位長度的位置）. 這也為學(xué)生后期學(xué)習(xí)極坐標(biāo)埋下了伏筆.

2. 觀察探討，形成概念

問題4：這兩種刻畫點(diǎn)P位置的表示方法中，各個(gè)元素之間有什么聯(lián)系？

問題5：如果α是銳角呢？

設(shè)計(jì)意圖：首先，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)兩種刻畫點(diǎn)P位置的方法，很容易引到問題4，激發(fā)學(xué)生去探索兩種方法中x，y，r，α各自代表的含義及它們之間存在的聯(lián)系的興趣. 但這樣的問題容易讓學(xué)生產(chǎn)生茫然感，因此緊接著給出“α是銳角”的提示，能夠讓學(xué)生在探索的過程中有了抓手——從特殊的情況入手，再去探索一般的關(guān)系就容易多了. 其次，當(dāng)α為銳角時(shí)，有利于學(xué)生回憶起初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的知識(shí)，以舊知識(shí)作為新知識(shí)的生長點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí). 最后，引導(dǎo)學(xué)生了解銳角三角函數(shù)只是任意角三角函數(shù)的一種特殊情況，避免把任意角三角函數(shù)當(dāng)成銳角三角函數(shù)的一般推廣.

問題6：當(dāng)該直角三角形的三邊同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)時(shí)，如圖4所示，銳角α的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)又該如何表示？和之前相比有什么變化？

設(shè)計(jì)意圖：利用相似三角形的性質(zhì)，讓學(xué)生感受比的不變性，體會(huì)到三角函數(shù)值與直角三角形的邊長無關(guān)，而只與α的大小有關(guān)，建立自變量與應(yīng)變量的聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念的理解.

問題7：當(dāng)角α確定時(shí)，該角的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值與點(diǎn)P在射線OP上的位置有無關(guān)系？

問題8：當(dāng)r取何值時(shí)，上面的式子會(huì)變得更加簡(jiǎn)單？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于確定的角α，其正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值不會(huì)隨著點(diǎn)P位置的改變而改變，進(jìn)而利用求簡(jiǎn)意識(shí)引出單位圓的概念（將半徑等于單位長度的圓稱為單位圓，在平面直角坐標(biāo)系中，通常表示圓心在（0，0），半徑為1的圓）. 從而引導(dǎo)學(xué)生得出對(duì)于確定的銳角α，當(dāng)α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）時(shí)，α，x，y之間可以建立函數(shù)關(guān)系：y=sinα，x=cosα.

3. 點(diǎn)撥指導(dǎo)，理解概念

問題9：當(dāng)α為銳角時(shí)，x，y由α值唯一確定. 那么當(dāng)α為任意角時(shí)，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生以銳角為基點(diǎn)，然后延伸到任意角的概念上，建立單位圓與任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系. 用幾何畫板向?qū)W生演示角α的終邊分別在第二象限、第三象限、第四象限的圖像，使學(xué)生根據(jù)圖像觀察到，當(dāng)角α的大小確定后，角α的終邊也就確定了，此時(shí)與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)也是唯一確定的，所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是以角為自變量，以與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)為因變量的函數(shù). 明確給出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，讓學(xué)生明白概念生成的過程及其合理性.

問題10：sinα，cosα分別表示的是角α與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)，那么在各個(gè)象限的值的正負(fù)都有什么特點(diǎn)？討論并完成表1.

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)1使學(xué)生運(yùn)用概念，加深對(duì)概念的理解;通過練習(xí)2讓學(xué)生把握不同象限的角的三角函數(shù)值的正負(fù)特點(diǎn)，體會(huì)正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值與該角終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系;通過練習(xí)3讓學(xué)生思考并體會(huì)當(dāng)給出的是終邊上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)而并非與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，該如何求出該角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值，再次理解單位圓定義法與終邊定義法的區(qū)別與聯(lián)系，體會(huì)三角函數(shù)值只與自變量角α有關(guān);最后，通過一道思考題引發(fā)學(xué)生對(duì)終邊關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值關(guān)系的思考，并為后面即將學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的周期性打下良好的基礎(chǔ).

5. 歸納總結(jié)，提升素養(yǎng)

問題13：通過本節(jié)課，你掌握了哪些知識(shí)點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：任意角正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的定義（包括定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）.

問題14：你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

預(yù)設(shè)：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等.

問題15：本節(jié)課培養(yǎng)了哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？

預(yù)設(shè)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等.

6. 布置作業(yè)，拓展延伸

必做題：（1）完成練習(xí)冊(cè)的相關(guān)內(nèi)容;

（2）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（2a+1，a-2），且cosα=-，則實(shí)數(shù)a=________.

選做題：若角α的終邊落在直線x+y=0上，求+的值.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生溫故知新、查缺補(bǔ)漏，幫助教師掌握學(xué)生的情況，同時(shí)檢測(cè)教學(xué)目標(biāo)的完成進(jìn)度，為后面知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)提供參考.其中“必做題”緊扣基礎(chǔ)，主要涉及數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);“選做題”對(duì)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培育提出了更高的要求.通過練習(xí)，能使不同層次的學(xué)生均能有所收獲，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和解決問題的水平，體現(xiàn)了因材施教的原則.

教學(xué)反思

張楚廷教授指出：“教學(xué)從根本上說，是思考著的教師引導(dǎo)著學(xué)生思考，又讓思考著的學(xué)生促進(jìn)教師思考，而在這一過程中，問題是最好的營養(yǎng)劑.”[4]本節(jié)課首先由實(shí)例引出課題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)際生活;其次從學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，充分剖析學(xué)生已有的知識(shí)，貼近學(xué)生的思維實(shí)際，通過問題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生將自身的學(xué)習(xí)活動(dòng)與問題相結(jié)合，使其可以在真實(shí)的教學(xué)情境中帶著問題學(xué)習(xí)，以探索問題的解決方法來驅(qū)動(dòng)和維持學(xué)習(xí)的興趣與動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生在“問題串”的引導(dǎo)下感受數(shù)學(xué)概念的抽象過程.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?黃文彬. 基于“問題導(dǎo)學(xué)”的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)——以“任意角的三角函數(shù)”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（09）.

[2] ?李祎，賈雪梅. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)[M]. 北京：高等教育出版社，2016.

[3] ?中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[4] ?張楚廷. 教師的四重奏——教學(xué)·學(xué)教·教問·問教[J]. 課程·教材·教法，2008（07）.