【摘要】新課改下，高中數(shù)學(xué)基本不等式在教材結(jié)構(gòu)上做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，基本不等式作為一種重要的解題工具，從而引發(fā)從教者的思考。本文通過(guò)闡述基本不等式的概念和意義，分析在教學(xué)中注重基本不等式的應(yīng)用和解題技巧，啟發(fā)學(xué)生多維關(guān)聯(lián)思維，使其體會(huì)基本不等式的重要作用，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，因而有效提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)? 高中數(shù)學(xué)? 基本不等式? 有效教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）18-0124-03

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)育人價(jià)值的集中體現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)科是基礎(chǔ)教育階段最為重要的學(xué)科之一，高中階段的數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出來(lái)的人是什么樣的。無(wú)論接受教育的人將來(lái)從事的工作是否與數(shù)學(xué)有關(guān)，終極培養(yǎng)目標(biāo)都可以描述為：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界;會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界;會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，即新課標(biāo)界定的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，而“四基”是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體?；诤诵乃仞B(yǎng)的教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)“四基”就要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，讓學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的同時(shí)理解知識(shí)的本質(zhì)，感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。由于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自己的獨(dú)立思考或與他人交流，最終自己“悟”出來(lái)的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法。因此，在教學(xué)活動(dòng)中，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、精心設(shè)計(jì)合適的教學(xué)方案非常重要，所以，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題的提出。

一、基本不等式的概念和意義

?ɑ，b∈R，有ɑ2+b2≥2ɑb，當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=b時(shí)，等號(hào)成立。特別地，如果ɑ>0，b>0，我們用，分別代替上式中的ɑ，b，可得≤（*），當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=b時(shí)，等號(hào)成立。通常稱不等式（*）為基本不等式。其中，叫作正數(shù)ɑ，b的算術(shù)平均數(shù)，叫作正數(shù)ɑ，b的幾何平均數(shù)?；静坏仁奖砻鳎簝蓚€(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)小于等于它們的算術(shù)平均數(shù)。

基本不等式是一種重要且基本的不等式類型，在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中也是一個(gè)非常重要的、基礎(chǔ)的內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)，在求解最值、證明不等式、求參數(shù)范圍等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。新教材人教A版將其安排在必修第一冊(cè)第二章的“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”與“二次函數(shù)、一元二次方程和不等式”中間，主要是學(xué)生已經(jīng)借助生活實(shí)例對(duì)于不等式有了一定的理解，在學(xué)習(xí)等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比，研究了不等式的性質(zhì)，積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)， 為后續(xù)學(xué)習(xí)做了一定的準(zhǔn)備。

基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)也是數(shù)學(xué)模型思想的一個(gè)范例，借助這個(gè)模型可以求最大值和最小值。同時(shí)，在理解和應(yīng)用基本不等式的過(guò)程中涉及變與不變、變量與常量，以及數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型等思想方法。因此，基本不等式內(nèi)容可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

二、探究基本不等式的應(yīng)用的教學(xué)

（一）生活情境融入數(shù)學(xué)問(wèn)題

例1：一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平秤黃金。一位顧客到店購(gòu)買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將5g的砝碼放在天平的右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次秤得的黃金交給顧客。你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金是小于10g，等于10g，還是大于10g？為什么？

分析：學(xué)生讀完題目第一想法就是物理學(xué)科中的杠桿平衡原理（動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂），能想到這里，問(wèn)題就不難解決了。于是我們可以設(shè)天平的左臂長(zhǎng)為ɑcm，右臂長(zhǎng)為bcm，不妨設(shè)ɑ>b，放在左盤中的黃金為xg，放在右盤中的黃金為yg。則由天平的平衡條件可得bx=5ɑ，yɑ=5b，即x=，y=。所以x+y≥2=10（由基本不等式知：當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立，但這里x≠y，所以x+y>10）因此，顧客購(gòu)得的黃金大于10g。

反思：本題看似一道生活物理題，實(shí)則用數(shù)學(xué)中的基本不等式解決，通俗易懂。可見(jiàn)學(xué)科知識(shí)都是相通的，沒(méi)有哪門學(xué)科是獨(dú)立存在的。要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從文字中提取信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，即通過(guò)數(shù)學(xué)模型刻畫研究對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，這是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。同時(shí)本案例也向?qū)W生灌輸了誠(chéng)信做人誠(chéng)信做事的思想，體現(xiàn)了時(shí)代的育人導(dǎo)向，響應(yīng)了立德樹(shù)人的要求。

（二）基本不等式的誤解問(wèn)題

例2：已知A（3，0），B（0，4），直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P（x，y），求xy的最大值。

誤解：根據(jù)條件可寫出直線AB的截距式方程為：+=1.

由1=+≥2=2，得xy≤3，即xy的最大值是3。

正解：根據(jù)條件可寫出直線AB的截距式方程為：+=1，則y=4-x.

于是xy=x（4-x）=-（x-）2+3≤3，即xy的最大值是3。

反思：兩種解法答案一樣，為什么第一種解法不正確。因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有真正理解基本不等式的內(nèi)涵，應(yīng)用基本不等式解決問(wèn)題的三步驟“一正、二定、三相等”，這里點(diǎn)P（x，y）為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，無(wú)法確定x，y的正負(fù)號(hào)，所以基本不等式不適用。雖然答案一致，純屬巧合，如將題目條件改為“線段AB上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）”或“動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在第一象限”，這里的x，y均為正數(shù)，即可用基本不等式，而第二種解法就不需要知道x，y的正負(fù)號(hào)，直接消元代入轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值。

例3：已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)ɑ，b，滿足ɑ+b=4，求+的最小值。

誤解：由已知得4=ɑ+b≥2， ∴ɑb≤4，又+≥2=≥2，

則+的最小值是2。

正解：+=（ɑ+b）（+）=++≥2=.

故+的最小值是.

反思：使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對(duì)存在前提“一正、二定、三相等”的忽視，這三個(gè)條件缺一不可。連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致。錯(cuò)解中使用了兩次基本不等式，其中ɑb≤4等號(hào)成立時(shí)必須滿足ɑ=b，而+≥2的等號(hào)成立時(shí)，必須有4ɑ=b，因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以兩個(gè)等號(hào)不會(huì)同時(shí)成立的，故這種解法是錯(cuò)誤的。學(xué)生在利用基本不等式求最值問(wèn)題時(shí)，很容易忽視使用條件，不驗(yàn)證等號(hào)是否成立，甚至出現(xiàn)沒(méi)有確認(rèn)和或積為定值時(shí)就求最值問(wèn)題的現(xiàn)象，這是學(xué)生思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋憩F(xiàn)。

（三）基本不等式的變形問(wèn)題

例4：已知實(shí)數(shù)x，y>0，則求+的最大值。

分析：學(xué)生看到題目時(shí)不知所措，明明知道要運(yùn)用基本不等式知識(shí)來(lái)解決，卻又不知如何下筆。 回想基本不等式的三步驟“一正、二定、三相等”，第一個(gè)條件正數(shù)已滿足，第二個(gè)條件定形式是關(guān)鍵，難就難于定它的結(jié)構(gòu)形式。這里用到換元的思想，

令ɑ=2x+y，b=x+2y（ɑ>0，b>0），則x=，y=.

于是+=+=-（+）≤-2=-=

當(dāng)且僅當(dāng)=，即ɑ=b時(shí)，等號(hào)成立。所以+的最大值是。

反思：通常學(xué)生在解答上述不等式案例的過(guò)程中存在著一定的難度性，因?yàn)檫@種題型需要學(xué)生先處理分式的形式，抓住基本不等式在解決最值問(wèn)題中對(duì)于核心之一“積定和有最小值;和定積有最大值”的理解及構(gòu)造轉(zhuǎn)化。因此，學(xué)生在解答這個(gè)題目的過(guò)程中，可通過(guò)分析題設(shè)中的條件將分母進(jìn)行整體的換元、拆分，從而構(gòu)造出積定的形式求出最大值。其中，整體換元是解答這類題型較為常見(jiàn)的方法：首先引導(dǎo)學(xué)生思考分式的結(jié)構(gòu)形式該如何改變得到積定的形式，其次基于基本不等式設(shè)置目標(biāo)函數(shù)的最值求解，凸顯習(xí)題的針對(duì)性和探索性的特點(diǎn)，明確基本不等式在解決最值問(wèn)題中的基本結(jié)構(gòu)，這樣便能迎刃而解。

本文緊扣基本不等式的概念，分別從正、定、等三個(gè)方面逐一探究基本不等式應(yīng)用的有效教學(xué)，使學(xué)生從本質(zhì)上真正掌握和理解基本不等式，并學(xué)會(huì)應(yīng)用?；静坏仁绞歉咧袛?shù)學(xué)難點(diǎn)內(nèi)容之一，尤其對(duì)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生而言，在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)覺(jué)得吃力乏味。因此，為了改變這種狀況，筆者首先從生活實(shí)例引入基本不等式的應(yīng)用，直奔主題，讓學(xué)生切身感受到基本不等式的使用價(jià)值，體會(huì)到數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。其次，通過(guò)幾個(gè)典型的易錯(cuò)案例，讓學(xué)生真正明確基本不等式的使用條件和注意事項(xiàng)，即“一正、二定、三相等”。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，需要學(xué)生先動(dòng)手計(jì)算，觀察他們?cè)诮獯疬^(guò)程中遇到什么樣的困難或可能犯哪些錯(cuò)誤，然后分組討論該如何解決。這樣既可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，又可以提高學(xué)生歸納總結(jié)和團(tuán)結(jié)協(xié)作的意識(shí)，也使學(xué)生真正理解基本不等式的本質(zhì)和內(nèi)核。

三、有效教學(xué)的感悟

在高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)過(guò)程中，我們常會(huì)碰到這樣的學(xué)生，平時(shí)學(xué)習(xí)很認(rèn)真，公式也能記得住，考試成績(jī)卻不理想。究其原因，還是沒(méi)有真正理解知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)核，思路受阻打不開(kāi)，解決問(wèn)題的方式比較單一。所以教師需要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容選取合理的教學(xué)方法和恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)案例來(lái)培養(yǎng)學(xué)生分析思考問(wèn)題的的能力，引導(dǎo)學(xué)生歸納提升問(wèn)題的能力，啟發(fā)學(xué)生拓展思維問(wèn)題的能力，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)不等式內(nèi)容的興趣，打破常規(guī)的教學(xué)思想，全面踐行新課程深化改革的要求，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，達(dá)到強(qiáng)化高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)效性的目的。所以，有效的教學(xué)過(guò)程應(yīng)當(dāng)是把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，把握學(xué)生認(rèn)知過(guò)程;創(chuàng)設(shè)合適教學(xué)情境，提出合適數(shù)學(xué)問(wèn)題;啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生相互交流;掌握知識(shí)技能，理解數(shù)學(xué)本質(zhì);感悟數(shù)學(xué)基本思想，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

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作者簡(jiǎn)介：

余加山（1987年-）男，安徽馬鞍山人，一級(jí)教師，碩士，研究方向?yàn)閺氖赂咧袛?shù)學(xué)教學(xué)研究。