賈應(yīng)龍

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，整體思想是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一種重要的思想方法.在初中階段，借助整體思想，可以從數(shù)學(xué)問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行處理，以此來獲得解題方法.所以，在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于一元二次方程的教學(xué)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在掌握其基本概念與知識的基礎(chǔ)上，使用整體思想來解決問題.因此，本文對整體思想在初中數(shù)學(xué)一元二次方程中的應(yīng)用進(jìn)行了分析，旨在幫助學(xué)生掌握更多的解題方法.

【關(guān)鍵詞】整體思想;初中數(shù)學(xué);一元二次方程;應(yīng)用方法

在初中階段，數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，一元二次方程不僅是教學(xué)的重難點，同時也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑.所以，在實際教學(xué)中，教師不僅要為學(xué)生講解一元二次方程的基礎(chǔ)知識，還要引導(dǎo)學(xué)生分析其中蘊(yùn)含的思維活動，以此來幫助學(xué)生形成整體思想.在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中，整體思想作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的有效思想方法，對于指導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題有著重要的作用.因此，在數(shù)學(xué)課上，教師就要引導(dǎo)學(xué)生在了解一元二次方程基本知識的基礎(chǔ)上，使用整體思想解決數(shù)學(xué)問題.

一、整體思想概述

整體思想作為一種數(shù)學(xué)思想方法，其是以問題的整體性為出發(fā)點，側(cè)重對問題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以此來了解問題的整體結(jié)構(gòu)特點，并使用“集成”的眼光，將一些式子、圖形看作一個整體，從而掌握其中存在的關(guān)聯(lián)性，然后對問題進(jìn)行有目的的整體處理.整體思想的表現(xiàn)形式，主要體現(xiàn)在整體觀察、整體代入、整體換元、整體構(gòu)造、整體聯(lián)想等方面，其在代數(shù)式的化簡求值、解方程等方面都有著廣泛的應(yīng)用.

二、一元二次方程教學(xué)中存在的問題

（一）忽視學(xué)生主體性

在初中階段，數(shù)學(xué)的教學(xué)過于突出知識與技能的傳授，過于凸顯教師的作用，忽視了學(xué)生的主體性.一元二次方程作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點內(nèi)容，很多教師過于強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識，并通過大量的習(xí)題對學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，忽視了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握，這就難以使學(xué)生了解整體思想的作用，難以利用整體思想來學(xué)習(xí)知識.

（二）忽視整體思想滲透

在初中的數(shù)學(xué)課上，對于一元二次方程的教學(xué)，教師過于重視公式、性質(zhì)、定理的應(yīng)用，忽視了學(xué)生對知識形成過程的探索，以及學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng).在實際的學(xué)習(xí)中，學(xué)生難以積極主動地參與到數(shù)學(xué)實踐探索中，對于一元二次方程這些有意義的學(xué)習(xí)活動難以進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)，學(xué)生就失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會，也難以形成整體思想.在這種學(xué)習(xí)情況之下，學(xué)生的實踐與創(chuàng)新能力難以實現(xiàn)有效的發(fā)展.

（三）忽視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

在新課改背景下進(jìn)行一元二次方程知識教學(xué)的時候，很多教師雖然在不斷進(jìn)行教學(xué)方法創(chuàng)新改革.但是，他們在進(jìn)行教學(xué)方法改革時，卻并沒有認(rèn)識到學(xué)法指導(dǎo)的重要作用，導(dǎo)致教學(xué)效果較差，學(xué)生雖然掌握了知識，但是卻出現(xiàn)了知其然不知其所以然的情況，自主解決問題能力以及學(xué)習(xí)能力都不盡如人意.不僅沒有實現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，甚至還對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提升以及綜合素質(zhì)的全面發(fā)展都產(chǎn)生了極大的消極影響.

（四）缺乏精講精練指導(dǎo)

現(xiàn)在很多初中數(shù)學(xué)教師在開展一元二次方程教學(xué)的時候，雖然放棄了題海戰(zhàn)術(shù)，想要展開精講精練，但是卻出現(xiàn)了少講少練的情況，沒有深入地分析講解的重難點內(nèi)容，更多的還是照本宣科地按照教材展開知識的講解，并引導(dǎo)學(xué)生死板地進(jìn)行模仿練習(xí)，所提供的練習(xí)題目也缺乏層次性與針對性，存在大量的重復(fù)題型，學(xué)生只會死板地套用定理與公式解題，并不清楚知識間存在的聯(lián)系，導(dǎo)致了學(xué)生很難應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題.

三、整體思想在解決一元二次方程中的應(yīng)用方法

（一）整體觀察，尋找解題思路

從整體思想的特點分析來看，它是一種以宏觀的角度來觀察、分析事物的整體結(jié)構(gòu)的思想，側(cè)重從整體上來揭露事物的本質(zhì).縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，很多科學(xué)家都具備善于觀察的能力，他們能夠在眾多的事物中發(fā)現(xiàn)獨特之處，比如縱有千萬人見過蘋果自然掉落，唯有牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律.可以說，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，觀察是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，通過對問題的整體觀察，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的特點，從中發(fā)現(xiàn)某些帶有規(guī)律性的內(nèi)容，從而找出解題思路.

（二）整體代入，簡化數(shù)學(xué)問題

初中階段是一個承上啟下的階段，此階段的數(shù)學(xué)教學(xué)十分關(guān)鍵，所以在此階段，教師必須突破傳統(tǒng)觀念，拋棄理論知識灌輸、布置大量作業(yè)、題海戰(zhàn)術(shù)等思想，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的角度來思考數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會整體思想.在數(shù)學(xué)的整體思想中，整體代入則是其重要的思想之一，它能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化，降低數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生有效地掌握數(shù)學(xué)知識.

例如，對于“一元二次方程”的教學(xué)，教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一元二次方程的基本概念時，為了幫助學(xué)生理解整體代入思想，可以通過一道例題將這個思想呈現(xiàn)出來.首先，在上課之初，教師先將例題以板書的形式寫在黑板上：x=25，求x5+x4+x3+x2+2x-1的值.觀察這個算式，若是直接將x的值代入多項式中，不僅運(yùn)算步驟非常復(fù)雜，還非常容易出錯.所以，教師可以為學(xué)生提供一些啟示，讓學(xué)生思考一下最近這幾節(jié)課學(xué)習(xí)的知識，然后讓學(xué)生依據(jù)所學(xué)知識自己進(jìn)行演算、化簡，以此來提升學(xué)生獨立思考問題的能力.最后，從學(xué)生的計算過程來看，很多學(xué)生都是直接將x的值代入其中.此時教師可以指導(dǎo)學(xué)生探索多種的解題方式，比如對原式進(jìn)行簡化，并讓學(xué)生觀察其中的變化，通過分析學(xué)生很快就會得出答案.

從整節(jié)課的教學(xué)來看，學(xué)生逐漸地認(rèn)識到有些數(shù)學(xué)問題若是用常規(guī)的方法來解決，則很難獲得良好的效果.所以，此時必須轉(zhuǎn)化解題思路，從宏觀的角度對問題的整體進(jìn)行分析，將數(shù)學(xué)問題簡化，降低學(xué)習(xí)的難度.因此，在實際教學(xué)的過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生觀察問題的整體結(jié)構(gòu)，對已知條件進(jìn)行分析，從中探索有效的、簡便的解題方法.

（三）整體換元，凸顯解題便捷性

在數(shù)學(xué)整體思想中，整體換元是一種重要的思想.在具體數(shù)學(xué)問題的解決中，可以將某個式子看作一個整體，并使用一個變量去代替它，以此來實現(xiàn)問題的簡化，此為換元法.從整體換元的實質(zhì)來看，其就是一個轉(zhuǎn)化的過程，關(guān)鍵在于構(gòu)造元和設(shè)元，其理論依據(jù)是等量代換，目的是將研究對象變換，將原有的問題轉(zhuǎn)移到新對象的知識背景中研究，從而將非標(biāo)準(zhǔn)化問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化問題，將復(fù)雜化問題轉(zhuǎn)化為簡單化問題，使數(shù)學(xué)問題變得容易處理.整體換元思想可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式，在一元二次方程的研究中有著廣泛的應(yīng)用.

例如，在“一元二次方程”的教學(xué)中，一些題目應(yīng)用整體換元法解方程可以使學(xué)生體驗解題的簡便性，培養(yǎng)學(xué)生思考的完整性.例1：解方程：（x2-5x）2=36.該方程屬于高次方程，解方程的途徑主要是對其進(jìn)行降次，將其轉(zhuǎn)化為低次方程，而元的構(gòu)造則是比較多樣的，可以依據(jù)題目的具體情況進(jìn)行分析，既可以是單項式，也可以是多項式.例2：解方程：x-3+2x-3=3.解這種根式方程，最優(yōu)的途徑是將其轉(zhuǎn)化成整式方程，在這個過程也需要進(jìn)行換元，對于元的構(gòu)造建議使用整個被開方式.同時還需要注意二次根式的意義——非負(fù)性，因此換的元在取值方面有限制.例3：解方程：3x2+3x=2x2+x+1.解這種分式方程，常規(guī)的方法就是通過去分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程.但是在去分母之后得到的是高次方程，解法有一定的難度.由于分母是二次的，所以可以將分母進(jìn)行換元，將其化為分母是一次的分式方程，這樣解題會更容易一些.

（四）整體構(gòu)造，降低問題難度

在初中階段的教學(xué)中，利用整體構(gòu)造法解一元二次方程是數(shù)學(xué)解題技巧之一，利用這個方法，可以將解方程的過程化繁為簡、化難為易，具有事半功倍的效果.因此，在數(shù)學(xué)課上，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握這種解題技巧，幫助學(xué)生掌握一元二次方程的知識和解法.首先，利用方程的定義構(gòu)造一元二次方程.例如習(xí)題：已知兩個不相等實數(shù)a，b，滿足條件a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，求ba+ab的值.對于這個方程，若是按照常規(guī)的方法來思考，需要從已知的兩個式子中求出a和b的值，但是a與b各有兩個值，這就需要分四種情況進(jìn)行討論，這樣解起來比較煩瑣.所以，就可以考慮將a和b看作是方程x2-6x+4=0的兩個實數(shù)根，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，計算出：a+b=6，ba+ab=b2+a2ab=7.其次，利用韋達(dá)定理的逆定理構(gòu)造一元二次方程.當(dāng)題設(shè)條件具備x1+x2=p，x1x2=q時，便可以使用韋達(dá)定理的逆定理構(gòu)造一元二次方程x2-px+q=0來解題，即將x1，x2看作方程x2-px+q=0的兩個實根.最后，利用換元法構(gòu)造一元二次方程.在解含有多個變元的等式時，可以將等式整理成關(guān)于某個字母的一元二次方程.

（五）整體應(yīng)用，解決數(shù)學(xué)問題

在初中階段，數(shù)學(xué)教材中有很多較為復(fù)雜的算式，對于這些知識的教學(xué)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生使用整體思想對其進(jìn)行觀察、分析，然后使用整體思想進(jìn)行解題.例如，對于“一元二次方程”這節(jié)課的進(jìn)一步教學(xué)，教師可以利用習(xí)題幫助學(xué)生鞏固知識，幫助學(xué)生靈活地掌握一元二次方程的知識.例（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值.講解時可以讓學(xué)生以小組為單位對問題進(jìn)行討論，學(xué)生會激烈地參與到討論中，盡管課堂氛圍非常活躍，但是學(xué)生并沒有抓住解題要領(lǐng).最后，在學(xué)生全面對這個問題進(jìn)行分析后，教師可以指點學(xué)生，讓學(xué)生將（a2+b2）看作一個整體，再次進(jìn)行討論，學(xué)生此時就會反應(yīng)過來，本題的實質(zhì)就是以（a2+b2）為未知數(shù)的一元二次方程的一般形式.從整個問題的分析過程來看，利用問題研究整體形式，并對式子進(jìn)行處理，這樣就可以使學(xué)生較容易理解題目的內(nèi)涵，學(xué)生便可以快速地解決問題.因此，在數(shù)學(xué)課上，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識時，要幫助學(xué)生學(xué)會抽絲剝繭，在復(fù)雜的問題中發(fā)現(xiàn)題眼，將復(fù)雜的問題簡單化，這不僅可以提升學(xué)生解題的效率，還能夠幫助學(xué)生理解整體思想在數(shù)學(xué)問題中的重要應(yīng)用.

結(jié)束語

總而言之，在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的過程中，整體思想作為關(guān)鍵的解題思想之一，不僅可以完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還可以將復(fù)雜的問題簡單化，幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.因此，在數(shù)學(xué)課上，教師要指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用整體思想，幫助學(xué)生在掌握一元二次方程基本概念與基礎(chǔ)知識的前提下，體會整體思想在解題過程中的應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握更多的解題技巧，以此來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

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