【摘要】線性代數(shù)“課程思政”建設(shè)對(duì)于實(shí)現(xiàn)強(qiáng)化價(jià)值引領(lǐng)、知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)“三位一體”的教育教學(xué)目標(biāo)格外重要.本文以課程發(fā)展、定理和算法的形成、言傳身教的核心，以及應(yīng)用為著力點(diǎn)，研究如何有效地將 “課程思政”元素融入線性代數(shù)教學(xué).

【關(guān)鍵詞】“課程思政”;線性代數(shù);教學(xué)方法

【基金項(xiàng)目】上海理工大學(xué)“教學(xué)成果獎(jiǎng)”培育項(xiàng)目，上海市課程思政領(lǐng)航高校建設(shè)項(xiàng)目.

為了貫徹習(xí)近平在全國高校思政會(huì)議上關(guān)于 “各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)” 的講話精神，各高校紛紛開展“課程思政”的探討.線性代數(shù)是高等學(xué)校的重要公共基礎(chǔ)課程，是本科理、工、經(jīng)、管等非數(shù)學(xué)類各學(xué)科本科生的必修課程.該課程的內(nèi)容、思想及方法，對(duì)學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)有直接的影響.正因如此，線性代數(shù)的“課程思政”建設(shè)對(duì)于實(shí)現(xiàn)強(qiáng)化價(jià)值引領(lǐng)、知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)“三位一體”的教育教學(xué)目標(biāo)格外重要，具有推廣價(jià)值.

一、以課程發(fā)展歷史增強(qiáng)學(xué)生的民族凝聚力

學(xué)過線性代數(shù)的人都知道，線性代數(shù)的發(fā)展史上并沒有中國人的名字，難道說古老的中華民族在近代數(shù)學(xué)發(fā)展中落伍了？其實(shí)不然，以矩陣的起源為例，早在《九章算術(shù)》中，我們的祖先就采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組.《九章算術(shù)》方程章中共計(jì)18道題目，其中關(guān)于二元一次方程組的有8道題目，三元的有6道題目，四元、五元的各2道題目，其求解的基本方法和加減消元法基本一致，是世界上最早的完整的簡單線性方程組的解法.而在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法.這既說明了人類的認(rèn)知途徑是從簡單到復(fù)雜，從形象到抽象，形象和抽象相結(jié)合的認(rèn)知規(guī)律，又驗(yàn)證了 “實(shí)踐—理論—實(shí)踐”的馬克思主義認(rèn)識(shí)論，更說明了中國數(shù)學(xué)對(duì)于世界的影響.

二、以定理和算法的形成樹立學(xué)生的辯證唯物觀

數(shù)學(xué)是一門客觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖匀豢茖W(xué)，體現(xiàn)了唯物論和辯證法的哲學(xué)思想.線性代數(shù)中的很多定理和算法都是從具體的客觀現(xiàn)象中抽象出來的.比如，線性方程組的解法、向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的判定定理等都是由實(shí)際問題歸納總結(jié)出來的，最終回歸到實(shí)踐中，經(jīng)過了“由特殊到一般，再由一般到特殊”的認(rèn)識(shí)過程及“從具體到一般，再從一般到具體”的思維方法.

三、言傳不如身教，教師是“課程思政”的核心

“課程思政”建設(shè)的關(guān)鍵在于教師.教師是課堂教學(xué)實(shí)施的主體，也是第一責(zé)任人.多年來形成的教學(xué)觀念和教學(xué)習(xí)慣，難免會(huì)讓部分教師對(duì)數(shù)學(xué)課程開展中融入課程思想政治的認(rèn)識(shí)深度不夠，認(rèn)為與己無關(guān).因此，認(rèn)識(shí)到“課程思政”的重要性和必要性，改變教師多年形成的教學(xué)觀念和教學(xué)習(xí)慣，提高育人意識(shí)，才能切實(shí)做到“愛學(xué)生、有學(xué)問、會(huì)傳授、做榜樣”.

四、以實(shí)際應(yīng)用為著力點(diǎn)

線性代數(shù)有何用？這是線性代數(shù)“課程思政”的著力點(diǎn).理論來源于實(shí)踐，理論的價(jià)值最終也在實(shí)踐中體現(xiàn).線性代數(shù)在編碼解碼等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，可以毫不夸張地說，一半以上的實(shí)際應(yīng)用問題，最終都可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)超大規(guī)模的線性方程組問題.下面就以幾個(gè)實(shí)際的例子說明線性代數(shù)的應(yīng)用.

1.向量在數(shù)據(jù)表示中的應(yīng)用

（1）onehot編碼.在機(jī)器學(xué)習(xí)中，對(duì)一個(gè)對(duì)象的表示有兩種常見的方式.最簡單且不需要學(xué)習(xí)的方式就是onehot編碼，它可以將研究的對(duì)象表示為向量，這個(gè)向量只有某一個(gè)分量為1，其余全為0.

可以想象有多少種類型，這個(gè)向量的維數(shù)就是多少.如果用這種方式將中文漢字向量化，假設(shè)所有的中文漢字有N個(gè)，要想通過這種方式去表示這些漢字，那么每個(gè)字都需要用一個(gè)N維的向量，總共需要N×N大小的矩陣.在自然語言處理中，詞袋模型就是以此為基礎(chǔ)構(gòu)建的.

例1? 用onehot編碼表示“我愛蘋果，我愛香蕉”，一個(gè)詞語對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)字，那么上面的4個(gè)詞語，可以用下列方式編碼：

“我”的編碼為[1，0，0，0]，“愛”的編碼為[0，1，0，0]，“蘋果”的編碼為[0，0，1，0]，“香蕉”的編碼為[0，0，0，1].

（2）分布式表示.分布式表示是一種高維空間中的向量表示方法.首先，通過某種方式得到一個(gè)低維稠密的向量表示研究對(duì)象，最典型的例子就是顏色.我們知道任何一種顏色都可以通過紅、綠、藍(lán)3種顏色混合得到，在計(jì)算機(jī)中通常使用RGB方式將顏色表示為一個(gè)三元組.比如用RGB表示粉色、淺粉色、深粉色分別為（255，182，193），（255，192，203），（255，20，147）.這種表示方法可以反映顏色的相近程度.而如果要用onehot編碼表示這些顏色，對(duì)于256級(jí)的RGB來說，總共有約2563種色彩，就需要2563維向量，數(shù)據(jù)是非常高維且稀疏的.

例2 例1中的四個(gè)詞可以用以下四個(gè)三維向量表示：我 [1，1，1]，愛 [1，-1，1]，蘋果 [-1，1，0.5]，香蕉 [-1，1，0.4].不但維數(shù)降低了，還可以直觀地看出蘋果和香蕉在語義上較為接近，因?yàn)樗鼈兌际撬?

2.線性運(yùn)算在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Convolutional Neural Networks，CNN）是一類包含卷積計(jì)算且具有深度結(jié)構(gòu)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是深度學(xué)習(xí)的代表算法之一，在深度學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位.一般情況下，CNN由3個(gè)部分構(gòu)成：卷積層、池化層和全連接層.卷積層負(fù)責(zé)提取圖像中的局部特征，而卷積其實(shí)質(zhì)是一種特殊的線性運(yùn)算.

例3 假設(shè)卷積核為一個(gè)3階方陣B=010201112，圖片A=2351000122332114130032622經(jīng)卷積后可得到圖片C=141410191210311619.其運(yùn)算為對(duì)A的3階子陣的元素按系數(shù)分別為0，1，0，2，0，1，1，1，2進(jìn)行線性運(yùn)算.

c11=0×2+1×3+0×5+2×0+0×0+1×1+1×3+1×3+2×2=14;

c12=0×3+1×5+0×1+2×0+0×1+1×2+1×3+1×2+2×1=14;

c13=0×5+1×1+0×0+2×1+0×2+1×2+1×2+1×1+2×1=10;

c21=0×0+1×0+0×1+2×3+0×3+1×2+1×4+1×1+2×3=19;

c22=0×0+1×1+0×2+2×3+0×2+1×1+1×1+1×3+2×0=12;

c23=0×1+1×2+0×2+2×2+0×1+1×1+1×3+1×0+2×0=10;

c31=0×3+1×3+0×2+2×4+0×1+1×3+1×3+1×2+2×6=31;

c32=0×3+1×2+0×1+2×1+0×3+1×0+1×2+1×6+2×2=16;

c33=0×2+1×1+0×1+2×3+0×0+1×0+1×6+1×2+2×2=19.

3.特征值和特征向量在主成分分析法的應(yīng)用

在用統(tǒng)計(jì)分析方法研究多變量問題時(shí)，變量個(gè)數(shù)太多會(huì)增加問題的復(fù)雜性，還會(huì)增加運(yùn)算成本.理想的做法是在減少變量個(gè)數(shù)的同時(shí)，盡量保留完整的信息.實(shí)際上，有些變量之間往往具有一定的相關(guān)性，當(dāng)兩個(gè)變量之間有一定相關(guān)性時(shí)，它們攜帶的信息往往有一定程度的重復(fù).

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一種統(tǒng)計(jì)方法，是設(shè)法將原來變量重新組合成一組新的相互無關(guān)的綜合變量，同時(shí)根據(jù)實(shí)際需要從中選出較少的總和變量盡可能多地反映原來變量信息.其數(shù)學(xué)定義為：一個(gè)正交化線性變換，把數(shù)據(jù)變換到一個(gè)新的坐標(biāo)系統(tǒng)中，使得這一數(shù)據(jù)的任何投影的第一大方差在第一個(gè)坐標(biāo)（第一主成分）上，第二大方差在第二個(gè)坐標(biāo)（第二主成分）上，依次類推.

假設(shè)有m個(gè)樣本數(shù)據(jù)，每個(gè)數(shù)據(jù)是n維的，按列組成矩陣Xnm，則PCA步驟如下：

（1）均值化矩陣Xnm，得到X=Xnm-X-nm（其中X-nm的第i行元素均為Xnm的第i行元素的均值）.

（2）求出協(xié)方差矩陣C=1m-1XXT.

（3）求出協(xié)方差矩陣C的特征值和特征向量.

（4）選取k個(gè)最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.

（5）降維矩陣Ykm=WknX.

例4 假設(shè)X2×5=22353-11122.

（1）均值化：X=X2×5-X-2×5=-1-1020-20011.

（2）協(xié)方差矩陣：C=15-1XXT=321132.

（3）特征值：λ1=52，λ2=12，取特征向量ω1=11，ω2=1-1，將特征向量單位化，ω′1=1212，ω′2=12-12.

（4）按照特征值大小排序，這里選取λ1，此時(shí)矩陣W1×2=1212.

（5）降維矩陣

Y1×5=W1×2X=1212-1-1020-20011=-32-1203212.

【參考文獻(xiàn)】

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[4]Jolliffe I T.Principal Component Analysis[M].Berlin：SpringerVerlag，2002.