覃秀敏　劉運(yùn)龍　張金江

[摘 要]模型思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面，數(shù)學(xué)一線教師在日常教學(xué)中應(yīng)注重這一重要思想的滲透，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在“將軍飲馬問題”的教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷感知模型、建立模型、拓展模型、歸納模型、遷移模型等活動(dòng)過程，體會(huì)模型思想，促進(jìn)學(xué)生分析問題和解決問題能力的提高，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]模型思想;將軍飲馬問題;初中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)]??? G633.6??????? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]??? A??????? [文章編號(hào)]??? 1674-6058（2021）02-0029-02

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的十個(gè)核心詞之一，也被《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》列為六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)一線教師在日常教學(xué)中應(yīng)注重模型思想的滲透，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).初中階段較少進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的專門訓(xùn)練，因此在一些典型課中，有意識(shí)地滲透模型思想尤為必要.如何有效地將這一抽象的數(shù)學(xué)思想滲透在教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，一直是初中數(shù)學(xué)一線教師深入思考的問題.本文以一節(jié)“將軍飲馬問題”研討課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例談?wù)勀Ｐ退枷氲臐B透.

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

數(shù)學(xué)抽象是建立模型的首要步驟.抽象性和概括性強(qiáng)是數(shù)學(xué)模型的重要特征，一些定理、公式和概念的產(chǎn)生往往需要經(jīng)歷抽象、歸納、概括的過程.筆者通過創(chuàng)設(shè)故事情境，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而感知模型.

問題原型呈現(xiàn)：相傳一位羅馬將軍拜訪并請教精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者海倫一個(gè)有趣的問題——若他每天從軍營出發(fā)，先到河邊飲馬，再到河岸同側(cè)的另外一個(gè)軍營開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？海倫不假思索，便解決了問題.

師：請同學(xué)們也思考一下，從數(shù)學(xué)的角度應(yīng)該如何理解這個(gè)問題呢？

評(píng)析：此環(huán)節(jié)先呈現(xiàn)“將軍飲馬問題”情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲;再通過追問，讓學(xué)生感知問題的本質(zhì)是探求最短路徑，為模型的建立做好思維鋪墊.

二、合作探究，建立模型

實(shí)踐探究和合作學(xué)習(xí)是中學(xué)生研究數(shù)學(xué)的重要途徑，它能將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化和簡單化.本環(huán)節(jié)以讓學(xué)生經(jīng)歷操作、合作探究為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生在觀察、思考、作圖的過程中感受領(lǐng)悟“飲馬問題”模型的建立.

問題一抽象：用A表示軍營，B表示另外一個(gè)軍營.由此故事情境抽象出：（呈現(xiàn)在幾何畫板上）如圖1，A和B位于直線l的同側(cè)，求P在直線l上的什么位置時(shí)[PA+PB]的值最??？

師生活動(dòng)：（限時(shí)3分鐘）以小組為單位，合作探究作圖.教師巡視，學(xué)生代表匯報(bào)交流結(jié)果，展示作圖情況，追問畫圖過程，師生共同補(bǔ)充，教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)驗(yàn)證.

小組展示：如圖2，①以l 為對(duì)稱軸，作出B的對(duì)稱點(diǎn)B′;② 連接AB′與l交于點(diǎn)P，P的位置即為所求;③ [AP+PB]的最小值為AB′.

師生活動(dòng)：

建立“將軍飲馬問題”模型的步驟：（1）明確直線和直線同側(cè)的兩點(diǎn);（2）選取兩點(diǎn)中的任一點(diǎn)，以這條直線為對(duì)稱軸，作其對(duì)稱點(diǎn);（3）連接該對(duì)稱點(diǎn)與另外一個(gè)點(diǎn)，使其與直線交于 P，P即為所求.

評(píng)析：引領(lǐng)學(xué)生從故事情境中抽象出模型，通過探索與反思，小組交流從分析原理到提出模型的學(xué)習(xí)心得，并借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)展示，使得教學(xué)內(nèi)容變得生動(dòng)、豐富.讓學(xué)生總結(jié)從故事情境中提出數(shù)學(xué)問題、建立模型的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們探究問題背后的實(shí)質(zhì)，找到解題本質(zhì)——利用軸對(duì)稱變換知識(shí)作圖，通過“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決問題.組織學(xué)生總結(jié)建立模型的步驟，有效提升學(xué)生對(duì)“將軍飲馬問題”模型的初步理解.

三、變式深化，拓展模型

為了使運(yùn)用“將軍飲馬問題”模型解決實(shí)際問題常態(tài)化、系列化，確保學(xué)生真正理解和掌握該模型，設(shè)計(jì)如下問題，讓學(xué)生再次經(jīng)歷從生活問題中抽象出“將軍飲馬問題”模型的過程，使學(xué)生更加熟練地掌握和應(yīng)用模型.

問題二呈現(xiàn)：2020年迎新晚會(huì)，12班學(xué)生將桌子擺成兩條直線[l1]和[l2]，在[l1]的桌面擺滿蘋果，在[l2]的桌面擺滿餅干，樂樂坐在P處，他先拿蘋果再拿餅干，最后回到P處，你能否幫忙設(shè)計(jì)一條路線，使他來回走過的總路程最短.

師：如圖3，在[l1]、[l2]上分別取點(diǎn)M、N，使[△PMN]的周長最小.類比問題一的思想方法，應(yīng)該如何解決這個(gè)問題？

生：如圖4， 以[l1]、[l2]為對(duì)稱軸，作出點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P′和P″;連接P′P″，與[l1]、[l2]分別交于M和N; 線段P′P″即為所求最小值.（兩點(diǎn)之間線段最短）

評(píng)析：通過探究實(shí)際生活問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生尋找基本信息、識(shí)別基本圖形，發(fā)現(xiàn)實(shí)際生活問題中的數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)會(huì)運(yùn)用對(duì)稱軸進(jìn)行圖形變換，建立“將軍飲馬問題”模型，強(qiáng)化模型的應(yīng)用，推廣模型.

四、興趣延伸，歸納模型

通過類比探究，不難發(fā)現(xiàn)“將軍飲馬問題”模型還可應(yīng)用在下列的問題中.

“將軍飲馬問題”模型也常運(yùn)用在綜合性較強(qiáng)的角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形、長方形、圓、坐標(biāo)系、拋物線等具有軸對(duì)稱性質(zhì)的幾何圖形相結(jié)合的問題中.難度一般的題目只需應(yīng)用軸對(duì)稱變換，再依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”便可解決問題.難度較大的題目則需要多次進(jìn)行軸對(duì)稱變換或者軸對(duì)稱變換與平移變換結(jié)合解決問題.

五、趣味提升，遷移模型

一些物理現(xiàn)象也常常需要應(yīng)用“將軍飲馬問題”模型來解釋.著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾運(yùn)用該模型解釋物理中的“光行最速原理”：從A點(diǎn)射出光線，經(jīng)過平面鏡MN反射照到點(diǎn)B，作出光走過的路徑.

師生互動(dòng)：如圖9，以直線MN為對(duì)稱軸，作B的對(duì)稱點(diǎn)B′， 連接AB′，使其與MN交于點(diǎn)P; AP和PB的和則為光線的“最短路線”.

理由：在直線MN上，除點(diǎn)P之外的其他點(diǎn)P′，均有[AP′+P′B>AB′=AP+PB].光線走過兩定點(diǎn)，走過的路程（或者時(shí)間）總是最短的.物理學(xué)中的“反射定律”——光線經(jīng)平面鏡反射，反射角等于入射角便可得證.

評(píng)析：此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)增加了趣味性，讓學(xué)生了解到“將軍飲馬問題”模型使用的廣泛性.

綜上，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重滲透模型思想，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)模型思想的價(jià)值，學(xué)會(huì)建立模型，讓學(xué)生在建模過程中提高分析問題和解決問題的能力，增強(qiáng)建模意識(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[參考文獻(xiàn)]

[1]? 王立敏.例談數(shù)學(xué)模型思想在教學(xué)中的滲透：以“探索多邊形中隱含的規(guī)律”為例[J].教育實(shí)踐與研究（A），2015（7） ： 69-70.

[2]? 葉志敏，李秋容.“將軍飲馬問題”模型推廣[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（21）：143-144+146.

[3]? 李克民.從經(jīng)典模型的改造談數(shù)學(xué)試題的命制：以“將軍飲馬”問題為例[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（1） ： 41-45.

[4]? 扈保洪.“將軍飲馬”型問題的一種推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 ，2016（6） ： 51-53.

（責(zé)任編輯 陳 昕）