周躍佳

[摘? 要] 教學(xué)要遵循最近發(fā)展區(qū)理論，循序漸進(jìn)地開展連鎖問題探究，逐步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).文章以高中數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，在學(xué)生最近發(fā)現(xiàn)區(qū)內(nèi)巧設(shè)引例，尋找知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，以舊換新，引導(dǎo)學(xué)生步步逼近下一個(gè)發(fā)展區(qū).

[關(guān)鍵詞] 最近發(fā)展區(qū);生長(zhǎng)點(diǎn);數(shù)列

最近發(fā)展區(qū)理論是由蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的教育發(fā)展觀.他認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問題的水平;另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學(xué)所獲得的潛力.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)為學(xué)生提供遞進(jìn)式探索性問題，通過問題的逐一解決，開發(fā)學(xué)生的潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行下一發(fā)展區(qū)發(fā)展.筆者以高中數(shù)列的“概念—表示—通項(xiàng)”的教學(xué)整體設(shè)計(jì)為例，從“扎根區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”，再到“新區(qū)”，再到“特區(qū)”，設(shè)計(jì)連鎖性探索問題，指導(dǎo)學(xué)生把握問題的關(guān)鍵點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，獲得問題的解決點(diǎn).

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. “扎根區(qū)”——以函數(shù)作為數(shù)列的最初生長(zhǎng)點(diǎn)

復(fù)習(xí)函數(shù)：（1）定義：非空數(shù)集A中任意一個(gè)數(shù)，在非空數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫作函數(shù).

（2）舉例：

函數(shù)1：f（x）=2x-1，集合A為實(shí)數(shù)集R，集合B也為實(shí)數(shù)集R.

函數(shù)2：

函數(shù)3：f（x）=-2x，集合A為實(shí)數(shù)集R，集合B也為實(shí)數(shù)集R.

函數(shù)4：

函數(shù)5：f（x）=2x，集合A為實(shí)數(shù)集R，集合B也為實(shí)數(shù)集R.

函數(shù)6：

函數(shù)7：

函數(shù)8：某地新型冠狀病毒肺炎患者每天治愈的人數(shù).

函數(shù)9：

設(shè)計(jì)意圖：從函數(shù)的角度自然過渡到數(shù)列的概念，這幾個(gè)例子將作為后續(xù)研究的常用引例（新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)）. 著名的數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個(gè).”這幾個(gè)引例，就好比蘑菇叢的中心位置.

2. “最近發(fā)展區(qū)”——以問題鏈作為數(shù)列概念的生長(zhǎng)點(diǎn)

問題1：函數(shù)1、函數(shù)3、函數(shù)5和函數(shù)2、函數(shù)4、函數(shù)6、函數(shù)7、函數(shù)8、函數(shù)9的表達(dá)有什么區(qū)別？

回答：函數(shù)1、函數(shù)3、函數(shù)5是用解析法表達(dá)的，函數(shù)2、函數(shù)4、函數(shù)6、函數(shù)7、函數(shù)8、函數(shù)9是用列表法表達(dá)的.

問題2：將函數(shù)2、函數(shù)4、函數(shù)6、函數(shù)7、函數(shù)8、函數(shù)9歸為一類，你能說明這一類函數(shù)的共同特征嗎？

回答：這一類函數(shù)可以看作是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù).

問題3：你能統(tǒng)一定義這一類函數(shù)嗎？

回答：由于函數(shù)2、函數(shù)4、函數(shù)6、函數(shù)7、函數(shù)8、函數(shù)9都定義在正整數(shù)集或其有限子集上，故我們將自變量用小寫字母n表示，那么每個(gè)n都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)an. 我們將這些數(shù)按順序排列起來(lái)，如函數(shù)2中的函數(shù)值排列出來(lái)是1，3，5，7，9，11;函數(shù)4中的函數(shù)值排列出來(lái)是-2，-4，-6，-8，….

我們把這樣的函數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列是一種特殊的函數(shù). 簡(jiǎn)單地說，數(shù)列就是按照一定的順序排列的一列數(shù). 數(shù)列的一般形式可以寫成a ，a ，a ，…，a ，…，數(shù)列中每個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，a 叫作這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，a 是這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng).

Ⅰ級(jí)最近發(fā)展區(qū)：“萌芽生長(zhǎng)區(qū)”——以上面函數(shù)引例中的數(shù)列作為數(shù)列表示法研究的生長(zhǎng)點(diǎn).

問題4：數(shù)列的表示有哪些方式？

（1）列舉法：

{a }：1，3，5，7，9，11.

{b }：-2，-4，-6，-8，-10，-12，….

{c }：2，4，8，16，32，….

{d }：1，-1，1，-1，1，….

{e }：13，16，28，30，45，52.

{f }：3，3，3，3，3，3，….

設(shè)計(jì)意圖：上例中含有數(shù)列分類和等差、等比的所有類型，為后續(xù)學(xué)習(xí)悄悄埋下伏筆.

（2）圖像法：在平面直角坐標(biāo)系中描出（n，a ）這些孤立的點(diǎn).

（3）通項(xiàng)公式法：如果數(shù)列{a }的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式：a =2n-1（n=1，2，3，4，5，6）.

數(shù)列{b }的通項(xiàng)公式：b =-2n（n∈N*）.

數(shù)列{c }的通項(xiàng)公式：c =2n（n∈N*）.

數(shù)列{d }的通項(xiàng)公式：d =（-1）n-1或d =（-1）n+1（n∈N*）.

數(shù)列{e }無(wú)通項(xiàng)公式.

數(shù)列{f }的通項(xiàng)公式：f =3（n∈N*）.

（4）遞推公式法：給出數(shù)列的某一項(xiàng)及某兩項(xiàng)之間的關(guān)系式來(lái)表示.如數(shù)列{a }：a =1，a =a +2是一個(gè)遞推公式;數(shù)列{b }：b =-2，b =2b 是一個(gè)遞推公式;除數(shù)列{e }外，都有遞推公式.

設(shè)計(jì)意圖：完成數(shù)列表示方法的系列探索，并為求數(shù)列通項(xiàng)公式和遞推公式的后期研究創(chuàng)造生長(zhǎng)點(diǎn).

Ⅱ級(jí)最近發(fā)展區(qū)：“自然生長(zhǎng)區(qū)”——以上面所表示出的數(shù)列作為數(shù)列分類研究的生長(zhǎng)點(diǎn).

問題5：數(shù)列可以怎么分類？請(qǐng)同學(xué)們觀察問題4中“列舉法”所展示的幾個(gè)數(shù)列，分別研究以下兩個(gè)小問題：

（1）這些數(shù)列各有幾項(xiàng)？

（2）這些數(shù)列增減性如何？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}（1）引導(dǎo)學(xué)生按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)將數(shù)列分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列. 問題（2）引導(dǎo)學(xué)生按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系將數(shù)列分為遞增數(shù)列（{a }和{c }）、遞減數(shù)列（{b }）、擺動(dòng)數(shù)列（{d }和{e }）以及常數(shù)數(shù)列（{f }）.

Ⅲ級(jí)最近發(fā)展區(qū)：“繁衍生長(zhǎng)區(qū)”——以數(shù)列{a }，{b }，{c }，{d }和{f }作為等差數(shù)列、等比數(shù)列的生長(zhǎng)點(diǎn).

問題6：請(qǐng)同學(xué)們分別觀察數(shù)列{a }，{b }和{f }從第二項(xiàng)起的各項(xiàng)與前一項(xiàng)之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生獲得等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

問題7：請(qǐng)同學(xué)們分別觀察數(shù)列{c }，{d }和{f }從第二項(xiàng)起的各項(xiàng)與前一項(xiàng)之間的關(guān)系. 能否類比問題6的方式總結(jié)這類數(shù)列的特征？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生獲得等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）.

3. “新區(qū)”——以等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念作為等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式研究的生長(zhǎng)點(diǎn)

問題8：等差數(shù)列{a }的首項(xiàng)是a ，公差是d，你能用a 和d寫出{a }的通項(xiàng)公式嗎？

回答：a -a =d，a -a =d，…，a -a =d，…. 所以a =a +d，a =a +d=（a +d）+d=a +2d，a =a +d=（a +2d）+d=a +3d，…，a =a +（n-1）d. 所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a =a +（n-1）d.

設(shè)計(jì)意圖：取一般情況下的等差數(shù)列為例，以等差數(shù)列的概念為最近生長(zhǎng)點(diǎn)，用定義推導(dǎo)出通項(xiàng)公式.

問題9：等比數(shù)列{a }的首項(xiàng)是a ，公比是q，你能用a 和q寫出{a }的通項(xiàng)公式嗎？

回答：類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，可以推出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a =a qn-1.

設(shè)計(jì)意圖：以等比數(shù)列的概念為最近生長(zhǎng)點(diǎn)，模仿、類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的“生長(zhǎng)”方式進(jìn)行研究.

4. 特區(qū)：“新舊聯(lián)系區(qū)”——建立等差數(shù)列、等比數(shù)列的函數(shù)思想

問題10：等差數(shù)列和等比數(shù)列分別是什么函數(shù)？

回答：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a =dn+（a -d）是關(guān)于n的一次函數(shù)，公差d是一次項(xiàng)系數(shù)，a -d是常數(shù)項(xiàng). 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a =a qn-1是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：首尾呼應(yīng)，建立起數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，揭示數(shù)列的本質(zhì).

教學(xué)思考

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)以“函數(shù)”為主線，從一般函數(shù)到特殊函數(shù)（數(shù)列）的自然過渡與探究，始終圍繞學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，當(dāng)學(xué)生達(dá)到上一水平（掌握函數(shù)）并及時(shí)“喚醒”后，在上一水平中找到生長(zhǎng)點(diǎn)（特殊函數(shù)的研究），促進(jìn)學(xué)生走入最近發(fā)展區(qū)（對(duì)這一類函數(shù)的歸類、抽象提煉），并以問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生步步逼近下一發(fā)展區(qū)（特殊數(shù)列的進(jìn)一步研究并回歸函數(shù)的本質(zhì)）. 如果再往下一發(fā)展區(qū)走，將會(huì)步入等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的研究. 而為什么要研究前n項(xiàng)和？它的最近發(fā)展區(qū)在哪里？如何找到生長(zhǎng)點(diǎn)？這將是數(shù)列的下一個(gè)教學(xué)重點(diǎn).問題是數(shù)學(xué)的心臟，它總是一個(gè)個(gè)地產(chǎn)生、一次次地帶領(lǐng)我們向前一步，再向前一步.

教師在設(shè)計(jì)教學(xué)之前，必須清楚了解學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到認(rèn)知沖突或認(rèn)知缺口，致使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)失衡，再以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生步入最近發(fā)展區(qū)，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)解決認(rèn)知沖突或彌補(bǔ)認(rèn)知缺口，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)恢復(fù)平衡狀態(tài)，從而進(jìn)入下一發(fā)展區(qū)進(jìn)行發(fā)展.我們的教學(xué)就是在這樣一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過程中進(jìn)行的，教師需要常伴學(xué)生左右，動(dòng)態(tài)了解學(xué)生的認(rèn)知，不斷促進(jìn)學(xué)生的元認(rèn)知，從而突破一個(gè)又一個(gè)發(fā)展區(qū)，幫助學(xué)生在完善基礎(chǔ)知識(shí)、獲得基本技能、體驗(yàn)基本活動(dòng)的同時(shí)提升思維水平，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，從而提高在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)自主發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.