趙一峰

[摘 要]數(shù)學(xué)知識是有結(jié)構(gòu)的，知識的相互聯(lián)系首先體現(xiàn)在整體性。教學(xué)“數(shù)的認(rèn)識”時，教師對自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)采用整體性認(rèn)識和結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略，可避免單課教學(xué)帶來的知識碎片化的現(xiàn)象，讓學(xué)生學(xué)會在整體的數(shù)學(xué)樣貌下，通過學(xué)習(xí)和思考發(fā)現(xiàn)知識的聯(lián)系，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體化，讓思維走向自主建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化，為終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)的認(rèn)識;整體性;結(jié)構(gòu)化

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0021-02

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是根據(jù)教材的內(nèi)容分課時進(jìn)行的，使得學(xué)生接受的知識孤立又零碎，具有很大的離散性，學(xué)生難以形成完整的知識結(jié)構(gòu)。教師應(yīng)該在對數(shù)學(xué)知識的整體性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的教學(xué)策略，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)、認(rèn)識和思考，發(fā)現(xiàn)知識的聯(lián)系，對數(shù)學(xué)知識形成整體的把握，既見樹木又見森林，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體化，讓思維走向自主建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化?！皵?shù)的認(rèn)識”中蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想，比如有序、守恒、集合、模型、對應(yīng)等，其中的許多思想都可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。因此，我以“數(shù)的認(rèn)識”為例，討論“從整體性認(rèn)識走向結(jié)構(gòu)化教學(xué)”這一話題所具有的現(xiàn)實意義。

一、加強(qiáng)對“數(shù)的認(rèn)識”的整體性認(rèn)識

從數(shù)系的角度看，數(shù)的概念包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和復(fù)數(shù)。自然數(shù)的概念是人類積累數(shù)學(xué)知識的開端，也是一切數(shù)的基礎(chǔ)。按照皮亞杰的觀點，學(xué)習(xí)自然數(shù)的概念的基礎(chǔ)是數(shù)守恒，即數(shù)的相互性、同一性和逆反性。

分?jǐn)?shù)由于其表征形式不同，可以有以下幾種理解。

（1）部分與整體的關(guān)系：將分?jǐn)?shù)表征成一個整體等分成若干份，其中的幾份與整體相比較的結(jié)果。

（2）子集與母集的關(guān)系：當(dāng)全體為離散量，分?jǐn)?shù)的意義為子集與母集的關(guān)系，此時將分?jǐn)?shù)表征成一個集合等分后，將其中的幾組與該集合相比較產(chǎn)生的結(jié)果。

（3）除法中等分除的商：除法中的等分除明顯與分?jǐn)?shù)相吻合，分?jǐn)?shù)在等分除中的意義是單位量等分的過程與結(jié)果。從數(shù)學(xué)的角度來看，這一定義體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，符合數(shù)系擴(kuò)張的數(shù)學(xué)思想。

（4）比（比值）：將分?jǐn)?shù)表征成兩數(shù)相比的比值、兩個量相比的結(jié)果，這里不同于前面的部分與整體的關(guān)系。部分與整體是在同一量中的比較，而比是兩個不同量之間的關(guān)系，比值是一個數(shù)值化的結(jié)果。

（5）數(shù)軸上的一點：分?jǐn)?shù)是一個數(shù)，在數(shù)軸上可以找到表示這個數(shù)的一個點，這個點和原點的距離與單位長的相對關(guān)系形成分?jǐn)?shù)的數(shù)值。把分?jǐn)?shù)看作數(shù)軸上的一個點，有利于建立數(shù)集的序關(guān)系和有理數(shù)的稠密性概念。

小數(shù)概念的形成則有通過分?jǐn)?shù)的“部分與整體”關(guān)系或者利用整數(shù)的位值概念這兩條基本路徑。

（1）部分與整體的關(guān)系。將一個整體等分后，分?jǐn)?shù)是表示其中被指定的部分與整體的關(guān)系，當(dāng)分母為十的冪數(shù)，如10、100、1000等，分?jǐn)?shù)就有了另外的表示方法：1/10可寫成0.1，1/100可寫成0.01……因此，有限小數(shù)可看成是分?jǐn)?shù)的特例。一位小數(shù)是記錄十分之幾的分量，兩位小數(shù)是記錄百分之幾的分量……從分?jǐn)?shù)的角度切入，了解到有限小數(shù)是由“十等分”分割產(chǎn)生的。一百分之一的分量可從十分之一的分量再“十等分”產(chǎn)生，而一千分之一的分量可從一百分之一分量再“十等分”產(chǎn)生……以此類推，“十等分”的活動可無限地繼續(xù)下去，而此無限分割的觀念正符合了小數(shù)稠密性。

（2）利用整數(shù)位值概念。在記數(shù)系統(tǒng)中，用0～9這10個數(shù)字及其被置放的相對位置，來表征全部的非負(fù)整數(shù)，任何非負(fù)整數(shù)都可以用展開式表示。例如3456=3×1000+4×100+5×10+6×1，而此展開式可視為以10為基底的多項式。在這樣的記數(shù)系統(tǒng)下，個位是記錄幾個一的位置，其位值是1，以它為基點，向左一位是十位，是記錄幾個十的位置，其位值是10;再向左一位是百位，它的位值是100……可以無限地向左延伸下去。為了使得個位也能無限地往右延伸下去，可將10的指數(shù)擴(kuò)充至負(fù)整數(shù)，往左擴(kuò)展一位是乘10的結(jié)果，那么往右擴(kuò)展一位便是除以10的結(jié)果。利用位值往右擴(kuò)展的結(jié)果，就有了新符號和新位名的產(chǎn)生。

這樣，通過記數(shù)系統(tǒng)也可以幫助學(xué)生掌握小數(shù)的意義。例如，因為0.34=3×0.1+4×0.01，所以小數(shù)0.34可看成3個“0.1”和4個“0.01”合成的結(jié)果。

由此看來，一些小數(shù)可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)形式，在這種情況下，小數(shù)為分?jǐn)?shù)的子集。但分?jǐn)?shù)的分母并不都以10的乘冪的形式出現(xiàn)，分子除以分母會出現(xiàn)兩種情況，一種是除得盡，這些小數(shù)被稱為有限小數(shù);一種是除不盡，這些小數(shù)包括循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)。

二、構(gòu)建“數(shù)的認(rèn)識”的結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略

1.梳理內(nèi)容，合理排序

無論是自然數(shù)、分?jǐn)?shù)，還是小數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展，都是人類生產(chǎn)生活的總結(jié)。教材根據(jù)數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展特點，注重創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體情境抽象出數(shù)的過程，逐步體會數(shù)的含義，形成數(shù)的概念。

梳理現(xiàn)行的各版本教材發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)步驟都是自然數(shù)→分?jǐn)?shù)→小數(shù)，其理由大概是人類先認(rèn)識自然數(shù)，后認(rèn)識分?jǐn)?shù)，再認(rèn)識小數(shù)。人類是先從數(shù)量的多少中抽象出了自然數(shù)，即用自然數(shù)定量刻畫了“有多少”“多多少”等，后來發(fā)現(xiàn)自然數(shù)不能描述更小的量，于是創(chuàng)造了分?jǐn)?shù)。不過，通過自然數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對于0～9這10個符號表征所有的自然數(shù)有了領(lǐng)悟，或者說學(xué)生覺得每一個數(shù)字通過占有位置，并且相鄰數(shù)位的進(jìn)率為10的規(guī)則計數(shù)，是理想的模型。那么一旦出現(xiàn)小于1個、1只、1條……的量，學(xué)生便會自覺地應(yīng)用這個理想中的模型，以10倍進(jìn)率縮小的方法來計數(shù)，從而就有了現(xiàn)代意義上的小數(shù)（十進(jìn)分?jǐn)?shù)）。

由此探討可以發(fā)現(xiàn)，小數(shù)相對于自然數(shù)來說，更利于遷移，更利于學(xué)生理解數(shù)字?jǐn)U張可以在數(shù)學(xué)內(nèi)部完成。因此，我建議對“數(shù)的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)順序調(diào)整為“自然數(shù)→小數(shù)→分?jǐn)?shù)”。

在小數(shù)之后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，可以幫助學(xué)生更好地辨析分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系，即理解緣何小數(shù)為分母是10的冪的分?jǐn)?shù);分?jǐn)?shù)與整數(shù)的關(guān)系，即能整除的值為整數(shù)，不能整除的值為分?jǐn)?shù)。這樣調(diào)整還有一個好處，就是所有的數(shù)都可以放在數(shù)軸上認(rèn)識，有間隔的自然數(shù)間可以用分?jǐn)?shù)去填充，使其密集，但是也填不滿，填不滿還可以用無限不循環(huán)小數(shù)去占位，從而實現(xiàn)數(shù)的密集。

2.加強(qiáng)感悟，培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。“數(shù)的認(rèn)識”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要載體。

（1）創(chuàng)設(shè)情境，在生活中體驗數(shù)感。學(xué)生對數(shù)的感悟離不開生活情境。在教學(xué)“數(shù)的認(rèn)識”時，將數(shù)學(xué)知識與生活場景勾連，喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生在情境中學(xué)習(xí)交流，向?qū)W生展示數(shù)的概念的實質(zhì)，有助于學(xué)生理解數(shù)的意義，在頭腦中沿著“具體—表象—抽象”的認(rèn)識過程逐步建構(gòu)數(shù)的概念。

（2）數(shù)形結(jié)合，在直觀中發(fā)展數(shù)感。數(shù)形結(jié)合是為了從形的角度來感知數(shù)，將抽象的數(shù)的含義形象化，為“數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)搭建思維的橋梁，拓寬學(xué)生對數(shù)的理解，在直觀中內(nèi)化數(shù)感。如在認(rèn)識“百分?jǐn)?shù)”時，教師讓學(xué)生從54%、55%和50%中任選一個百分?jǐn)?shù)，用圖形來表示。學(xué)生發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，將抽象的百分?jǐn)?shù)形象地轉(zhuǎn)化為圓點圖、百格圖、扇形圖、線段圖等。這樣一來，抽象知識與直觀形象有機(jī)融合，使學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識不斷加深，拓展了數(shù)感培養(yǎng)的空間。

（3）操作交流，在活動中發(fā)展數(shù)感。如在認(rèn)識較小數(shù)時，可以通過操作實物的方法來幫助學(xué)生建立數(shù)感。如教師讓學(xué)生擺16根小棒，并提出要求：怎樣能讓別人快速看出你擺了幾根小棒？學(xué)生動手操作，有的把2根做1份，有的把5根做1份，還有的把10根扎成一捆，和剩下的放在一起。動手操作加深了學(xué)生對“16”這個數(shù)的感悟。又如在認(rèn)數(shù)的過程中，可以借助推理估計深化學(xué)生對數(shù)的意義的理解，這樣能有效地提高學(xué)生的數(shù)感。如在教學(xué)“認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)”時，教師出示了一個裝滿黃豆的瓶子，讓學(xué)生猜約有多少粒。 學(xué)生亂猜一通。此時，教師數(shù)出30粒黃豆放入同樣大小的瓶子中。這時，學(xué)生有了對照，很快就估算出了裝滿黃豆的瓶子中約有多少粒黃豆。估測推理的方法讓學(xué)生的感知水平得到了提高，有效地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

3.結(jié)構(gòu)一體，生長延伸

關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)，要注重知識點的生長與延伸，把每節(jié)課的知識內(nèi)容放在整體的知識體系中，關(guān)注前后知識的聯(lián)系，注重知識的結(jié)構(gòu)性，處理好部分與整體的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的整體性，體會數(shù)學(xué)知識可以從多角度加以分析、多層次進(jìn)行理解。在教學(xué)安排上，可以對各個知識點采取由淺入深的關(guān)聯(lián)性的整體教學(xué)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行適度的延伸拓展，加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。例如， 在小學(xué)高年級的數(shù)學(xué)探究活動中，可以利用計算“1+2+3+4+…+99+100=？”向?qū)W生滲透數(shù)列求和思想。教材中并沒有安排等差數(shù)列求和公式的內(nèi)容，但在學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”后，完全可以就此進(jìn)行知識和能力的延伸拓展，學(xué)生也比較容易理解等差數(shù)列的求和公式，學(xué)會用逐步推進(jìn)的活動方式簡化抽象公式，不過教師不必做更深入的計算和理解的要求。

總之，教師應(yīng)把握好數(shù)學(xué)知識的整體框架，運用有效的教學(xué)策略進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的設(shè)計和教學(xué)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中邊學(xué)邊建構(gòu)知識體系。這樣學(xué)生得到的不僅是數(shù)學(xué)的“知識鏈”，更多的是數(shù)學(xué)思維能力、 學(xué)習(xí)能力的提升，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓思維走向自主建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化。

（責(zé)編 吳美玲）