摘要：極限是《高等數(shù)學》中的一個重要概念，是研究《高等數(shù)學》的重要手段，同時也是微分學和積分學的基礎(chǔ)，很多概念都是由極限來定義的，比如導數(shù)定義，定積分定義等等。而函數(shù)極限的計算靈活多變，本文以一元函數(shù)為例，梳理了一元函數(shù)極限求解的思路，并且對一元函數(shù)極限的求解方法進行了全面的歸納總結(jié)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學;一元函數(shù)極限;方法總結(jié)

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A? ?文章編號：1003-2177（2021）02-0085-03

極限是《高等數(shù)學》中的重要概念之一。極限思想是近代數(shù)學的重要思想，是《高等數(shù)學》的靈魂，貫徹《高等數(shù)學》始終。很多概念都是由極限來定義的，比如導數(shù)，定積分，反常積分等等。因此，理解極限思想和掌握求極限的方法是學習這門課程的基本要求。但函數(shù)極限問題類型比較多，求解方法也靈活多變，學生往往對極限這一問題感到束手無策。另外，我國現(xiàn)在開設(shè)《高等數(shù)學》課程的高校使用的教材普遍理論性比較強，并不適合學生自學，像極限這樣靈活多變的問題也沒有系統(tǒng)的歸納總結(jié)過，若教師上課是照本宣科式的教學模式，那學生對極限這樣的問題更是一頭霧水，當然思路混亂了。因此，鑒于這種現(xiàn)狀，筆者結(jié)合多年的教學經(jīng)驗和實踐總結(jié)了求函數(shù)極限問題的一般思路，并且對函數(shù)極限問題進行了分類，給出了不同類型函數(shù)極限的求解方法[1]。

對于一元函數(shù)求極限的題目，我們可以按照以下思路進行：

（1）先化簡（主要指利用無窮小等價代換）;

（2）利用極限四則運算法則，將自變量趨向的數(shù)值代入函數(shù)表達式計算，若能直接計算出數(shù)值，則該數(shù)值即為此函數(shù)的極限值;

（3）在過程2中，若不能直接計算出結(jié)果，則一定會出現(xiàn)幾種特殊情況，判斷類型，找對應的求解方法。

1化簡計算

如果題目可以找到合適的方法進行適當化簡，那將會起到事半功倍的效果，可以大大縮短做題時間，減輕計算量，這里主要指的是無窮小等價代換。在基本的無窮小等價代換公式的基礎(chǔ)上，我們更應該熟記這樣一類無窮小等價代換：

□→0時：

①

②

③

□里面可以是單變量，也可以是一個表達式，只要□內(nèi)的整體趨向于0，就可以進行無窮小等價代換。值得注意的是，無窮小等價代換只能用于乘法或者除法中，不能用于加法和減法中。

例1

====

本題中，x→0時ecosx是非零因子，可以直接計算出結(jié)果，經(jīng)過這樣一次適當?shù)淖冃魏?，將e1-cosx-1等價代換成1-cosx，等價帶換成，而1-cosx又可以帶換成，這樣就大大簡化了題目難度，直接得出極限值。

2利用函數(shù)極限四則運算法則帶值計算

函數(shù)極限四則運算法則：

若，，（這里的x→*指6種極限狀態(tài)中的任意一種）則：

①;

②

③若，則

例2

===

注：函數(shù)極限四則運算法則有2個前提條件：①函數(shù)是有限項的和;②函數(shù)中每一項的極限都存在。這兩個條件中任意一個不滿足就不能使用極限四則運算法則。例如，當說明這個

表達式有無窮項求和，若忽略這個條件，則會得到0+0+

…+0=0.但事實上并不是這樣，=

=。

3判斷類型，找對應方法

在上一步中，若利用函數(shù)四則運算法則不能直接得出結(jié)果，則一定會出現(xiàn)以下7種特殊類型，我們稱之為“未定式”。在以下過程中，若在乘法或者除法中出現(xiàn)極限不為0的因子，我們要先計算出來。

（1）“”型

方法：①因式分解，約分化簡;②洛必達法則;③帶根號的要先有理化;④利用重要公式的推廣形式：。

例3

===

·在這里1+cosx是個非零因子，可以先計算出來為2。由于x→0時，ln（1+x）可以無窮小等價代換為x;x→0時x2為無窮小，為有界函數(shù)。所以在x→0時為0.采用該類型的第4種方法求解。

（2）“”型

方法：①分子分母同時除以跟變量有關(guān)的最大項;②洛必達法則。

例4

令t=-x，則x→-∞時，t→+∞

原式==

==1.

此題屬于“”類型的極限，采用方法一比較簡單，自變量x<0，所以先做一次換元，將自變量x轉(zhuǎn)化為正數(shù)，分子分母所有項中跟變量有關(guān)的最大項為t，所以分子分母同時除以t。當t→+∞時，為無窮小量，sint為有界函數(shù)，所有。

（3）“I∞”型

方法：①“湊e”（湊重要公式的推廣形式：

或）;

②“取e”（借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：）

例5 =

而==， ∴原式=。

此題屬于“I∞”類型，采用方法1求解要構(gòu)造出重要公式的形式，□內(nèi)應構(gòu)造出cosx-1。而對指數(shù)求極限過程中，將cosx-1等價代換成，ln（1+x2）等價帶換成x2，恰好直接就可以計算出結(jié)果， 比較簡單，另外，此題也可以采用“取e”的方法來求解，具體做法可以參考下面兩種類型。

（4）“00”型

方法：“取e”（借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：）

（5）“∞0”型

方法：“取e”（借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：）

對于第（4）和第（5）種類型的求極限，我們給出相同的求解方法，均為“取e”，需借助數(shù)指函數(shù)的性質(zhì)，將原式變?yōu)橐詄為底的函數(shù)，然后再對指數(shù)進一步取極限。

例6

==

而=

===0 ∴原式=e0=1。

此題屬于“∞0”類型求極限，首先將原式轉(zhuǎn)化為以e為底的形式，在對指數(shù)求極限的過程中發(fā)現(xiàn)指數(shù)部分為“”型極限，用洛必達法則分別對分子和分母求導數(shù)即可求出指數(shù)部分的極限值。

（6）“0·∞”型

方法：將“0·∞”型轉(zhuǎn)化為“”型或者型

例7 =

=2=2=。

此題屬于“0·∞”的類型。將用公式變?yōu)?，由于在x→1時是非零因子，要先計算出來為2，從而化簡了計算難度，將原題目轉(zhuǎn)化為“”型的極限，在用洛必達法則來求極限。

（7）“∞-∞”型

方法：①通分化簡; ②倒代換。

例8 ===

===

=。

此題為“∞-∞”類型。先將原式通分并用2倍角公式化簡，從而將原題目轉(zhuǎn)化為“”類型的極限，然后再用2次洛必達法則來求極限。

在前面我們介紹過只有有限項和或者差并且每一項的極限都存在時才能使用極限的四則運算法則。若將有限項推廣到無限多項和或差的極限問題時，又產(chǎn)生兩種常見解題思路。

4夾逼準則

如果函數(shù)f（x），g（x）及h（x）滿足下列條件[2]：

①當時，g（x）≤f（x）≤h（x）;

②，

則存在，并且等于A。

例9

分析：

原式可以寫成，在上述不等式中，對左側(cè)的部分求和，即=，從

而=，同理對右側(cè)的部分求和，即=，從而=。由夾逼準則知=。

在采用夾逼準則求無窮項和的極限問題時要采取合適的方法，對原式進行適當?shù)姆趴s，使原式恰好夾在極限值相等的兩個函數(shù)之間。尋找合適的放縮方法需要一定的經(jīng)驗和技巧。若每項的分子或分母都相同時，通?？梢詫ふ覂蛇叺淖畲笾岛妥钚≈祦斫⒉坏仁?若每項的分子和分母都呈一定規(guī)律變化時，也可以固定分子和分母之中的其中一個，通過放縮另外一項來建立不等式?？傊趴s無定法，還需在實踐中不斷探索和總結(jié)，才能找到便捷之路[3]。

5定積分思想

由定積分定義：=可知，將[a，b]換成[0，1]。將[0，1]平均分成n份，即得到=。

例10

==

===。

利用定積分思想求極限難度較大，綜合性較強，需要學生對定積分定義有深刻的理解才能從容應對這類題目。通常情況下，若函數(shù)表達式是無窮多項求和的形式，并且每項分子次數(shù)均為0次或者1次，分母的次數(shù)都是2次，就可以考慮用定積分的思想來求解，確定準變量和，將原函數(shù)表達式構(gòu)造出乘積的和式形式，從而求解這個簡單積分即可。

《高等數(shù)學》課程中關(guān)于極限的類型和求解方法有很多種，本文只對高等院校教學中常見的一些類型及其求解方法進行歸納總結(jié)，其他方法不再贅述。希望能帶給廣大師生一點思考和探索。當然，數(shù)學的學習是需要不斷思考和總結(jié)的，在不斷的思考和總結(jié)中探索出新的方法和技巧，體會數(shù)學的美與樂趣。

參考文獻

[1]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學（上）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]張?zhí)斓?，蔣曉蕓.吉米多維奇高等數(shù)學習題精選精解（第一版）[M].濟南：山東科學技術(shù)出版社，2010.

（責編：楊梅）

作者簡介：譚暢（1987—），女，黑龍江鶴崗人，碩士研究生，助教，研究方向：非線性動力學。