丁 然 ，李 強 ，王文靜

（北京交通大學(xué)機械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044）

車軸是車輛的關(guān)鍵承載部件，其疲勞斷裂將造成列車脫軌或傾覆等重大事故，給國家財產(chǎn)和乘客的生命安全帶來巨大的損失.現(xiàn)行的車軸設(shè)計規(guī)范，如日本的JIS E 4 501[1]、歐洲的 EN13103[2]及EN13104[3]等，均要求車軸關(guān)鍵截面所受的最大應(yīng)力不得大于材料的疲勞許用應(yīng)力.材料的疲勞許用應(yīng)力可利用材料實驗測得的疲勞極限與適當選取的安全系數(shù)相除得到；獲取車軸所受的最大應(yīng)力最直接最可靠的方法是在軸身上貼片，通過線路實驗直接測量關(guān)鍵截面處的應(yīng)力.

城際動車組的速度等級和線路條件等均與高速動車組有很大不同，因此有必要對其作進一步的研究[4-8].然而線路測試由于受人力、物力成本及測試時間等客觀因素的限制，測試里程通常只有數(shù)幾千公里.為了評估車軸的可靠性需要擴展應(yīng)力譜或推斷其壽命周期內(nèi)的最大應(yīng)力值.

利用應(yīng)力譜或載荷譜進行外推的主要方法是先對之進行分布擬合，再利用擬得的最佳分布進行外推.目前的研究多集中在如何提高分布的擬合能力及多工況分別擬合時如何計算綜合應(yīng)力極值[9-11]，然而這種方法有時會有很大的偏差[9,12].另一種外推方法是擴展因子法[12-13]，但此法只能用于標準累積頻次譜的外推.由于標準譜的參數(shù)較少，形狀比較單一，很難用來擬合線路實測的結(jié)果.本文將使用擬合超限分布函數(shù)的方法進行應(yīng)力譜的極值推斷.其理論基礎(chǔ)為極值理論，目前多用于土木工程[14-15]及金融保險領(lǐng)域[16]，尚未見應(yīng)力譜或載荷譜推斷等方面的應(yīng)用.

1 線路測試及應(yīng)力譜編制

本文測試線路為成達線（成都––達州），單程約380 km，混合了既有線路和新修線路，整體特點是多彎多隧道.測試時全車裝載沙袋模擬滿載工況，測試總里程約為3 000 km.

在測試輪對的軸身上選取 7 個截面進行貼片：兩側(cè)輪座至軸頸間各選取 2 個截面，兩輪座之間選取 3 個截面，將截面依次記為A～G，如圖1所示.除截面D外，其它截面的貼片處均為過渡圓弧根部，這些地方會有不同程度的應(yīng)力集中，有較強的應(yīng)變響應(yīng).有關(guān)測力輪對貼片、標定以及線路測試的其它細節(jié)可進一步參考文獻[6].

圖1 車軸測試截面位置Fig.1 Test sections on axle

對測試結(jié)果進行雨流計數(shù)即可獲得各測試截面所受應(yīng)力S的統(tǒng)計信息.計數(shù)前需要確定應(yīng)力分組的組數(shù)k和組距h，如式（1）所示.

式中：smax和smin分別為實測應(yīng)力s的最大值和最小值.

評估損傷或統(tǒng)計應(yīng)力譜特征時，k不宜取得過小.目前確定k或h有一些經(jīng)驗公式[17]，對應(yīng)計算結(jié)果見表1.表中：nt為統(tǒng)計所得的應(yīng)力循環(huán)總數(shù)；σS、QS分別為S的標準差、四分差.

表1 不同經(jīng)驗公式的組距計算結(jié)果Tab.1 Calculated results by different empirical formulas

推斷應(yīng)力極值時更關(guān)心較大應(yīng)力幅對應(yīng)的小概率事件，因此h也不宜取得過小.綜合考慮后，取h=0.50 MPa.對截面A～G的實測應(yīng)力分別進行雨流計數(shù)，應(yīng)力譜如圖2 所示.

圖2 各個截面的應(yīng)力Fig.2 Stress of each section

2 分布擬合法

工程上通常將發(fā)生概率小于10?6對應(yīng)的S作為其最大值的估計[11].若記隨機變量S的累積分布函數(shù)為F(s)，則smax=F?1(1 ? 10?6) ，F(xiàn)?1(?) 為F(?) 的反函數(shù).以截面B為例，分別用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布（LN）、兩參數(shù)和三參數(shù)威布爾擬合其應(yīng)力分布，并用擬合得到的分布計算smax，結(jié)果見表2.表中：為對數(shù)正態(tài)分布的卡方統(tǒng)計量；χ2為正態(tài)分布、威布爾分布的卡方統(tǒng)計量。

表2 截面 B 的分布擬合結(jié)果Tab.2 Fitted results of section B

表2的4個備選分布中對數(shù)正態(tài)分布的卡方統(tǒng)計量最小，表明它的擬合效果最佳.因此可在一定程度上反映不同分布的擬合優(yōu)度.表2結(jié)果表明：正態(tài)分布的擬合效果略遜于對數(shù)正態(tài)分布，二者均優(yōu)于威布爾分布；三參數(shù)威布爾分布優(yōu)于兩參數(shù)威布爾分布.這些備選分布的擬合效果見圖3.由圖3可明顯看出：這些分布對數(shù)據(jù)中部（高頻區(qū)）的絕大多數(shù)數(shù)據(jù)有較強的描述能力，但對尾部（低頻區(qū)）的描述能力較差.備選分布中對數(shù)正態(tài)分布推得的smax最大，為42.6 MPa，由圖2截面B的實測結(jié)果可知，應(yīng)力大于43.0 MPa的發(fā)生頻率約為104/106=1%，與預(yù)期的10?6相去甚遠.

圖3 不同分布概率密度市函數(shù)與累積分布函數(shù)的擬合效果Fig.3 Fitted probability density function and cumulative distribution function with different distributions

事實上，由于采集的樣本量較大，這4個備選分布均不能通過對應(yīng)的假設(shè)檢驗.使用 χ2統(tǒng)計量的比值作為擬合優(yōu)度，主要也是為了反映這4個備選分布之間的相對優(yōu)勢.利用組合分布能在一定程度上提高分布的擬合能力，但是對提高分布尾部的擬合能力效果有限.對于車軸來說，一般兩輪座之間的應(yīng)力分布（如截面C～E）要比輪座外的應(yīng)力分布更復(fù)雜（如截面A、B、F和G），見圖2.因此若不能找到合適的備選分布就會很大程度上限制分布擬合法的推斷精度.該結(jié)果也表明使用常見分布很難充分描述車軸的應(yīng)力分布，尤其是很難準確描述較大應(yīng)力的發(fā)生規(guī)律.

3 極值理論與極值推斷

直接使用分布擬合法外推會產(chǎn)生較大誤差，主要原因是一般的統(tǒng)計模型側(cè)重于描述絕大多數(shù)（高概率區(qū)）數(shù)據(jù)的行為，因此用來推斷極少發(fā)生的應(yīng)力極值效果欠佳.本文依據(jù)極值理論中的第二極值定理[15,18]（又稱 Pickands-Balkema-de Haan 定理）進行推斷，為此需引入超限分布函數(shù)的概念.任一實數(shù)u，S的超限分布函數(shù)為

式中：P(?)為概率函數(shù).

從定義中可以看出Fu(s) 只與S＞u的分布尾端相關(guān).若S代表疲勞壽命，則超限分布就是已知壽命不小于u時的剩余壽命分布.因此超限分布可以看成剩余壽命分布這個概念的推廣.第二極值定理斷言，對于滿足一定條件的分布函數(shù)，必存在系數(shù)β＞0，使得

式中：Gξ,β(?) 為以ξ和β為參數(shù)的廣義帕累托分布（generalized Pareto distribution）函數(shù)，如式（4）所示.

滿足該定理條件的函數(shù)集合稱作極值分布Hξ的最大值吸引域.該函數(shù)類非常廣泛，幾乎包括工程應(yīng)用中可遇到的所有連續(xù)分布函數(shù).Hξ的最大值吸引域的具體表示涉及較深的概率統(tǒng)計知識，可進一步參考文獻[15,16,18].該定理表明，在一定程度上，無論S服從何種分布，對于充分大的u總可以用Gξ,β(s)來做Fu(s) 的近似.

在用Gξ,β(s) 擬合應(yīng)力譜的超限分布之前，還需先確定一個充分大的u，以確保擬合的精度.Gξ,β(s)的均值超限函數(shù)（mean excess function）為線性函數(shù)，記為e(u)，是S?u在S＞u下的條件均值，即

利用e(u) 為線性函數(shù)這一性質(zhì)，可以先作出原分布e(u) 的圖像，若大于某點后e(u) 近似為一直線，則可取u為該點，進而用Gξ,β(s) 去擬合原分布的超限分布Fu(s).

若擬合效果良好，即可用Gξ,β(s) 外推出應(yīng)力極值.如估計發(fā)生概率不大于 10?6的應(yīng)力，可表示為

式（6）代入式（5），得近似方程為

即

根據(jù)超限分布函數(shù)的定義可知S?u＞s的概率小于 10?6，因此可取smax=s+u.該方法不僅可用于車軸應(yīng)力譜的推斷，也可以用于其它構(gòu)件應(yīng)力譜或載荷譜的極值推斷.

計算截面B應(yīng)力分布的均值超限函數(shù)，如圖4所示，可知在u=37 MPa附近e(u) 有一個較大偏轉(zhuǎn)，之后近似為一條直線.若取u=38 MPa，并用Gξ,β(s)去擬合Fu(s)，通過極大似然法可估得ξ和β的估計值分別為=0.023，=1.03，擬合效果見圖5.圖中兩條曲線幾乎完全重合，說明取u=38 MPa已達到使二者充分接近的要求.將擬得參數(shù)代入式（8）可算得s的估計值=11.2 MPa，因此，smax=(+u) MPa=49.2 MPa.該值略大于實測應(yīng)力的最大值 48.5 MPa.

圖4 截面 B 應(yīng)力分布的e(u)Fig.4 e(u) of stress distribution for section B

圖5 截面 B 的 Fu(s) 擬合效果Fig.5 Fitted Fu(s) of section B

參數(shù)ξ在極值理論中有重要意義，其倒數(shù)α=1/ξ反應(yīng)了分布原點矩的最大階數(shù).任何階數(shù)r＞α的原點矩必發(fā)散，即

若α＜ 4（或等價地ξ＞ 0.250），表明F(s) 是嚴重偏態(tài)的分布；若α＜ 2（或等價地ξ＞ 0.500），則F(s) 是重尾（heavy-tailed）分布.對于這些情況，增加測試里程將會以相對更大的概率觀測到明顯高于smax的應(yīng)力值.此時用 106次載荷循環(huán)的測試結(jié)果外推全壽命周期下應(yīng)力的極值需十分謹慎.本文測試截面均有

車軸的安全性評估不必從統(tǒng)計效率最大化的角度考慮問題.作為工程應(yīng)用，可計算在u不同取值下的smax（圖6），并取smax中的最大者為，這樣可得到更加保守的推斷結(jié)果.截面B的為53.3 MPa，對應(yīng)的u值為46 MPa.由圖6可知smax的取值基本穩(wěn)定在 50.0～53.0 MPa，說明本文的估計方法是比較有效的.如果smax隨u的變化劇烈，需再次檢驗Gξ，β(s)的擬合效果，并謹慎對待推斷結(jié)果.其它截面的推斷結(jié)果見表3.

圖6 u 取不同值時 smax的變化Fig.6 smax under different values of u

表3 各截面的實測最大值與應(yīng)力的極值推斷結(jié)果Tab.3 Measured maximum values and extreme value inferences of each section

本文測試的總應(yīng)力循環(huán)數(shù)已經(jīng)達到106（見圖2），因此直接以測試結(jié)果的最大值作為smax的估計也可算作一種方法.表3 也分別列出了各截面的實測最大應(yīng)力值.對比實測最大值與可知截面E、G二者大致相當，而截面A、C則相差較大，似乎不易發(fā)現(xiàn)二者間的必然聯(lián)系.由于極小概率事件的發(fā)生有很強的隨機性，因此，僅用最大值作為統(tǒng)計結(jié)果可能會出現(xiàn)較大偏差.

4 車軸的安全性評價

車軸除了在設(shè)計時須確保安全余量，一般在運營時也會保留一定的安全余量.本文測試車軸的設(shè)計軸重為17.0 t，生產(chǎn)方規(guī)定的最大運營軸重為14.1 t，本文實測滿載工況的軸重大約在 13.5 t 上下.根據(jù)EN13104[3]，可算出不同的軸重下的校核應(yīng)力，如表4所示.其中部分截面（如截面B、C、F）推得的要大于 13.5 t 甚至 14.1 t 軸重算得的校核應(yīng)力.截面C的推斷極值要比 14.1 t 軸重的校核應(yīng)力高出 |98?86|/86×100%=13%.這意味著若按 17.0 t 軸重滿載運營，車軸壽命期內(nèi)的最大應(yīng)力有可能超出標準規(guī)定的最大許用應(yīng)力.因此運營時若不保留安全余量，完全按照設(shè)計軸重滿載運營，需格外謹慎.

表4 與校核應(yīng)力的對比Tab.4 Comparison between and allowable stresses MPa

表4 與校核應(yīng)力的對比Tab.4 Comparison between and allowable stresses MPa

截面 images/BZ_192_1567_2772_1630_2814.png軸重/t 17.0 14.1 13.5 A 52 60 50 48 B 53 56 47 45 C 98 103 86 83 D 67 94 80 77 E 78 103 86 83 F 52 56 47 45 G 47 60 50 48

由于標準中計算校核應(yīng)力時考慮的是車軸運用的最差工況，疊加了偏載、過曲線、制動等的影響，因此算得的應(yīng)力應(yīng)當無法在實際運用中達到.雖然推斷極值受測試設(shè)備精度和統(tǒng)計精度的影響會有一定誤差，但該結(jié)果足以說明車軸的實際運用工況十分復(fù)雜.本文測試車軸各截面的值均小于按設(shè)計軸重 17.0 t 算得的校核應(yīng)力，從而也不超過標準規(guī)定的材料最大許用應(yīng)力.因此線路實測的分析結(jié)果表明，車軸的疲勞強度滿足標準的要求.

5 結(jié) 論

1）由于小概率事件的發(fā)生有很強的隨機性，對于載荷譜的極值推斷，即使采集了足夠的樣本量，依然有必要使用統(tǒng)計的方法進行分析.利用分布擬合法進行極值推斷可能會產(chǎn)生很大偏差，因此采用極值理論對應(yīng)力譜進行極值推斷十分必要.

2）線路測試表明，車軸的實際運用工況十分復(fù)雜，傳統(tǒng)的校核計算很難全面反映車軸在運用中的最差工況；常見分布很難充分描述車軸的應(yīng)力分布，尤其是很難準確描述較大應(yīng)力的發(fā)生規(guī)律.

3）根據(jù)本文的統(tǒng)計結(jié)果可以初步判斷，為評估車軸壽命期內(nèi)的最大應(yīng)力，大約需要不少于 3 000 km的線路測試.

4）計算結(jié)果表明，對于部分截面按 14.1 t 軸重算得的校核應(yīng)力甚至小于基于 13.5 t 軸重實測應(yīng)力數(shù)據(jù)的推斷極值.因此完全按照設(shè)計軸重滿載運營，需格外謹慎.