劉偉華，劉 聰

(1.湖北科技學(xué)院 五官醫(yī)學(xué)院，湖北 咸寧 437100；2.湖北科技學(xué)院 學(xué)報編輯部，湖北 咸寧 437100)

通過對圖像去噪處理，能夠?qū)⑹艿皆肼曃廴镜膱D像進(jìn)行原始圖像的恢復(fù)，在對圖像去噪中產(chǎn)生了諸多的方法，如小波變換、輪廓小波變換等，但這些方法在使用中都存在一定的局限性，每種變換并不能對所有的特征實現(xiàn)有效地表示。為了促進(jìn)對圖像去噪效果的提升，借助超完備的字典當(dāng)作圖像稀疏的表示，實現(xiàn)對圖像各種的幾何奇異性特征表現(xiàn)，基于貝葉斯的框架，按照以圖像塊稀疏的表示對全局圖像的先驗概率相應(yīng)模型進(jìn)行建立，從而給出最大化后驗概率的模型下圖像優(yōu)化去噪的算法。此方法對正交基特點充分利用，通過SVD的方法實現(xiàn)字典高效學(xué)習(xí)，從而提升圍像去噪的性能。

一、圖像去噪方法綜合分析

在圖像去噪的傳統(tǒng)方法中，比較常用經(jīng)典型去噪的方法有均值的濾波、中值的濾波和維納線性的濾波等，它們主要是對空域或者頻域進(jìn)行局部地分析，盡管對圖像噪聲實現(xiàn)了抑制，但也導(dǎo)致圖像的細(xì)節(jié)信息發(fā)生損失，造成去噪后的圖像變得模糊。其中空域內(nèi)均值的濾波主要是對全部像素點實施均值的處理，將其像素點當(dāng)作中心，對小鄰域中全部像素點實施加權(quán)和平均值，并將其當(dāng)作中心性像素點完成濾波后的值，此算法十分簡單、易懂，且對各種的圖像以及各類噪聲都能夠?qū)崿F(xiàn)處理，但因為僅表現(xiàn)出一種平滑的過程，若圖像特征的本身并不具備很好的平滑性，往往處理的結(jié)果就不理想[1]。對于中值濾波和維納線性的濾波法等來說，此類一般只對圖像數(shù)據(jù)內(nèi)二階統(tǒng)計的特性使用，圖像內(nèi)重要的特征往往借助高階統(tǒng)計的特性進(jìn)行體現(xiàn)，因此此類方法的圖像去噪效果并不是很好。圖像內(nèi)有用的信息部分與噪聲在頻帶上會出現(xiàn)重疊的情況，這也是以有用信息與噪聲頻率的特性差別為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)法出現(xiàn)缺陷的本質(zhì)原因[2]。還以一些其他常見去噪法，如小波域法、幾何尺度的分析法和主成分的分量法等，在基于字典學(xué)習(xí)的圖像去噪方法研究逐漸研究深入背景下，其在圖像的去噪中逐漸得到了廣泛應(yīng)用。

二、字典學(xué)習(xí)去噪法概述

對于圖像噪聲來說，它主要由人為的定義高斯、椒鹽和均值等噪聲通過混合而構(gòu)成，想要對此類噪聲綜合去除，人們可以建立兩個以上基函數(shù)圖像信號進(jìn)行表示，它的結(jié)果比用任何單一基函數(shù)的效果要好很多。通過超完備冗余的函數(shù)庫對基函數(shù)取代，稱作冗余的字典，此字典內(nèi)的元素稱作原子。對原子庫選擇中，要盡可能好和被逼近圖像信號的結(jié)構(gòu)符合，對其構(gòu)成可以不進(jìn)行限制，自原子庫內(nèi)尋找具備最佳組合M項的原子進(jìn)行一個信號的表示，這就被稱作信號稀疏的逼近[3]。

隨著不斷發(fā)展，以字典學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)的去噪法以及以非局部的自相似性為基礎(chǔ)的去噪法逐漸受到了行業(yè)內(nèi)學(xué)者廣泛地關(guān)注。以字典學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)的去噪法在發(fā)展中，主要得益稀疏表示的理論進(jìn)展情況，它基本的思想是通過圖像局部的稀疏性實現(xiàn)去噪。

在稀疏在線的字典學(xué)習(xí)法中，通過在線字典的學(xué)習(xí)法獲取冗余的字典，對算法計算的效率實現(xiàn)了提升。以非局部的自相似去噪法中，基本的思想是通過圖像內(nèi)不相鄰的部分具備非局部的自相似來去噪，如NLM的算法(非局部的平均算法)、塊匹配和BM3D的算法(3D濾波)等[4]。其中NLM的算法主要借助歐氏距離對像素鄰域間相似性表征，且通過此距離對像素重構(gòu)中的權(quán)值計算，從而實現(xiàn)對像素值的估計；BM3D的算法主要對圖像塊實施匹配，把具有相似性結(jié)構(gòu)二維化圖像塊的組合共同形成三維化的數(shù)據(jù)，后對其聯(lián)合濾波處理，且對重疊塊進(jìn)行加權(quán)平均實現(xiàn)圖像的重構(gòu)。此外，一些學(xué)者對同時借助稀疏性以及非局部的自相似性圖像去噪法進(jìn)行了研究，還有一些學(xué)者通過梯度的直方圖進(jìn)行一致性的約束添加，讓去噪后的圖像和含噪圖像接近，從而對圖像的去噪效果提升，但此算法要對圖像梯度的直方圖事先進(jìn)行估計[5]。

在上述的算法中，對圖像的去噪都獲取一定的成功，但此類算法在實現(xiàn)去噪同時也對部分圖像的紋理結(jié)構(gòu)相關(guān)信息產(chǎn)生了丟失，造成視覺效果的下降情況發(fā)生。所以，有必要對既能有效實現(xiàn)噪聲去除且還能夠?qū)D像細(xì)節(jié)與紋理信息很好保持的去噪法研究?，F(xiàn)階段，稀疏的表示理論主要集中對稀疏分解以及字典構(gòu)造的算法等方面研究。若能以此為基礎(chǔ)對字典的結(jié)構(gòu)進(jìn)一步實施優(yōu)化，對原子的圖像表達(dá)能力實現(xiàn)提升，降低字典的噪聲會對圖像產(chǎn)生的影響，將會得到更好的去噪處理效果。

三、基于雙正交基字典學(xué)習(xí)的圖像去噪方法

1.以貝葉斯為基礎(chǔ)重建圖像去噪的模型

對一個噪聲的圖像考慮：

Y=X+V

(1)

上式內(nèi)，Y表示所觀測的圖像；X表示未知原圖像；V表示發(fā)生疊加零均值型白高斯的噪聲。此文章主要的目標(biāo)是對一個算法自Y中進(jìn)行噪聲刪除使它盡可能和原圖像X接近的算法[6]。

(2)

在上式內(nèi)，‖α‖0表示L0的范數(shù)，指不是0的元素數(shù)量。在稀疏表示中，主要的思想是對圖像的信號Y進(jìn)行成字典內(nèi)最少一組列的向量分解，它的線性組合所表示信號和Y平方的誤差比ε小。 因為上述公式具有組合的性質(zhì)，在求解中存在很大的困難?，F(xiàn)階段，常用近似的算法有MP(匹配追蹤的算法)、OMP(正交匹配的追蹤算法)和 BP(基追蹤的算法)等。在此文內(nèi)，采取能夠較為簡單實現(xiàn)的 OMP方法[7]。

在疊加的零均值型白高斯的噪聲y圖像塊中，其噪聲具有標(biāo)準(zhǔn)的方差是σ，所對應(yīng)原圖像x使用上式(2)對稀疏進(jìn)行表示。通過貝葉斯中最大后驗的概率對原圖像求解，則對圖像塊的噪聲去除最大的后驗估計是：

(3)

(4)

上式內(nèi)，μ表示正則化的參數(shù)，要對其進(jìn)行合理選取。

(5)

2.以雙正交基為基礎(chǔ)聯(lián)合字典的學(xué)習(xí)法

(6)

在上式內(nèi)，Y所對應(yīng)的是全部圖像塊。對上述的優(yōu)化問題進(jìn)行直接求解的話，存在很大的困難，所有采用BCR的算法思想對上述問題實施優(yōu)化處理。此優(yōu)化處理，可以分作兩個階段，第一階段通過正交匹配的追蹤算法對系數(shù)的矩陣A進(jìn)行確定；第二階段是固定系數(shù)的矩陣A進(jìn)入到計算的字典D內(nèi)[9]。此BCR的算法具備收斂性，在對字典D計算階段中，可先對一正交基固定，后對另一正交基優(yōu)化計算，這樣就能夠?qū)⑹?6)進(jìn)行下式的轉(zhuǎn)變：

(7)

若假定D2已經(jīng)固定，則令P等于Y-D2A2，就可以將上式(7)轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

(8)

對上式(8)優(yōu)化的問題就可以進(jìn)行著名正交普魯克問題(Procrustes Problem)。

對上式進(jìn)行優(yōu)化，對最后一項最大值進(jìn)行求解，對A1PT奇異值進(jìn)行分解，得到：

A1PT=U∑VT

tr(D1A1PT)=tr(D1U∑VT)=tr(VTD1U∑)=

tr(Q∑)

由于Q=VTD1U表示正交的矩陣，所以：

在上式內(nèi)，σii是∑對角的矩陣內(nèi)第i個的奇異值，而qii是Q矩陣內(nèi)對角線第i個的元素。若上式達(dá)到了最大值，則確定矩陣Q一定是單位的矩陣，Q表示為Q=VTD1U=I，進(jìn)而得到：

D1=VUT

(9)

在初始化環(huán)節(jié)中， 令K等于0，且基于噪聲圖像對圖像塊級內(nèi)樣本的訓(xùn)練集Z= {Z1，Z2，Z3，… ，ZM}構(gòu)建，其中M表示樣本數(shù)；選取兩個正交的變換基進(jìn)行初始化超完備的字典D0構(gòu)造。

四、基于雙正交基字典學(xué)習(xí)的圖像去噪方法驗證

對上述的算法性能實施驗證，把此算法應(yīng)用在圖像的處理中，常用標(biāo)準(zhǔn)的圖像有Peppers、Lena以及Barbara等，選取圖像都是512×512的尺寸。對此類圖像進(jìn)行不同噪聲的級別白高斯的噪聲疊加。用在字典訓(xùn)練以及圖像恢復(fù)中的圖像塊具有8×8的像素，對其每個塊進(jìn)行列向量轉(zhuǎn)換而形成實際的信號。

在初始的字典中，選用DCT(離散余弦的變換)、DST(離散正弦的變換)兩類正交變換進(jìn)行合并構(gòu)建，它們變換完成后的系數(shù)比較稀疏。在實驗中，設(shè)置DCT與DST都是64×64的尺寸，由于字典是64×128的大小。對它們變換的矩陣通過 1D進(jìn)行變換獲取，且大小是8×8，它們的形式表示是：

C1D=cos((i-1)(k-1)π/8)

S1D=sin(ikπ/9)；i，k=1，2，3，...，8。

對它們實施初始化期間，在DCT中除了對第一個原子外其它每個原子就要對其均值減去，從而最終字典是克羅內(nèi)克積(Kronecker積)，表示為：

C2D=C1D?C1D

S2D=S1D?S1D

把兩字典進(jìn)行一超完備的DMT字典合并，得到64×128的尺寸。實驗中，在學(xué)習(xí)和去噪過程中都涉及到通過OMP的算法對圖像塊稀疏表示分解，其終止的條件為平均的誤差比T=1.15×σ小，σ表示圖像標(biāo)準(zhǔn)的方差，而1.15倍方差終止的條件是通過實驗獲取的。通過上述算法完成訓(xùn)練后得到Peppers的字典，其訓(xùn)練的次數(shù)是10，對噪聲的方差是70[11]。

在對算法性能比較中，文章選取現(xiàn)階段小波域上具有較好效果的去噪法進(jìn)行比較，主要有BLS-GSM、DMT(非學(xué)習(xí)性超完備的字典)。對各種的去噪法峰值的信噪比值列出，如下表。

表1 不同噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ下Lena圖像不同算法處理后的噪聲情況

表2 不同噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ下Peppers圖像不同算法處理后的噪聲情況

續(xù)表2 不同噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ下Peppers圖像不同算法處理后的噪聲情況

表3 不同噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ下Barbara圖像不同算法處理后的噪聲情況

通過上表能夠看出，基于不同噪聲的強度，文章所建立的方法在去噪能力方面比較強，特別是比50dB的噪聲條件低的情況。通過文章所研究算法對 Peppers的圖像實施去噪，對原圖進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)方差是25噪聲的迭加，完成圖像的去噪聲處理后，噪聲已經(jīng)被基本去掉，呈現(xiàn)出可視的效果十分好。

五、結(jié)語

綜上所述，文章所提出一種以雙正交基的字典學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)圖像去噪的方法，將圖像塊當(dāng)作處理的單元，通過正交匹配的算法對圖像塊稀疏表示進(jìn)行計算。將稀疏表示和圖像塊差當(dāng)作先驗概率的分布，以MAP的框架中去噪圖像求解以及字典訓(xùn)練的學(xué)習(xí)。因為超完備的字典是通過雙正交基而構(gòu)成，所以字典學(xué)習(xí)的問題就進(jìn)行 Frobenius(弗羅貝尼烏斯)范式下正交矩陣的求優(yōu)問題轉(zhuǎn)化，文章給出一種新型推導(dǎo)的公式。因為此問題存在封閉公式的解，所以實現(xiàn)學(xué)習(xí)速度的有效提升。通過性能實驗也表明了，其和傳統(tǒng)小波類的去噪法比較，這種基于學(xué)習(xí)法可以實現(xiàn)對圖像內(nèi)白高斯的噪聲更好去除，圖像完成去噪后其PSNR值比現(xiàn)階段較好去噪法小波域要優(yōu)，且呈現(xiàn)出視覺的效果也更好。