摘 要：小學(xué)階段是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的啟蒙階段。在這一階段有效地開(kāi)展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，有利于學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得“有靈魂”的知識(shí)，有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深層次理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。教學(xué)時(shí)教師不可人為拔高教學(xué)要求，而要遵循循序漸進(jìn)、具體分析以及感悟的原則。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)思想方法教學(xué);基本原則

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求以來(lái)，小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)受到越來(lái)越多的關(guān)注。所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。所謂數(shù)學(xué)方法，是指人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中所采用的方式、途徑和手段。數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性，它是數(shù)學(xué)方法的靈魂，它指導(dǎo)著方法的運(yùn)用。數(shù)學(xué)方法指向?qū)嵺`，具有操作性和具體性，它是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段。前者給出解決問(wèn)題的方向，后者給出解決問(wèn)題的策略。為適應(yīng)小學(xué)階段的教學(xué)，通常把數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法看作一個(gè)整體，即數(shù)學(xué)思想方法。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意義

生活中，有思想的人，總是倍受尊敬;有思想的話(huà)語(yǔ)，總是被人津津樂(lè)道，而有思想的知識(shí)，會(huì)讓人終身受益。數(shù)學(xué)學(xué)科，恰恰是一門(mén)“有思想”的學(xué)科。中科院院士、中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)袁亞湘先生說(shuō)：“最最美好的是數(shù)學(xué)的思想，它美得要命。”數(shù)學(xué)家張景中先生說(shuō)：“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡(jiǎn)單，但里面卻蘊(yùn)含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想。”小學(xué)數(shù)學(xué)雖然淺顯，但它與“最最美好的數(shù)學(xué)思想”有著與生俱來(lái)的聯(lián)系。在小學(xué)階段恰當(dāng)有效地開(kāi)展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，有利于學(xué)生建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深層次理解，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。

1.有利于學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)——獲得“有靈魂”的知識(shí)

人民教育出版社李海東老師認(rèn)為：“數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的三個(gè)層次，它們相互聯(lián)系、協(xié)同發(fā)展。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題所依附的材料;數(shù)學(xué)方法是解決問(wèn)題的途徑、手段，是數(shù)學(xué)思想發(fā)展的前提;數(shù)學(xué)思想是一類(lèi)數(shù)學(xué)方法本質(zhì)特征的反映，是數(shù)學(xué)方法的靈魂?！笨梢?jiàn)，在一個(gè)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)里，數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想三者是缺一不可的。

對(duì)于忽略思想方法的數(shù)學(xué)教學(xué)，中科院院士、復(fù)旦大學(xué)教授李大潛先生一針見(jiàn)血地指出：“如果將數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅看成是知識(shí)的傳授（特別是那種照本宣科式的傳授），那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮作用?！笨梢?jiàn)，在良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)里，數(shù)學(xué)思想方法不但不可或缺，它還起著統(tǒng)領(lǐng)的作用，缺少數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)體系將是一堆“沒(méi)有靈魂”的死知識(shí)。對(duì)于其中數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重要性，李大潛院士更是將之提高到開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)課程的意義的高度，他認(rèn)為：“如果就事論事，僅僅將數(shù)學(xué)作為知識(shí)來(lái)學(xué)習(xí)，而忽略了數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的熏陶以及學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，就失去了數(shù)學(xué)課程最本質(zhì)的特點(diǎn)和要求，失去了開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)課程的意義?！睆倪@個(gè)角度看，幫助學(xué)生建構(gòu)包括數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。

2.有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深層次理解——知其然，亦知其所以然

小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，大致可以分為兩個(gè)層次：一是知其然，即知道概念、公式、結(jié)論或規(guī)律等是什么;二是知其所以然，即還知道概念、公式、結(jié)論或規(guī)律等生成的過(guò)程、產(chǎn)生的原因，并能對(duì)結(jié)論或規(guī)律等做出適當(dāng)?shù)慕忉尅ｏ@然，后者在理解程度和層次上更進(jìn)一步、更加深入。

以蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”單元安排的一個(gè)“動(dòng)手做”的活動(dòng)為例（如圖1）。該活動(dòng)名為動(dòng)手做，實(shí)為感知、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

學(xué)生按要求通過(guò)兩個(gè)階段的畫(huà)一畫(huà)、算一算、比一比的活動(dòng)后，發(fā)現(xiàn)：動(dòng)手畫(huà)出的幾個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加[12]，新長(zhǎng)方形的面積都是原來(lái)長(zhǎng)方形面積的[94]。由此，學(xué)生進(jìn)一步猜想：如果把任意長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加[12]，那么新長(zhǎng)方形的面積都是原來(lái)長(zhǎng)方形面積的[94]。但是，由不完全歸納法推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論具有偶然性，可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的。上述猜想到底是否正確？為什么會(huì)是這樣？顯然，不能再依靠舉例來(lái)證明，僅通過(guò)舉例也無(wú)法給出令人信服的解釋。此時(shí)，可以通過(guò)運(yùn)算推理的方法來(lái)證明猜想的正確性，從而使學(xué)生獲得對(duì)這一結(jié)論的深刻理解。

分別用a、b表示原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

a×（1+[12]）×[b×（1+[12]）]÷（a×b）

=a×b×（1+[12]）×（1+[12]）÷（a×b）

=（1+[12]）×（1+[12]）

=[94]。

在這則案例中，運(yùn)算推理的方法不僅證明了“新長(zhǎng)方形的面積都是原來(lái)長(zhǎng)方形面積的[94]”這一猜想的正確性，而且能夠說(shuō)明原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的實(shí)際數(shù)據(jù)并不影響結(jié)論的成立，從而使學(xué)生的思維擺脫了特定圖形的限制，進(jìn)入了更抽象更自由的層面，讓學(xué)生獲得了更深刻的理解。對(duì)結(jié)論不但知其然，而且知其所以然。此外，在本案例中，運(yùn)算推理的方法還適用于將“[12]”改成其他分?jǐn)?shù)，或者將“增加”改為“減少”。

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力——從“得魚(yú)”走向“會(huì)漁”

“授人以魚(yú)，不如授人以漁?！痹趯?shí)際運(yùn)用中，數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系，類(lèi)似于“漁”與“魚(yú)”的關(guān)系。事實(shí)證明，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法體會(huì)越充分，領(lǐng)會(huì)越深刻，學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、創(chuàng)造性、批判性更強(qiáng)，具體表現(xiàn)為：他們能更快地抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，更容易找到解決問(wèn)題的突破口;他們善于靈活變換思路，能從不同角度、方向、方面運(yùn)用多種方法解決問(wèn)題;他們善于在新舊知識(shí)或問(wèn)題之間建立聯(lián)系，善于運(yùn)用猜想與驗(yàn)證的方法求證，善于把分析與綜合、特殊與一般、具體與抽象結(jié)合起來(lái)思考、解決問(wèn)題;他們善于自我監(jiān)控，及時(shí)調(diào)整、修改思路，不容易鉆“牛角尖”。簡(jiǎn)而言之，獨(dú)立解決問(wèn)題的能力更強(qiáng)。因此，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透、體會(huì)與感悟，是數(shù)學(xué)教學(xué)從“授魚(yú)”向“授漁”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵，也是促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題的能力從“得魚(yú)”向“會(huì)漁”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵。

比如，在前期課題研究中，在教學(xué)完蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)“圓”單元后，我們?cè)谡n題實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班中開(kāi)展了對(duì)比測(cè)驗(yàn)，其中設(shè)計(jì)了這樣一道動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)題（如圖2）：“在一個(gè)底面是長(zhǎng)方形的紙盒中，有一個(gè)直徑5厘米的塑料圓片在盒底任意滑動(dòng)，塑料圓片不可能滑到部分的面積是多少平方厘米？”顯然，相對(duì)于日常的靜態(tài)圖形題來(lái)說(shuō)，這道題具有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性，十分考驗(yàn)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。

測(cè)驗(yàn)結(jié)果顯示：課題實(shí)驗(yàn)班中約75%的學(xué)生通過(guò)想象或借助實(shí)物模擬的方式能洞察問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，并成功將原題轉(zhuǎn)化成求一個(gè)正方形的四個(gè)角落的問(wèn)題（如圖3）。而對(duì)照班中只有20%多一點(diǎn)的學(xué)生能夠化動(dòng)為靜找到解決問(wèn)題的突破口。由此可見(jiàn)，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基本原則

曹培英老師認(rèn)為：“數(shù)學(xué)基本思想承載了獨(dú)特的、鮮明的學(xué)科育人價(jià)值，可教、可學(xué)，是名副其實(shí)的學(xué)科核心素養(yǎng)。”在前期課題研究中，我們對(duì)此深有體會(huì)。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法不是“只可滲透不可感悟”“只可意會(huì)不可言傳”的神秘東西。相反，它是可教、可學(xué)的，關(guān)鍵是找到體會(huì)它、感悟它的切實(shí)可行的方法，而難點(diǎn)在于把握好教學(xué)的度，做到不人為拔高教學(xué)要求，具體來(lái)說(shuō)，要遵循以下三個(gè)基本原則。

1.準(zhǔn)確把握學(xué)段要求，循序漸進(jìn)的原則

小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求，由易到難、從低到高大致可以分為三個(gè)層次（如圖4）：滲透、體會(huì)與感悟。具體執(zhí)行哪一級(jí)教學(xué)要求，要依據(jù)學(xué)生的年齡、可接受程度，以及數(shù)學(xué)思想方法本身的特點(diǎn)等做出科學(xué)的判斷。

小學(xué)階段學(xué)生年齡小，但是年齡跨度大，不同年級(jí)之間，學(xué)生的認(rèn)知水平差異很大。一年級(jí)學(xué)生與三年級(jí)學(xué)生，三年級(jí)學(xué)生與六年級(jí)學(xué)生，他們之間在感知、感悟的能力上相差懸殊。因此，必須準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的學(xué)段要求?？偟膩?lái)說(shuō)，1～3年級(jí)以滲透為主，4～6年級(jí)可適當(dāng)加以體會(huì)和感悟。特別是在小學(xué)低年級(jí)，切不可隨意拔高教學(xué)要求，超越學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平。事實(shí)上，無(wú)論是哪種數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)與感悟都必須以掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能為前提。也正因?yàn)槿绱耍读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》是從第二學(xué)段起，才開(kāi)始提出“體會(huì)”和“感悟”的要求。

當(dāng)然，學(xué)段要求也不是一成不變的。特別是對(duì)于一些常見(jiàn)的容易理解或易于感受的數(shù)學(xué)思想方法，可以從三年級(jí)起視學(xué)生的可接受程度逐步加以提高。但這個(gè)過(guò)程一定是循序漸進(jìn)的，而不能是冒進(jìn)的。

2.對(duì)象有別，具體思想具體分析的原則

所謂對(duì)象有別，是指具體到某冊(cè)教材某個(gè)單元的某個(gè)數(shù)學(xué)思想方法到底是采用“滲透”的方式，還是提出“體會(huì)”和“感悟”的要求，除了要考慮學(xué)生年齡和學(xué)段要求外，還必須考慮數(shù)學(xué)思想方法本身的特點(diǎn)。

從共性的角度看，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法具有以下特點(diǎn)：在呈現(xiàn)形式上，具有隱蔽性;在教材分布上，具有無(wú)序性。這些特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)思想方法的獲得，不可能像普通的數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，能有序地以單元的形式整體地被感知、系統(tǒng)地被傳授，它難以通過(guò)一次或幾次教學(xué)就被深刻領(lǐng)會(huì)，達(dá)到被運(yùn)用自如的程度，一般要在多次滲透的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)反復(fù)地體會(huì)和感悟才能真正獲得。

此外，不同數(shù)學(xué)思想方法還有一些特點(diǎn)。比如，體會(huì)和感悟的難易程度不一，出現(xiàn)的頻次各不相同，出現(xiàn)和再次出現(xiàn)的時(shí)間毫無(wú)規(guī)律可言，等等。這就要求在教學(xué)具體的某個(gè)數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，教師必須充分考慮該數(shù)學(xué)思想方法體會(huì)和感悟的難易程度、出現(xiàn)的背景、頻次以及間隔的時(shí)間，做到“對(duì)象有別，要求有別”。一般說(shuō)來(lái)，初次接觸的，以滲透、感知為主;經(jīng)常接觸的，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行體會(huì)和感悟;易于理解、感受的，以學(xué)生自主體會(huì)為主;體會(huì)難度較大的，以教師點(diǎn)撥介紹為主。

3.重體驗(yàn)、重反復(fù)、重對(duì)比的感悟原則

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中具有能動(dòng)性的知識(shí)，它能給出解決問(wèn)題的方向和策略。然而，要想獲得“活的”數(shù)學(xué)思想方法，感悟是正確的途徑。所謂感悟，必須有“感”有“悟”，先“感”后“悟”。“感”是感知，是經(jīng)歷，是體驗(yàn)，它是“悟”的前提和基礎(chǔ);“悟”是品味，是反思，是領(lǐng)悟，是對(duì)“感”的總結(jié)、提煉與升華?！拔颉睆摹案小敝衼?lái)，“感”有多充分、多曲折，“悟”就有多豐富、多深刻。

其中，“經(jīng)歷過(guò)程，加強(qiáng)體驗(yàn)”是獲得數(shù)學(xué)思想方法的基本路徑。數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，它無(wú)法脫離知識(shí)教學(xué)而獨(dú)立存在。對(duì)它的感悟必須讓學(xué)生充分參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中去，在多層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)中生成點(diǎn)滴感受，積累經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，從而對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)逐漸從模糊走向清晰，從膚淺走向深刻?！霸佻F(xiàn)情境，反復(fù)體會(huì)”是獲得數(shù)學(xué)思想方法的必要過(guò)程。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不可能一蹴而就，它是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，必須先有“量”的積累，然后才會(huì)有“質(zhì)”的領(lǐng)會(huì)。學(xué)生必須經(jīng)歷一定次數(shù)的情境再現(xiàn)，在反復(fù)體會(huì)中才可以使淺顯的體驗(yàn)深刻化，使點(diǎn)滴的感受系統(tǒng)化。

總而言之，小學(xué)階段是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的啟蒙階段。在這一階段，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對(duì)于發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)的思維方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的作用。

（作者單位：江蘇省丹陽(yáng)市華南實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

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